函数 $y=\displaystyle\frac{x}{e} \ln(e^x)$ 的斜渐近线方程为
A．$y=x+e$
B．$y=x+\displaystyle\frac{1}{e}$
C．$y=x$
D．$y=x-\displaystyle\frac{1}{e}$
2．函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}, & x \leqslant 0, \\ (x+1) \cos x, & x>0\end{array}\right.$ 的一个原函数为
（A）$F(x)= \begin{cases}\ln \left(\sqrt{1+x^2}-x\right), & x \leqslant 0, \\ (x+1) \cos x-\sin x, & x>0\end{cases}$
（B）$F(x)= \begin{cases}\ln \left(\sqrt{1+x^2}-x\right)+1, & x \leqslant 0, \\ (x+1) \cos x-\sin x, & x>0\end{cases}$
（C）$F(x)= \begin{cases}\ln \left(\sqrt{1+x^2}+x\right), & x \leqslant 0, \\ (x+1) \sin x+\cos x, & x>0\end{cases}$
（D）$F(x)= \begin{cases}\ln \left(\sqrt{1+x^2}+x\right)+1, & x \leqslant 0, \\ (x+1) \sin x+\cos x, & x>0\end{cases}$
已知 $\left\{x_{n}\right\},\left\{y_{n}\right\}$ 满足：$x_{1}=y_{1}=\displaystyle\frac{1}{2}, x_{n+1}=\sin x_{n}, y_{n+1}=y_{n}^{2}(n=1,2, \cdots)$ ，则当 $n \rightarrow \infty$ 时， A．$x_{n}$ 是 $y_{n}$ 的高阶无穷小 B．$y_{n}$ 是 $x_{n}$ 的高阶无穷小 C．$x_{n}$ 与 $y_{n}$ 是等价无穷小 D．$x_{n}$ 与 $y_{n}$ 是同阶但不等价的无穷小
若微分方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=0$ 的解在 $(-\infty,+\infty)$ 上有界，则 A．$a\lt 0, b\gt 0$ B．$a\gt 0, b\gt 0$ C．$a=0, b\gt 0$ D．$a=0, b\lt 0$
设函数 $y=f(x)$ 由 $\begin{cases}x=2t+|t| \\ y=|t|\sin t\end{cases}$ 确定，则
A．$f(x)$ 连续，$f'(0)$ 不存在
B．$f'(0)$ 存在，$f'(x)$ 在 $x=0$ 处不连续
C．$f'(x)$ 连续，$f''(0)$ 不存在
D．$f''(0)$ 存在，$f''(x)$ 在 $x=0$ 处不连续
若函数 $f(\alpha)=\displaystyle\int_{2}^{+\infty} \displaystyle\frac{1}{x(\ln x)^{\alpha+1}}$ 在 $\alpha=\alpha_{0}$ 处取得最小值，则 $\alpha_{0}=$ A．$-\displaystyle\frac{1}{\ln (\ln 2)}$ B．$-\ln (\ln 2)$ C．$\displaystyle\frac{1}{\ln 2}$ D． $\ln 2$
设函数 $f(x)=\left(x^{2}+a\right) \mathrm{e}^{x}$ ，若 $f(x)$ 没有极值点，但曲线 $y=f(x)$ 有拐点，则 $\alpha$ 的取值范围是 （ ） A．$[0,1)$ B．$[1,+\infty)$ C．$[1,2)$ D．$[2,+\infty)$
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为 $n$ 阶可逆矩阵， $\boldsymbol{E}$ 为 $n$ 阶单位矩阵， $\boldsymbol{M}^{*}$ 为矩阵 $\boldsymbol{M}$ 的伴随矩阵，则 $\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{E} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}\end{array}\right)^{*}=($ A．$\left(\begin{array}{cc}|\boldsymbol{A}| \boldsymbol{B}^{*} & -\boldsymbol{B}^{*} \boldsymbol{A}^{*} \\ \boldsymbol{O} & |\boldsymbol{B}| \boldsymbol{A}^{*}\end{array}\right)$ B．$\left(\begin{array}{cc}|\boldsymbol{A}| \boldsymbol{B}^{*} & -\boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{B}^{*} \\ \boldsymbol{O} & |\boldsymbol{B}| \boldsymbol{A}^{*}\end{array}\right)$ C．$\left(\begin{array}{cc}|\boldsymbol{B}| \boldsymbol{A}^{*} & -\boldsymbol{B}^{*} \boldsymbol{A}^{*} \\ \boldsymbol{O} & |\boldsymbol{A}| \boldsymbol{B}^{*}\end{array}\right)$ D．$\left(\begin{array}{cc}|\boldsymbol{B}| \boldsymbol{A}^{*} & -\boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{B}^{*} \\ \boldsymbol{O} & |\boldsymbol{A}| \boldsymbol{B}^{*}\end{array}\right)$
二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}+\left(x_{1}+x_{3}\right)^{2}-4\left(x_{2}-x_{3}\right)^{2}$ 的规范形为 A．$y_{1}^{2}+y_{2}^{2}$ B．$y_{1}^{2}-y_{2}^{2}$ C．$y_{1}^{2}+y_{2}^{2}-4 y_{3}^{2}$ D．$y_{1}^{2}+y_{2}^{2}-y_{3}^{2}$
