| 1 |
解答题 |
（1）极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\frac{\sin \frac{\pi}{n}}{n^{2}+1}+\frac{\sin 2 \frac{\pi}{n}}{n^{2}+2}+\cdots+\frac{\sin \pi}{n^{2}+n}\right)=$ $\_\_\_\_$ ． |
| 2 |
解答题 |
（2）设 $z=z(x, y)$ 由方程 $F\left(x+\frac{z}{y}, y+\frac{z}{x}\right)=0$ 所决定，其中 $F(u, v)$ 具有连续偏导数，且 $x F_{u}+y F_{v} \neq 0$ ，则（结果要求不显含有 $F$ 及其偏导数）$x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=$ $\_\_\_\_$ ． |
| 3 |
解答题 |
（3）曲面 $z=x^{2}+y^{2}+1$ 在点 $M(1,-1,3)$ 的切平面与曲面 $z=x^{2}+y^{2}$ 所围区域的体积为 $\_\_\_\_$ ． |
| 4 |
解答题 |
（4）函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}3, x \in[-5,0), \\ 0, x \in[0,5)\end{array}\right.$ 在 $(-5,5]$ 的傅里叶级数 $x=0$ 收玫的值 $\_\_\_\_$ ． |
| 5 |
解答题 |
（5）设区间 $(0,+\infty)$ 上的函数 $u(x)$ 定义为 $u(x)=\int_{0}^{+\infty} e^{-x t^{2}} \mathrm{~d} t$ ，则 $u(x)$ 的初等函数表达式为 $\_\_\_\_$ ．
第二题：（12 分）设 $M$ 是以三个正半轴为母线的半圆锥面，求其方程。
第三题：（12 分）设 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内二次可导，且存在常数 $\alpha, \beta$ ，使得对于 $\forall x \in(a, b)$ ，有 $f^{\prime}(x)=\alpha f(x)+\beta f^{\prime \prime}(x)$ ，则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内无穷次可导。
第四题：（14 分）求级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^{3}+2}{(n+1)!}(x-1)^{n}$ 的收玫域与和函数．
第五题：（16 分）设函数 $f$ 在 $[0,1]$ 上连续，且 $\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0, \int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d} x=1$ ．试证：
（1）$\exists x_{0} \in[0,1]$ 使得 $\left|f\left(x_{0}\right)\right|>4$ ；
（2）$\exists x_{1} \in[0,1]$ 使得 $\left|f\left(x_{1}\right)\right|=4$ 。 |
| 6 |
解答题 |
第六题：（16 分）设 $f(x, y)$ 在 $x^{2}+y^{2} \leq 1$ 上有连续的二阶导数，$f_{x x}^{2}+2 f_{x y}^{2}+f_{y y}^{2} \leq M$ ．若 $f(0,0)=f_{x}(0,0)=f_{y}(0,0)=0$, 证明：$\left|\int_{x^{2}+y^{2} \leq 1} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y\right| \leq \frac{\pi \sqrt{M}}{4}$ ． |