| 1 |
解答题 |
一、填空题：
1、过单叶双曲面 $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}-2 z^{2}=1$ 和球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$ 的交线且与直线 $\left\{\begin{array}{l}x=0, \\ 3 y+z=0\end{array}\right.$ 垂直的平面方程为 $\_\_\_\_$ ．
2、设可微函数 $f(x, y)$ 满足 $\frac{\partial f}{\partial x}=-f(x, y), f\left(0, \frac{\pi}{2}\right)=1$ ，且
$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{f(0, y+1 / n)}{f(0, y)}\right)^{n}=e^{\cot y}
$$
则 $f(x, y)=$ $\_\_\_\_$ ．
3、已知 $A$ 为 $n$ 阶可逆反对称矩阵，$b$ 为 $n$ 元列向量，设 $B=\left(\begin{array}{cc}A & b \\ b^{T} & 0\end{array}\right)$ ，则 $\operatorname{rank} |
| 2 |
解答题 |
第二题：设 $0 |
| 3 |
解答题 |
第三题：设 $f(x)$ 为 $(-\infty,+\infty)$ 上连续的周期为 1 的周期函数，且满足 $0 \leq f(x) \leq 1$ 与 $\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=1$ ．证明：当 $0 \leq x \leq 13$ 时，有
$$
\int_{0}^{\sqrt{x}} f(t) \mathrm{d} t+\int_{0}^{\sqrt{x+27}} f(t) \mathrm{d} t+\int_{0}^{\sqrt{13-x}} f(t) \mathrm{d} t \leq 11
$$
并给出取等号的条件． |
| 4 |
解答题 |
第四题：设函数 $f(x, y, z)$ 在区域 $\Omega=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1\right\}$ 上具有连续的二阶偏导数，且满足 $\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ ，计算
$$
I=\iiint_{W}\left(x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}+z \frac{\partial f}{\partial z}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z
$$ |
| 5 |
解答题 |
第五题：设 $n$ 阶方阵 $A, B$ 满足 $A B=A+B$ ，证明：若存在正整数 $k$ ，使得 $A^{k}=O(O$为零矩阵），则行列式 $|B+2017 A|=|B|$ ． |
| 6 |
解答题 |
第六题：设 $a_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}-\ln n$ ．
（1）证明：极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}$ 存在；
（2）记 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=C$ ，讨论级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}-C\right)$ 的玫散性． |