| 1 |
解答题 |
（1）已知 $y_{1}=e^{x}$ 和 $y_{2}=x e^{x}$ 是齐次二阶常系数线性微分方程的解，则该微分方程是 $\_\_\_\_$ ． |
| 2 |
解答题 |
（2）设有曲面 $S: z=x^{2}+2 y^{2}$ 和平面 $\pi: 2 x+2 y+z=0$ ，则与 $\pi$ 平行的 $S$ 的切平面方程是 $\_\_\_\_$ ． |
| 3 |
解答题 |
（3）设 $y=y(x)$ 由 $x=\int_{1}^{y-x} \sin ^{2}\left(\frac{\pi t}{4}\right) \mathrm{d} t$ 所确定，则 $\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=0}=$ $\_\_\_\_$ ． |
| 4 |
解答题 |
（4）设 $x_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{(k+1)!}$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=$ $\_\_\_\_$ ． |
| 5 |
解答题 |
（5）已知 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(1+x+\frac{f(x)}{x}\right)^{\frac{1}{x}}=e^{3}$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{2}}=$ $\_\_\_\_$ .
第二题：（12 分）设 $n$ 为正整数，计算 $I=\int_{e}^{1}-2 n \pi\left|\frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{~d} x} \cos \left(\ln \frac{1}{x}\right)\right| \mathrm{d} x$ ．
第三题：（14 分）设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上有二阶导数，且有正常数 $A, B$ 使得 $|f(x)| \leq A,\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leq B$ ，证明：对于任意 $x \in[0,1]$ ，有 $\left|f^{\prime}(x)\right| \leq 2 A+\frac{B}{2}$ 。
第四题：（14 分）（1）设一球缺高为 $h$ ，所在球半径为 $R$ 。证明该球缺的体积为 $\frac{\pi}{3}(3 R-h) h^{2}$ ，球冠的面积为 $2 \pi R h$ ．
（2）设球体 $(x-1)^{2}+(y-1)^{2}+(z-1)^{2} \leq 12$ 被平面 $P: x+y+z=6$ 所截的小球缺为 $\Omega$ 。记球缺上的球冠为 $\Sigma$ ，方向指向球外，求第二型曲面积分
$$
I=\iint_{\Sigma} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
$$
第五题：（15 分）设 $f$ 在 $[a, b]$ 上非负连续，严格单增，且存在 $x_{n} \in[a, b]$ 使得
$$
\left[f\left(x_{n}\right)\right]^{n}=\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b}[f(x)]^{n} \mathrm{~d} x \text {, 求 } \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n} \text {. }
$$ |
| 6 |
解答题 |
第六题：（15 分）设 $A_{n}=\frac{n}{n^{2}+1}+\frac{n}{n^{2}+2^{2}}+\cdots+\frac{n}{n^{2}+n^{2}}$ ，求 $\lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\frac{\pi}{4}-A_{n}\right)$ ． |