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解答题 |
一、解答下列各题（本题共 28 分，每小题 7 分）
1．计算积分 $\int_{0}^{2 \pi} x \int_{x}^{2 \pi} \frac{\sin ^{2} t}{t^{2}} \mathrm{~d} t \mathrm{~d} x$ ．
2．设 $f(x)$ 是 $[0,1]$ 上的连续函数，且满足 $\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=1$ ，求一个这样的函数 $f(x)$ ，使得积分 $I=\int_{0}^{1}\left(1+x^{2}\right) f^{2}(x) \mathrm{d} x$ 取到最小值．
3．设 $F(x, y, z), G(x, y, z)$ 有连续偏导数，$\frac{\partial(F, G)}{\partial(x, z)} \neq 0$ ，曲线 $\left\{\begin{array}{l}F(x, y, z)=0, \\ G(x, y, z)=0\end{array}\right.$ 过点 $P_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ ．记 $\Gamma$ 在 $x O y$ 面上的投影曲线为 $S$ ．求 $S$ 上过点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的切线方程．
4．设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\ 3 & 4 & a \\ 1 & 2 & 2\end{array}\right)$ ，其中 $a$ 为常数，矩阵 $B$ 满足关系式 $A B=A-B+E$ ，其中 $E$ 是单位矩阵且 $B \neq E$ ．若秩 $\operatorname{rank}(A+B)=3$ ，求常数 $a$ 的值． |
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解答题 |
二、（12 分）设 $f \in C^{4}(-\infty,+\infty)$ ，
$$
f(x+h)=f(x)+f^{\prime}(x) h+\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(x+\theta h) h^{2}
$$
其中 $\theta$ 是与 $x, h$ 无关的常数．证明 $f$ 是不超过三次的多项式． |
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解答题 |
三、（12 分）设当 $x>-1$ 时，可微函数 $f(x)$ 满足条件
$$
f^{\prime}(x)+f(x)-\frac{1}{1+x} \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=0 \text { 且 } f(0)=1 .
$$
试证：当 $x \geq 0$ 时，有 $e^{-x} \leq f(x) \leq 1$ 成立． |
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解答题 |
四、（10 分）设 $D=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1\}, I=\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中函数 $f(x, y)$ 在 $D$ 上有连续二阶偏导数，若对任何 $x, y$ 有 $f(0, y)=f(x, 0)=0$ 且 $\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} \leq A$ ．
证明 $I \leq \frac{A}{4}$ ． |
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解答题 |
五、（12 分）设函数 $f(x)$ 连续可导，$P=Q=R=f\left(\left(x^{2}+y^{2}\right) z\right)$ ，有向曲面 $\Sigma_{1}$ 是圆柱体 $x^{2}+y^{2} \leq t^{2}, 0 \leq z \leq 1$ 的表面，方向朝外。记第二型曲面积分
$$
I_{t}=\iint_{\Sigma_{1}} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
$$
求极限 $\lim _{t \rightarrow 0+} \frac{I_{t}}{t^{4}}$ ． |
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解答题 |
六、（12 分）设 $A, B$ 是两个 $n$ 阶正定矩阵，求证 $A B$ 正定的充要条件是 $A B=B A$ ． |
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解答题 |
七、（12 分）假设 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收敛半径为 $1, ~ \lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$ ，且 $\lim _{x \rightarrow 1^{-}} \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}=A$ 。证明 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}$ 收玫且 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}=A$ ． |