下列函数中，在 $x=0$ 处不可导的是 $(\mathrm{A}) f(x)=|x| \sin |x|$ ． （B）$f(x)=|x| \sin \sqrt{|x|}$ ． $(\mathrm{C}) f(x)=\cos |x|$ ． （D）$f(x)=\cos \sqrt{|x|}$ ．
设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，则 （A）当 $f^{\prime}(x)\lt 0$ 时，$f\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)\lt 0$ ． （B）当 $f^{\prime \prime}(x)\lt 0$ 时，$f\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)\lt 0$ ． （C）当 $f^{\prime}(x)\gt 0$ 时，$f\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)\lt 0$ ． （D）当 $f^{\prime \prime}(x)\gt 0$ 时，$f\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)\lt 0$ ．
设 $M=\displaystyle\int_{-\displaystyle\frac{\pi}{2}}^{\displaystyle\frac{\pi}{2}} \displaystyle\frac{(1+x)^{2}}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x, N=\displaystyle\int_{-\displaystyle\frac{\pi}{2}}^{\displaystyle\frac{\pi}{2}} \displaystyle\frac{1+x}{\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x, K=\displaystyle\int_{-\displaystyle\frac{\pi}{2}}^{\displaystyle\frac{\pi}{2}}(1+\sqrt{\cos x}) \mathrm{d} x$ ，则 （A）$M\gt N\gt K$ ． （B）$M\gt K\gt N$ ． （C）$K\gt M\gt N$ ． （D）$K\gt N\gt M$ ．
设某产品的成本函数 $C(Q)$ 可导，其中 $Q$ 为产量．若产量为 $Q_{0}$ 时平均成本最小，则（ （A）$C^{\prime}\left(Q_{0}\right)=0$ ． （B）$C^{\prime}\left(Q_{0}\right)=C\left(Q_{0}\right)$ ． $(\mathrm{C}) C^{\prime}\left(Q_{0}\right)=Q_{0} C\left(Q_{0}\right)$ ． （D）$Q_{0} C^{\prime}\left(Q_{0}\right)=C\left(Q_{0}\right)$ ．
下列矩阵中，与矩阵 $\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ 相似的为（ （A）$\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ． （B）$\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ． （C）$\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ． （D）$\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ．
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为 $n$ 阶矩阵，记 $r(\boldsymbol{X})$ 为矩阵 $\boldsymbol{X}$ 的秩，$(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y})$ 表示分块矩阵，则 （A）$r(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{B})=r(\boldsymbol{A})$ ． （B）$r(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{A})$. （C）$r(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B})=\max \{r(\boldsymbol{A}), r(\boldsymbol{B})\}$. （D）$r(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B})=r\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}\right)$ ．
设随机变量 $X$ 的概率密度 $f(x)$ 满足 $f(1+x)=f(1-x)$ ，且 $\displaystyle\int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x=0.6$ ，则 $P\{X\lt 0\} =$ （A）0．2． （B）0．3． （C）0．4． （D）0．5．
设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}(n \geqslant 2)$ 为来自总体 $N\left(\mu, \sigma^{2}\right)(\sigma\gt 0)$ 的简单随机样本．令 $\bar{X}=\displaystyle\frac{1}{n} \displaystyle\sum_{i=1}^{n} X_{i}, S= \sqrt{\displaystyle\frac{1}{n-1} \displaystyle\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}}, S^{*}=\sqrt{\displaystyle\frac{1}{n} \displaystyle\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu\right)^{2}}$ ，则 （A）$\displaystyle\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{S} \sim t(n)$ ． （B）$\displaystyle\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{S} \sim t(n-1)$ ． （C）$\displaystyle\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{S^{*}} \sim t(n)$ ． （D）$\displaystyle\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{S^{*}}$
$\displaystyle\int \mathrm{e}^{x} \arcsin \sqrt{1-\mathrm{e}^{2 x}} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$。
设函数 $f(x)$ 满足 $f(x+\Delta x)-f(x)=2 x f(x) \Delta x+o(\Delta x)(\Delta x \rightarrow 0)$ ，且 $f(0)=2$ ，则 $f(1) =$ $\_\_\_\_$ ．
设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶矩阵， $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 是线性无关的向量组。若 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{1}=\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{2}=\boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{3}= \boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{3}$ ，则 $|\boldsymbol{A}|=$ $\_\_\_\_$ ．
随机事件 $A, B, C$ 相互独立，且 $P(A)=P(B)=P(C)=\displaystyle\frac{1}{2}$ ，则 $P(A C \mid A \cup B)=$
已知实数 $a, b$ 满足 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty}\left[(a x+b) \mathrm{e}^{\displaystyle\frac{1}{x}}-x\right]=2$ ，求 $a, b$ ．
设平面区域 $D$ 由曲线 $y=\sqrt{3\left(1-x^{2}\right)}$ 与直线 $y=\sqrt{3} x$ 及 $y$ 轴围成。计算二重积分 $\displaystyle\iint_{D} x^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
已知 $\cos 2 x-\displaystyle\frac{1}{(1+x)^{2}}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}(-1\lt x\lt 1)$ ，求 $a_{n}$ ．
设数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 满足：$x_{1}\gt 0, x_{n} \mathrm{e}^{x_{n+1}}=\mathrm{e}^{x_{n}}-1(n=1,2, \cdots)$ 。证明 $\left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求 $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ ．
设实二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(x_{1}-x_{2}+x_{3}\right)^{2}+\left(x_{2}+x_{3}\right)^{2}+\left(x_{1}+a x_{3}\right)^{2}$ ，其中 $a$ 是参数。 （I）求 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=0$ 的解； （II）求 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 的规范形．
已知 $a$ 是常数，且矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & a \\ 1 & 3 & 0 \\ 2 & 7 & -a\end{array}\right)$ 可经初等列变换化为矩阵 $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ccc}1 & a & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1\end{array}\right)$ ． （I）求 $a$ ； （II）求满足 $\boldsymbol{A P}=\boldsymbol{B}$ 的可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ ．
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，$X$ 的概率分布为 $P\{X=1\}=P\{X=-1\}=\displaystyle\frac{1}{2}, Y$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布。令 $Z=X Y$ 。 （I）求 $\operatorname{Cov}(X, Z)$ ； （II）求 $Z$ 的概率分布．
设总体 $X$ 的概率密度为
$$
f(x ; \sigma)=\frac{1}{2 \sigma} \mathrm{e}^{-\frac{|x|}{\sigma}},-\infty\lt x\lt+\infty,
$$
其中 $\sigma \in(0,+\infty)$ 为未知参数，$X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本。记 $\sigma$ 的最大似然估计量为 $\hat{\sigma}$ ．
（I）求 $\hat{\sigma}$ ；
（II）求 $E(\hat{\sigma}), D(\hat{\sigma})$ ．