已知向量 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_{2}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \boldsymbol{\beta}_{1}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 5 \\ 9\end{array}\right), \boldsymbol{\beta}_{2}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$ ．若 $\boldsymbol{\gamma}$ 既可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}$ 线性表示，也可由 $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}$ 线性表示，则 $\boldsymbol{\gamma}=$
A．$k\left(\begin{array}{l}3 \\ 3 \\ 4\end{array}\right), k \in \mathbb{R}$
B．$k\left(\begin{array}{c}3 \\ 5 \\ 10\end{array}\right), k \in \mathbb{R}$
C．$k\left(\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right), k \in \mathbb{R}$
D．$k\left(\begin{array}{l}1 \\ 5 \\ 8\end{array}\right), k \in \mathbb{R}$
当 $x \rightarrow 0$ 时，函数 $f(x)=a x+b x^{2}+\ln (1+x)$ 与 $g(x)=\mathrm{e}^{x^{2}}-\cos x$ 是等价无穷小，则 $a b=$ $\_\_\_\_$。
设函数 $z=z(x, y)$ 由 $\mathrm{e}^{z}+x z=2 x-y$ 确定，则 $\left.\displaystyle\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}\right|_{(1,1)}=$ $\_\_\_\_$ ．
设连续函数 $f(x)$ 满足：$f(x+2)-f(x)=x, \displaystyle\int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，则 $\displaystyle\int_{1}^{3} f(x) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
已知线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}a x_{1}+x_{3}=1 \\ x_{1}+a x_{2}+x_{3}=0 \\ x_{1}+2 x_{2}+a x_{3}=0 \\ a x_{1}+b x_{2}=2\end{array}\right.$ 有解，其中 $a, b$ 为常数．若 $\left|\begin{array}{lll}a & 0 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 2 & a\end{array}\right|=4$ ，则 $\left|\begin{array}{lll}1 & a & 1 \\ 1 & 2 & a \\ a & b & 0\end{array}\right|=$ $\_\_\_\_$ ．
设曲线 $L: y=y(x)(x\gt\mathrm{e})$ 经过点 $\left(\mathrm{e}^{2}, 0\right), L$ 上任一点 $P(x, y)$ 到 $y$ 轴的距离等于该点处的切线在 $y$ 轴上的截距。 （1）求 $y(x)$ ； （2）在 $L$ 上求一点，是该点处的切线与两坐标轴所围三角形的面积最小，并求此最小面积．
（本题满分 12 分） 已知平面区域 $D=\left\{(x, y) \left\lvert\, 0 \leqslant y \leqslant \displaystyle\frac{1}{x \sqrt{1+x^{2}}}\right., x \geqslant 1\right\}$ ． （1）求 $D$ 的面积； （2）求 $D$ 绕 $x$ 轴旋转所成旋转体的体积．
设平面有界区域 $D$ 位于第一象限，由曲线 $x^{2}+y^{2}-x y=1, x^{2}+y^{2}-x y=2$ 与直线 $y=\sqrt{3} x, y=0$ 围成，计算 $\displaystyle\iint_{D} \displaystyle\frac{1}{3 x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$.
设函数 $f(x)$ 在 $[-a, a]$ 上具有 2 阶连续导数．证明：
（1）若 $f(0)=0$ ，则存在 $\xi \in(-a, a)$ ，使得 $f^{\prime \prime}(\xi)=\displaystyle\frac{1}{a^{2}}[f(a)+f(-a)]$ ．
（2）若 $f(x)$ 在 $(-a, a)$ 内取得极值，则存在 $\eta \in(-a, a)$ ，使得
$$
\left|f^{\prime \prime}(\eta)\right| \geqslant \frac{1}{2 a^{2}}|f(a)-f(-a)|
$$
（本题满分 12 分）
设矩阵 $\boldsymbol{A}$ 满足：对任意 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 均有 $\boldsymbol{A}\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x_{1}+x_{2}+x_{3} \\ 2 x_{1}-x_{2}+x_{3} \\ x_{2}-x_{3}\end{array}\right)$ ．
（1）求 $\boldsymbol{A}$ ；
（2）求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 与对角矩阵 $\boldsymbol{A}$ ，使得 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}=\boldsymbol{\Lambda}$ ．