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解答题 |
一、填空题（本题 42 分，共 6 小题，每小题 7 分）
1．已知可导函数 $f(x)$ 满足 $f(x) \cos x+2 \int_{0}^{x} f(t) \sin t \mathrm{~d} t=x+1$ ，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$。
2．极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sin ^{2}\left(\pi \sqrt{n^{2}+n}\right)=$ $\_\_\_\_$。
3．设 $w=f(u, v)$ 具有二阶连续偏导数，且 $u=x-c y, v=x+c y$ ，其中 $c$ 为非零常数，则 $w_{x x}-\frac{1}{c^{2}} w_{y y}=$ $\_\_\_\_$。
4．设 $f(x)$ 具有二阶连续导数，且 $f(0)=f^{\prime}(0)=0, f^{\prime \prime}(0)=6$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f\left(\sin ^{2} x\right)}{x^{4}}=$ $\_\_\_\_$。
5．不定积分 $I=\int \frac{e^{-\sin x} \sin 2 x}{(1-\sin x)^{2}} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$。
6．记曲面 $z^{2}=x^{2}+y^{2}$ 和 $z=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}$ 围成的空间区域为 $V$ ，则三重积分
$$
\iiint_{V} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=
$$
$\_\_\_\_$。 |
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解答题 |
二、（本题 14 分）设二元函数 $f(x, y)$ 在平面上有连续的二阶偏导数，对任意角度 $\alpha$ ，定义一元函数 $g_{\alpha}(t)=f(t \cos \alpha, t \sin \alpha)$ ，若对任何 $\alpha$ 都有 $\frac{\mathrm{d} g_{\alpha}(0)}{\mathrm{d} t}=0$ 且 $\frac{\mathrm{d}^{2} g_{\alpha}(0)}{\mathrm{d} t^{2}}>0$ ，证明：$f(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的极小值。 |
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解答题 |
三、（本题 14 分）设曲线 $\Gamma$ 为曲线 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1, x+z=1, x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0$ 上从点 $A(1,0,0)$到点 $B(0,0,1)$ 的一段。求曲线积分 $I=\int_{\Gamma} y \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} y+x \mathrm{~d} z$ ． |
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解答题 |
四、（本题 15 分）设函数 $f(x)>0$ 且在实轴上连续，若对任意实数 $t$ ，有 $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-|t-x|} f(x) \mathrm{d} x \leq 1$ 。证明：$\forall a, b, a |
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解答题 |
二、（本题 14 分）设二元函数 $f(x, y)$ 在平面上有连续的二阶偏导数，对任意角度 $\alpha$ ，定义一元函数 $g_{\alpha}(t)=f(t \cos \alpha, t \sin \alpha)$ ，若对任何 $\alpha$ 都有 $\frac{\mathrm{d} g_{\alpha}(0)}{\mathrm{d} t}=0$ 且 $\frac{\mathrm{d}^{2} g_{\alpha}(0)}{\mathrm{d} t^{2}}>0$ ，证明：$f(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的极小值。 |