| 1 |
解答题 |
（1）若 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{a_{n}}{a_{n+1} b_{n}}-\frac{1}{b_{n+1}}\right)>0$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛； |
| 2 |
解答题 |
（2）若 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{a_{n}}{a_{n+1} b_{n}}-\frac{1}{b_{n+1}}\right)<0$ 且 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 发散，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散。 |
| 3 |
解答题 |
第三题：（10 分）求方程 $x^{2} \sin \frac{1}{x}=2 x-501$ 的近似解，精确到 0.001 ． |
| 4 |
解答题 |
第四题：（12 分）设函数 $y=f(x)$ 二阶可导，且 $f^{\prime \prime}(x)>0, f(0)=0, f^{\prime}(0)=0$ 。求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{3} f(u)}{f(x) \sin ^{3} u}$ ，其中 $u$ 是曲线 $y=f(x)$ 上点 $P(x, f(x))$ 处切线在 $x$ 轴上的截距． |
| 5 |
解答题 |
第五题：（12 分）求最小实数 $C$ ，使得满足 $\int_{0}^{1}|f(x)| \mathrm{d} x=1$ 的连续的函数 $f(x)$ 都有
$$
\int_{0}^{1} f(\sqrt{x}) \mathrm{d} x \leq C
$$ |
| 6 |
解答题 |
第六题：（12 分）设 $f(x)$ 为连续函数，$t>0$ ．$\Omega$ 是由抛物面 $z=x^{2}+y^{2}$ 和球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=t^{2}(t>0)$ 所围成起来的部分。定义 $F(t)=\iiint_{\Omega} f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) d V$ ，求 $F^{\prime}(t)$ ． |
| 7 |
解答题 |
第七题：（14 分）设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 为正项级数，
（1）若 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{a_{n}}{a_{n+1} b_{n}}-\frac{1}{b_{n+1}}\right)>0$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛；
（2）若 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{a_{n}}{a_{n+1} b_{n}}-\frac{1}{b_{n+1}}\right)<0$ 且 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 发散，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散。 |