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解答题 |
一、填空题（共 5 小题，每小题 6 分，共 30 分）
（1）微分方程 $y^{\prime \prime}-\left(y^{\prime}\right)^{3}=0$ 的通解是 $\_\_\_\_$ ． |
| 2 |
解答题 |
（2）设 $D: 1 \leq x^{2}+y^{2} \leq 4$ ，则 $I=\iint_{D}\left(x+y^{2}\right) e^{-\left(x^{2}+y^{2}-4\right)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 的值是 $\_\_\_\_$ ． |
| 3 |
解答题 |
（3）设 $f(t)$ 二阶连续可导，且 $f(t) \neq 0$ ，若 $\left\{\begin{array}{l}x=\int_{0}^{t} f(s) \mathrm{d} s, \\ y=f(t),\end{array}\right.$ 则 $\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ． |
| 4 |
选择题 |
（4）设 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}$ 是 $n$ 阶方阵 $A$ 的特征值，$f(x)$ 为多项式，则矩阵 $f |
| 6 |
解答题 |
六、（本题 14 分）设 $P(x, y, z)$ 和 $R(x, y, z)$ 在空间上有连续偏导数，设上半球面
$$
S: z=z_{0}+\sqrt{r^{2}-\left(x-x_{0}\right)^{2}-\left(y-y_{0}\right)^{2}} \text {, 方向向上, }
$$
若对任何点 $\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 和 $r>0$ ，第二型曲面积分 $\iint_{S} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=0$ 。证明：
$$
\frac{\partial P}{\partial x} \equiv 0 .
$$ |