| 1 |
解答题 |
（1）极限 $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\left(\int_{0}^{x} e^{u^{2}} \mathrm{~d} u\right)^{2}}{\int_{0}^{x} e^{2 u^{2}} \mathrm{~d} u}=$ $\_\_\_\_$ ． |
| 2 |
解答题 |
（2）设实数 $a \neq 0$ ，微分方程 $\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}-a y^{\prime 2}=0, \\ y(0)=0, y^{\prime}(0)=-1\end{array}\right.$ 的解为 $\_\_\_\_$ ． |
| 3 |
解答题 |
（3）设 $A=\left(\begin{array}{ccc}\lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ -1 & 1 & \lambda\end{array}\right)$ ，则 $A^{50}=$ $\_\_\_\_$ ． |
| 4 |
解答题 |
（4）不定积分 $I=\int \frac{x^{2}+1}{x^{4}+1} d x=$ $\_\_\_\_$ ． |
| 5 |
解答题 |
（5）设曲线积分 $I=\oint_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{|x|+|y|}$ ，其中 $L$ 是以 $(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)$ 为顶点的正方形的边界曲线，方向为逆时钟方向，则 $\boldsymbol{I}=$ $\_\_\_\_$ ． |
| 6 |
解答题 |
（6）设 $D$ 是平面上由光滑闭曲线围成的有界区域，其面积为 $A>0$ ，函数 $f(x, y)$ 在该区域及其边界上连续，函数 $f(x, y)$ 在 $D$ 上连续且 $f(x, y)>0$ 。记
$$
J_{n}=\left(\frac{1}{A} \iint_{D} f^{1 / n}(x, y) \mathrm{d} \sigma\right)^{n}
$$
则 $\lim _{n \rightarrow+\infty} J_{n}=$ $\_\_\_\_$ ．
二、（本题12分）设 $\vec{l}_{j}, j=1,2, \cdots, n$ 是平面上点 $P_{0}$ 处的 $n \geq 2$ 各方向向量，相邻两个向量之间的夹角为 $\frac{2 \pi}{n}$ ．若函数 $f(x, y)$ 在点 $P_{0}$ 有连续偏导，证明：$\sum_{j=1}^{n} \frac{\partial f\left(P_{0}\right)}{\partial \vec{l}_{i}}=0$ ．
三、（本题 14 分）设 $A_{1}, A_{2}, B_{1}, B_{1}$ 均为 $n$ 阶方阵，其中 $A_{2}, B_{2}$ 可逆．证明：存在可逆矩阵 $P, Q$ 使得 $P A_{i} Q=B_{i}(i=1,2)$ 成立的充要条件是 $A_{1} A_{2}^{-1}$ 和 $B_{1} B_{2}^{-1}$ 相似．
四、（本题14 分）设 $p>0, x_{1}=\frac{1}{4}, x_{n+1}^{p}=x_{n}^{p}+x_{n}^{2 p}(n=1,2, \cdots)$ ．证明：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+x_{n}^{p}}$收玫并求其和．
五、（本题 15 分）（1）展 $[-\pi, \pi)$ 上的函数 $f(x)=|x|$ 成傅里叶级数，并证明 $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}$ ．
（2）求积分 $I=\int_{0}^{+\infty} \frac{u}{1+e^{u}} \mathrm{~d} u$ 的值．
六、（本题 15 分）设 $f(x, y)$ 为 $R^{2}$ 上的非负的连续函数，若
$$
I=\lim _{t \rightarrow+\infty} \iint_{x^{2}+y^{2} \leq t^{2}} f(x, y) \mathrm{d} \sigma
$$
存在极限，则称广义积分 $\iint_{R^{2}} f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ 收玫于 $I$ 。
（1）设 $f(x, y)$ 为 $R^{2}$ 上的非负的连续函数，若 $\iint_{R^{2}} f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ 收玫于 $I$ ，证明极限 $\lim _{t \rightarrow+\infty} \iint_{-t \leq x, y \leq t} f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ 存在且收玫于 $I$ ．
（2）设 $\iint_{R^{2}} e^{a x^{2}+2 b x y+c y^{2}} \mathrm{~d} \sigma$ 收玫于 $I$ ，实二次型 $a x^{2}+2 b x y+c y^{2}$ 在正交变换下的标准二次型为 $\lambda_{1} u^{2}+\lambda_{2} v^{2}$ ．证明 $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ 都小于零． |