$\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\displaystyle\frac{n+1}{n}\right)^{(-1)^{n}}=$ $\_\_\_\_$。
设函数 $f(x)$ 在 $x=2$ 的某邻域内可导，且 $f^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{f(x)}, f(2)=1$ ，则 $f^{\prime \prime \prime}(2)=$ $\_\_\_\_$ ．
设函数 $f(u)$ 可微，且 $f^{\prime}(0)=\displaystyle\frac{1}{2}$ ，则 $z=f\left(4 x^{2}-y^{2}\right)$ 在点 $(1,2)$ 处的全微分 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(1,2)}=$ $\_\_\_\_$ ．
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cc}2 & 1 \\ -1 & 2\end{array}\right), \boldsymbol{E}$ 为 2 阶单位矩阵，矩阵 $\boldsymbol{B}$ 满足 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}+2 \boldsymbol{E}$ ，则 $|\boldsymbol{B}|=$ $\_\_\_\_$ ．
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且均服从区间 $[0,3]$ 上的均匀分布，则 $P\{\max \{X, Y\} \leqslant 1\}=$ $\_\_\_\_$。
设总体 $X$ 的概率密度为 $f(x)=\displaystyle\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-|x|}(-\infty\lt x\lt+\infty), X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为总体 $X$ 的简单随机样本，其样本方差为 $S^{2}$ ，则 $E\left(S^{2}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．
设函数 $y=f(x)$ 具有二阶导数，且 $f^{\prime}(x)\gt 0, f^{\prime \prime}(x)\gt 0, \Delta x$ 为自变量 $x$ 在点 $x_{0}$ 处的增量，$\Delta y$与 $\mathrm{d} y$ 分别为 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处对应的增量与微分，若 $\Delta x\gt 0$ ，则（ ） （A） $0\lt\mathrm{d} y\lt\Delta y$ ． （B） $0\lt\Delta y\lt\mathrm{d} y$ ． （C）$\Delta y\lt\mathrm{d} y\lt 0$ ． （D） $\mathrm{d} y\lt\Delta y\lt 0$ ．
设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，且 $\displaystyle\lim _{h \rightarrow 0} \displaystyle\frac{f\left(h^{2}\right)}{h^{2}}=1$ ，则（ ） （A）$f(0)=0$ 且 $f_{-}^{\prime}(0)$ 存在． （B）$f(0)=1$ 且 $f_{-}^{\prime}(0)$ 存在． （C）$f(0)=0$ 且 $f_{+}^{\prime}(0)$ 存在． （D）$f(0)=1$ 且 $f_{+}^{\prime}(0)$ 存在．
若级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则级数（ ） （A）$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}\right|$ 收敛。 （B）$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} a_{n}$ 收敛。 （C）$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} a_{n+1}$ 收敛。 （D）$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \displaystyle\frac{a_{n}+a_{n+1}}{2}$ 收敛。
设非齐次线性微分方程 $y^{\prime}+P(x) y=Q(x)$ 有两个不同的解 $y_{1}(x), y_{2}(x), C$ 为任意常数，则该方程的通解是（ ） （A）$C\left[y_{1}(x)-y_{2}(x)\right]$ ． （B）$y_{1}(x)+C\left[y_{1}(x)-y_{2}(x)\right]$ ． （C）$C\left[y_{1}(x)+y_{2}(x)\right]$ ． （D）$y_{1}(x)+C\left[y_{1}(x)+y_{2}(x)\right]$ ．
设 $f(x, y)$ 与 $\varphi(x, y)$ 均为可微函数，且 $\varphi_{y}^{\prime}(x, y) \neq 0$ ，已知 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 是 $f(x, y)$ 在约束条件 $\varphi(x, y)=0$ 下的一个极值点，下列选项正确的是（ ） （A）若 $f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0$ ，则 $f_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0$ 。 （B）若 $f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0$ ，则 $f_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right) \neq 0$ ． （C）若 $f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right) \neq 0$ ，则 $f_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0$ 。 （D）若 $f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right) \neq 0$ ，则 $f_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right) \neq 0$ ．
设 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}$ 均为 $n$ 维列向量， $\boldsymbol{A}$ 是 $m \times n$ 矩阵，下列选项正确的是（） （A）若 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}$ 线性相关，则 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{s}$ 线性相关． （B）若 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}$ 线性相关，则 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{s}$ 线性无关。 （C）若 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}$ 线性无关，则 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{s}$ 线性相关． （D）若 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}$ 线性无关，则 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{s}$ 线性无关。
设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶矩阵，将 $\boldsymbol{A}$ 的第 2 行加到第 1 行得 $\boldsymbol{B}$ ，再将 $\boldsymbol{B}$ 的第 1 列的－ 1 倍加到第 2 列得 $\boldsymbol{C}$ ，记 $\boldsymbol{P}=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，则 $(\quad)$ （A） $\boldsymbol{C}=\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}$ ． （B） $\boldsymbol{C}=\boldsymbol{P} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}^{-1}$ ． （C） $\boldsymbol{C}=\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}$ ． （D） $\boldsymbol{C}=\boldsymbol{P} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}^{\mathrm{T}}$ ．
设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N\left(\mu_{1}, \sigma_{1}^{2}\right)$ ，随机变量 $Y$ 服从正态分布 $N\left(\mu_{2}, \sigma_{2}^{2}\right)$ ，且 $$ P\left\{\left|X-\mu_{1}\right|\lt 1\right\}\gt P\left\{\left|Y-\mu_{2}\right|\lt 1\right\}, $$ 则必有 （A）$\sigma_{1}\lt\sigma_{2}$ ． （B）$\sigma_{1}\gt\sigma_{2}$ ． （C）$\mu_{1}\lt\mu_{2}$ ． （D）$\mu_{1}\gt\mu_{2}$.
