| 1 |
解答题 |
(1)=0, f^{\prime}(1)$ 存在，则极限 $I=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f\left(\sin ^{2} x+\cos x\right) \tan 3 x}{\left(e^{x^{2}}-1\right) \sin x}=$ $\_\_\_\_$ ．
3．设 $f(x)$ 有连续导数，且 $f(1)=2$ ．记 $z=f\left(e^{x} y^{2}\right)$ ，若 $\frac{\partial z}{\partial x}=z, ~ f(x)$ 在 $x>0$ 的表达式为 $\_\_\_\_$ ．
4．设 $f(x)=e^{x} \sin 2 x$ ，则 $f^{(4)}(0)=$ $\_\_\_\_$ ．
5．曲面 $z=\frac{x^{2}}{2}+y^{2}$ 平行于平面 $2 x+2 y-z=0$ 的切平面方程为 $\_\_\_\_$。 |
| 2 |
解答题 |
第二题：（14 分）设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可导，$f(0)=0$ ，且当 $x \in(0,1), 0\int_{0}^{a} f^{3}(x) \mathrm{d} x$ 。 |
| 3 |
解答题 |
第三题：（14 分）某物体所在的空间区域为 $\Omega: x^{2}+y^{2}+2 z^{2} \leq x+y+2 z$ ，密度函数为 $x^{2}+y^{2}+z^{2}$ ，求质量 $M=\iiint_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ 。 |
| 4 |
解答题 |
(4)}(0)=$ $\_\_\_\_$ ．
5．曲面 $z=\frac{x^{2}}{2}+y^{2}$ 平行于平面 $2 x+2 y-z=0$ 的切平面方程为 $\_\_\_\_$。
第二题：（14 分）设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可导，$f(0)=0$ ，且当 $x \in(0,1), 0\int_{0}^{a} f^{3}(x) \mathrm{d} x$ 。
第三题：（14 分）某物体所在的空间区域为 $\Omega: x^{2}+y^{2}+2 z^{2} \leq x+y+2 z$ ，密度函数为 $x^{2}+y^{2}+z^{2}$ ，求质量 $M=\iiint_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ 。
第四题：（14 分）设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上具有连续导数，$f(0)=0, f(1)=1$ 。证明：
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x-\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right)\right)=-\frac{1}{2} .
$$ |
| 5 |
解答题 |
第五题：（14 分）设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上连续，且 $I=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x \neq 0$ ．证明：在 $(0,1)$ 内存在不同的两点 $x_{1}, x_{2}$ ，使得 $\frac{1}{f\left(x_{1}\right)}+\frac{1}{f\left(x_{2}\right)}=\frac{2}{I}$ ． |
| 6 |
解答题 |
第六题：（14 分）设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上可导，且 $f(x)=f(x+2)=f(x+\sqrt{3})$ ，用傅里叶（Fourier）级数理论证明 $f(x)$ 为常数。 |