| 1 |
解答题 |
一、填空题（满分30分，每小题6分）
（1）极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-\sin x}{x \ln \left(1+\sin ^{2} x\right)}=$ $\_\_\_\_$ ． |
| 2 |
解答题 |
（2）设一平面过原点和点 $(6,-3,2)$ ，且与平面 $4 x-y+2 z=8$ 垂直，则此平面方程为 $\_\_\_\_$ ． |
| 3 |
解答题 |
（3）设函数 $f(x, y)$ 具有一阶连续偏导数，满足 $\mathrm{d} f(x, y)=y e^{y} \mathrm{~d} x+x(1+y) e^{y} \mathrm{~d} y$ 及 $f(0,0)=0$ ，则 $f(x, y)=$ $\_\_\_\_$。 |
| 4 |
解答题 |
（4）满足 $\frac{\mathrm{d} u(t)}{\mathrm{d} t}=u(t)+\int_{0}^{1} u(t) \mathrm{d} t$ 及 $u(0)=1$ 的可微函数 $u(t)=$ $\_\_\_\_$ ． |
| 5 |
解答题 |
（5）设 $a, b, c, \mathrm{~d}$ 是互不相同的正实数，$x, y, z, w$ 是实数，满足
$$
a^{x}=b c \mathrm{~d}, b^{y}=c \mathrm{~d} a, e^{z}=\mathrm{d} a b, \mathrm{~d}^{w}=a b c
$$
则行列式 $\left|\begin{array}{cccc}-x & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -y & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -z & 1 \\ 1 & 1 & 1 & -w\end{array}\right|=$ $\_\_\_\_$ ．
二、（本题满分 11 分）设函数 $f(x)$ 在区间 $(0,1)$ 内连续，且存在两两互异的点
$$
x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} \in(0,1) \text {, 使得 } a=\frac{f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)}{x_{1}-x_{2}}<\frac{f\left(x_{3}\right)-f\left(x_{4}\right)}{x_{3}-x_{4}}=\beta \text {. }
$$
证明：对任意 $\lambda \in(\alpha, \beta)$ ，存在互异的点 $x_{5}, x_{6} \in(0,1)$ ，使得 $\lambda=\frac{f\left(x_{5}\right)-f\left(x_{6}\right)}{x_{5}-x_{6}}$ ．
三、（本题满分 11 分）设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上连续且 $\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x \neq 0$ ，证明：在区间 $[0,1]$上存在三个不同的点 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，使得
$$
\begin{aligned}
& \frac{\pi}{8} \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=\left[\frac{1}{1+x_{1}^{2}} \int_{0}^{x_{1}} f(t) \mathrm{d} t+f\left(x_{1}\right) \arctan x_{1}\right] x_{3} \\
& =\left[\frac{1}{1+x_{2}^{2}} \int_{0}^{x_{2}} f(t) \mathrm{d} t+f\left(x_{2}\right) \arctan x_{2}\right]\left(1-x_{3}\right)
\end{aligned}
$$
四、（本题满分 12 分）求极限： $\lim _{n \rightarrow \infty}[\sqrt[n+1]{(n+1)!}-\sqrt[n]{n!}]$ ．
五、（本题满分12分）设 $x=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)^{T} \in R^{n}$ ，定义
$$
H(x)=\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}-\sum_{i=1}^{n-1} x_{i} x_{j+1}, n \geq 2 .
$$
（1）证明：对任一非零 $x \in R^{n}, H(x)>0$ ．
（2）求 $H(x)$ 满足条件 $x_{n}=1$ 的最小值． |
| 6 |
解答题 |
六、（本题满分 12 分）设函数 $f(x, y)$ 在区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq a^{2}\right\}$ 上具有一阶连续偏导数，且满足
$$
\left.f(x, y)\right|_{x^{2}+y^{2}=a^{2}}=a^{2} \text { 以及 } \max _{(x, y) \in D}\left[\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^{2}\right]=a^{2} \text {, }
$$
其中 $a>0$ ．证明：$\left|\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y\right| \leq \frac{4}{3} \pi a^{4}$ ． |
| 7 |
解答题 |
七、（本题满分 12 分）设 $01$ 时，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫；当 $q<1$ 时，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散；
（2）讨论 $q=1$ 时级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 的敛散性并阐明理由． |