当 $x \rightarrow 0^{+}$时，下列无穷小量中，与 $x$ 等价的是（ ） A. $e^{-\sin x}-1$ B. $\sqrt{x+1}-\cos x$ C. $1-\cos \sqrt{2 x}$ D. $1-\displaystyle\frac{\ln (1+x)}{x}$
已知函数 $f(x)=\displaystyle\int_0^x e^{t^2} \sin t \mathrm{~d} t, g(x)=\displaystyle\int_0^x e^{t^2} \mathrm{~d} t \cdot \sin ^2 x$ ，则（ ） （A）$x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点，也是 $g(x)$ 的极值点 （B）$x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点，$(0,0)$ 是曲线 $y=g(x)$ 的拐点 （C）$x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点，$(0,0)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点 （D）$(0,0)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点，也是曲线 $y=g(x)$ 的拐点
已知 $k$ 为常数，则级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\left[\displaystyle\frac{1}{n}-\ln \left(1+\displaystyle\frac{k}{n^{2}}\right)\right]$（ ） A. 绝对收敛 B. 条件收敛 C. 发散 D. 敛散性与 $k$ 的取值相关
设函数 $f(x)$ 连续，则 $\displaystyle\int_{0}^{1} d y \displaystyle\int_{0}^{y} f(x) d x(\quad)$ A. $\displaystyle\int_{0}^{1} x f(x) d x$ B. $\displaystyle\int_{0}^{1}(1+x) f(x) d x$ C. $\displaystyle\int_{0}^{1}(x-1) f(x) d x$ D. $\displaystyle\int_{0}^{1}(1-x) f(x) d x$
已知 $A$ 是 $m \times n$ 的矩阵，$\beta$ 是 $m$ 维非零向量。若 $A$ 有 $k$ 阶非零子式，则（ ） A. 当 $k=m$ 时 $A x=\beta$ 有解 B. 当 $k=m$ 时 $A x=\beta$ 无解 C. 当 $k\lt m$ 时 $A x=\beta$ 有解 D. 当 $k\lt m$ 时 $A x=\beta$ 无解
设 $A$ 为 3 阶矩阵，则＂$A^{3}-A^{2}$ 可对角化＂是＂$A$ 可对角化＂的（ ） A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{cc}1 & 2 \\ -2 & -a\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 1 & a\end{array}\right)$ ，若 $f(x, y)=|x A+y B|$ 是正定二次型，则 $a$ 的取值范围是（ ） A. $(0,2-\sqrt{3})$ B. $(2-\sqrt{3}, 2+\sqrt{3})$ C. $(2+\sqrt{3}, 4)$ D. $(0,4)$
设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N(-1,1), Y$ 服从正态分布 $N(1,2)$ ，若 $X$ 与 $X+2 Y$ 不相关，则 $X$与 $X-Y$ 的相关系数为（ ） A. $\displaystyle\frac{1}{3}$ B. $\displaystyle\frac{1}{2}$ C. $\displaystyle\frac{2}{3}$ D. $\displaystyle\frac{3}{4}$
设 $x_{1}, x_{2} \cdots x_{20}$ 是来自总体 $B(1,0.1)$ 的简单随机样本，令 $T=\displaystyle\sum_{i=1}^{20} x$ ，利用泊松分布近似表示二项分布的方法可得 $P\{T \leq 1\} \approx$（ ） A. $\displaystyle\frac{1}{e^{2}}$ B. $\displaystyle\frac{2}{e^{2}}$ C. $\displaystyle\frac{3}{e^{2}}$ D. $\displaystyle\frac{4}{e^{2}}$
设总体 $X$ 的分布函数为 $F(x), X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，样本的经验分布函数为 $F_n(x)$ ．对于给定的 $x(0
设 $g(x)$ 是函数 $f(x)=\displaystyle\frac{1}{2} \ln \displaystyle\frac{3+x}{3-x}$ 的反函数，则曲线 $y=g(x)$ 的渐近线方程为 $\_\_\_\_$ ．
