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解答题 |
一、解答下列各题（共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分）．
1．求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\sin \pi \sqrt{1+4 n^{2}}\right)^{n}$ ．
2．证明广义积分 $\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x$ 不是绝对收敛的。
3．设 $y=y(x)$ 由 $x^{3}+3 x^{2} y-2 y^{3}=2$ 所确定，求 $y(x)$ 的极值。
4．过曲线 $y=\sqrt[3]{x}(x \geq 0)$ 上的点 $A$ 作切线，使得该切线与曲线及 $x$ 轴所围成的平面图形的面积为 $\frac{3}{4}$ 。求点 $\boldsymbol{A}$ 的坐标。 |
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解答题 |
第二题：（12 分）计算定积分 $I=\int_{-\pi}^{\pi} \frac{x \sin x \cdot \arctan e^{x}}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ． |
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解答题 |
第三题：（12 分）设 $f(x)$ 在 $x=0$ 处存在二阶导数 $f^{\prime \prime}(0)$ ，且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=0$ 。证明：级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|\boldsymbol{f}\left(\frac{1}{n}\right)\right|$ 收敛。 |
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解答题 |
第四题：（10 分）设 $|f(x)| \leq \pi, f^{\prime}(x) \geq m>0(a \leq x \leq b)$ ，证明：$\left|\int_{a}^{b} \sin f(x) \mathrm{d} x\right| \leq \frac{2}{m}$ ． |
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解答题 |
第五题：（14 分）设 $\Sigma$ 是一个光滑封闭曲面，方向朝外，给定第二型的曲面积分
$$
I=\iint_{\Sigma}\left(x^{3}-x\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(2 y^{3}-y\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(3 z^{3}-z\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
$$
试确定曲面 $\Sigma$ ，使得积分 $\boldsymbol{I}$ 的值最小，并求该最小值。 |
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解答题 |
第六题：（14 分）设 $I_{a}(r)=\int_{C} \frac{y \mathrm{~d} x-x \mathrm{~d} y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{a}}$ ，其中 $a$ 为常数，曲线 $C$ 为椭圆 $x^{2}+x y+y^{2}=r^{2}$ ，取正向。求极限 $\lim _{r \rightarrow+\infty} I_{a}(r)$ ． |
| 7 |
解答题 |
第七题：（14 分）判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}}{(n+1)(n+2)}$ 的敛散性，若收敛，求其和。 |