设 $f(x, y)=\displaystyle\frac{y}{1+x y}-\displaystyle\frac{1-y \sin \displaystyle\frac{\pi x}{y}}{\arctan x}, x\gt 0, y\gt 0$ ．求： （ I ）$g(x)=\displaystyle\lim _{y \rightarrow+\infty} f(x, y)$ ； （ II ） $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0^{+}} g(x)$ ．
计算二重积分 $\displaystyle\iint_{D} \sqrt{y^{2}-x y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是由直线 $y=x, y=1, x=0$ 所围成的平面区域。
在 $x O y$ 坐标平面上，连续曲线 $L$ 过点 $M(1,0)$ ，其上任意点 $P(x, y)(x \neq 0)$ 处的切线斜率与直线 $O P$ 的斜率之差等于 $a x$（常数 $a\gt 0$ ）。 （I）求 $L$ 的方程； （II）当 $L$ 与直线 $y=a x$ 所围成平面图形的面积为 $\displaystyle\frac{8}{3}$ 时，确定 $a$ 的值．
求幂级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \displaystyle\frac{(-1)^{n-1} x^{2 n+1}}{n(2 n-1)}$ 的收敛域及和函数 $S(x)$ 。
设4维向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1+a, 1,1,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(2,2+a, 2,2)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(3,3,3+a, 3)^{\mathrm{T}}$ ， $\boldsymbol{\alpha}_{4}=(4,4,4,4+a)^{\mathrm{T}}$ ，问 $a$ 为何值时， $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性相关？当 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示。
设 3 阶实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的各行元素之和均为 3 ，向量 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(-1,2,-1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(0,-1,1)^{\mathrm{T}}$ 是
线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的两个解．
（I）求 $\boldsymbol{A}$ 的特征值与特征向量；
（II）求正交矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 和对角矩阵 $\boldsymbol{\lambda}$ ，使得 $\boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q}=\boldsymbol{\lambda}$ ；
（III）求 $\boldsymbol{A}$ 及 $\left(\boldsymbol{A}-\displaystyle\frac{3}{2} \boldsymbol{E}\right)^{6}$ ，其中 $\boldsymbol{E}$ 为 3 阶单位矩阵。
设随机变量 $X$ 的概率密度为
$$
f_{X}(x)= \begin{cases}\frac{1}{2}, & -1\lt x\lt 0, \\ \frac{1}{4}, & 0 \leqslant x\lt 2 . \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}
$$
令 $Y=X^{2}, F(x, y)$ 为二维随机变量 $(X, Y)$ 的分布函数。求：
（I）$Y$ 的概率密度 $f_{Y}(y)$ ；
（ II） $\operatorname{Cov}(X, Y)$ ；
（III）$F\left(-\displaystyle\frac{1}{2}, 4\right)$ ．
设总体 $X$ 的概率密度为
$$
f(x ; \theta)= \begin{cases}\theta, & 0\lt x\lt 1, \\ 1-\theta, & 1 \leqslant x\lt 2, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}
$$
其中 $\theta$ 是未知参数 $(0\lt\theta\lt 1) \cdot X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，记 $N$ 为样本值 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 中小于 1 的个数。求：
（ I ）$\theta$ 的矩估计；
（ II ）$\theta$ 的最大似然估计．