设 $\displaystyle\int_{1}^{+\infty} \displaystyle\frac{a}{x(2 x+a)} d x=\ln 2$ ，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．
已知函数 $z=z(x, y)$ 由 $z+\ln z-\displaystyle\int_{y}^{x} x e^{-t^{2}} \mathrm{~d} t=1$ 确定，则 $\left.\displaystyle\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}\right|_{(1,1)}=$ $\_\_\_\_$ ．
已知 $f(x)=\left|\begin{array}{cccc}2 x+1 & 3 & 2 x+1 & 1 \\ 2 x & -3 & 4 x & -2 \\ 2 x+1 & 2 & 2 x+1 & 1 \\ 2 x & -4 & 4 x & -2\end{array}\right|, g(x)=\left|\begin{array}{cccc}2 x+1 & 1 & 2 x+1 & 3 \\ 5 x+1 & -2 & 4 x & -3 \\ 0 & 1 & 2 x+1 & 2 \\ 2 x & -2 & 4 x & -4\end{array}\right|$ ，则方程 $f(x)=g(x)$的不同的根的个数为 $\_\_\_\_$ ．
设 $A B C$ 为三个随机事件，且 $A$ 与 $B$ 相互独立，$B$ 与 $C$ 相互独立，$A$ 与 $C$ 互不相容，已知 $P(A)= P(C)=\displaystyle\frac{1}{4}, P(B)=\displaystyle\frac{1}{2}$ ，则在事件 $A, B, C$ 至少有一个发生的事件下，$A, B, C$ 中恰有一个发生的概率为 $\_\_\_\_$ ．
（本题满分 10 分） 计算 $\displaystyle\int_{0}^{1} \displaystyle\frac{1}{(x+1)\left(x^{2}-2 x+2\right)} d x$ ．
（本题满分 12 分） 设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，且 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{x f(x)-\mathrm{e}^{2 \sin x}+1}{\ln (1+x)+\ln (1-x)}=-3$ ，证明 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，并求 $f^{\prime}(0)$ ．
（本题满分 12 分）已知平面有界区域 $D=\left\{(x, y) \mid y^2 \leq x, x^2 \leq y\right\}$ ，计算二重积分 $\displaystyle\iint_D(x-y+1)^2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$
（本题满分 12 分） 设函数 $f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内可导，证明导函数 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a, b)$ 内严格单调增加的充分必要条件是：对 $(a, b)$ 内任意的 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，当 $x_{1}\lt x_{2}\lt x_{3}$ 时，$\displaystyle\frac{f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)}{x_{2}-x_{1}}\lt\displaystyle\frac{f\left(x_{3}\right)-f\left(x_{2}\right)}{x_{3}-x_{2}}$ ．
（本题满分 12 分） 设矩阵 $A=\left[\begin{array}{ccccc}1 & -1 & 3 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & -2 & -a & -1 \\ 1 & 1 & a & 2 & 3\end{array}\right]$ 的秩为 2 ． （1）求 $a$ 的值． （2）求 $A$ 的列向量组的一个极大线性无关组 $\alpha, \beta$ ，并求矩阵 $H$ ，使得 $A=G H$ ，其中 $G=(\alpha, \beta)$.
（本题满分 12 分）
投保人的损失事件发生时，保险公司的赔付额 $Y$ 与投保人的损失额 $X$ 的关系为
$$
Y=\left\{\begin{array}{l}
0, X \leq 100 X-100, X>100
\end{array}\right.
$$
设损失事件发生时，投保人的损失额 $X$ 概率密度为
$$
f(x)= \begin{cases}\frac{2 \times 100^2}{(100+x)^3} & , x>0 \ 0, & x \leq 0\end{cases}
$$
（1）求 $P\{Y>0\}$ 及 $E Y$ ；
（2）这种损失事件在一年内发生的次数记为 $N$ ，保险公司在一年内就这种损失事件产生的理赔次数记为 $M$ ．假设 $N$ 服从参数为 8 的泊松分布，在 $N=n(n \geq 1)$ 的条件下，$M$ 服从二项分布 $B(n, p)$ ，其中 $p=P\{Y>0\}$ ，求 $M$ 的概率分布．