设函数 $z=z(x, y)$ 由 $z+\ln z-\displaystyle\int_{y}^{x} e^{-t^{2}} d t=0$ 确定，则 $\displaystyle\frac{\partial z}{\partial x}+\displaystyle\frac{\partial z}{\partial y}=()$ A．$\displaystyle\frac{z}{z+1}\left(e^{-x^{2}}-e^{-y^{2}}\right)$ B．$\displaystyle\frac{z}{z+1}\left(e^{-x^{2}}+e^{-y^{2}}\right)$ C．$-\displaystyle\frac{z}{z+1}\left(e^{-x^{2}}-e^{-y^{2}}\right)$ D．$-\displaystyle\frac{z}{z+1}\left(e^{-x^{2}}+e^{-y^{2}}\right)$
已知函数 $f(x)=\displaystyle\int_0^x \mathrm{e}^{t^2} \sin t \mathrm{~d} t, g(x)=\displaystyle\int_0^x \mathrm{e}^{t^2} \mathrm{~d} t \cdot \sin ^2 x$ ，则 （A）$x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点，也是 $g(x)$ 的极值点 （B）$x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点，$(0,0)$ 是曲线 $y=g(x)$ 的拐点 （C）$x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点，$(0,0)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点 （D）$(0,0)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点，也是曲线 $y=g(x)$ 的拐点
（3）如果对微分方程 $y^{\prime \prime}-2 a y^{\prime}+(a+2) y=0$ 的任意解 $y(x)$ ，反常积分 $\displaystyle\int_0^{+\infty} y(x) d x$均收玫，那么 $a$ 的取值范围是 （A）$(-2,-1]$ （B）$(-\infty,-1]$ （C）$(-2,0)$ （D）$(-\infty, 0)$
设函数 $f(x), g(x)$ 在 $x=0$ 的某去心邻域内有定义且恒不为零。若当 $x \rightarrow 0$时，$f(x)$ 是 $g(x)$ 的高阶无穷小，则当 $x \rightarrow 0$ 时， A．$f(x)+g(x)=o(g(x))$ B．$f(x) g(x)=o\left(f^{2}(x)\right)$ C．$f(x)=o\left(e^{g(x)}-1\right)$ D．$f(x)=o\left(g^{2}(x)\right)$
设函数 $f(x, y)$ 连续，则 $\displaystyle\int_{-2}^{2} d x \displaystyle\int_{4-x^{2}}^{4} f(x, y) d y=(\quad)$
A． $\displaystyle\int_{0}^{4}\left[\displaystyle\int_{-2}^{-\sqrt{4-y}} f(x, y) d x+\displaystyle\int_{\sqrt{4-y}}^{2} f(x, y) d x\right] d y$
B． $\displaystyle\int_{0}^{4}\left[\displaystyle\int_{-2}^{\sqrt{4-y}} f(x, y) d x+\displaystyle\int_{\sqrt{4-y}}^{2} f(x, y) d x\right] d y$
C． $\displaystyle\int_{0}^{4}\left[\displaystyle\int_{-2}^{-\sqrt{4-y}} f(x, y) d x+\displaystyle\int_{2}^{\sqrt{4-y}} f(x, y) d x\right] d y$
D． $2 \displaystyle\int_{0}^{4} d y \displaystyle\int_{\sqrt{4-y}}^{2} f(x, y) d x$
设单位质点 $P, Q$ 分别位于点 $(0,0)$ 和 $(0,1)$ 处，$P$ 从点 $(0,0)$ 出发沿 $x$ 轴正向移动，记 $G$ 为引力常量，则当质点 $P$ 移动到点 $(l, 0)$ 时，克服质点 $Q$ 的引力所做的功为（ ） A． $\displaystyle\int_{0}^{l} \displaystyle\frac{G}{x^{2}+1} d x$ B． $\displaystyle\int_{0}^{l} \displaystyle\frac{G x}{\left(x^{2}+1\right)^{\displaystyle\frac{3}{2}}} d x$ C． $\displaystyle\int_{0}^{l} \displaystyle\frac{G}{\left(x^{2}+1\right)^{\displaystyle\frac{3}{2}}} d x$ D． $\displaystyle\int_{0}^{l} \displaystyle\frac{G(x+1)}{\left(x^{2}+1\right)^{\displaystyle\frac{3}{2}}} d x$
设函数 $f(x)$ 连续，给出下列四个条件
（1） $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{|f(x)|-f(0)}{x}$ 存在；
（2） $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{f(x)-|f(0)|}{x}$ 存在；
（3） $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{|f(x)|}{x}$ 存在；
（4） $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{|f(x)|-|f(0)|}{x}$ 存在；
其中能得到＂$f(x)$ 在 $x=0$ 处可导＂的条件个数是（）
A． 1
B． 2
C． 3
D． 4
设矩阵 $\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 0 \\ 2 & a & 0 \\ 0 & 0 & b\end{array}\right)$ 有一个正特征值和两个负特征值，则（ ） A．$a\gt 4, b\gt 0$ B．$a\lt 4, b\gt 0$ C．$a\gt 4, b\lt 0$ D．$a\lt 4, b\lt 0$
下列矩阵中，可以经过若干初等行变换得到矩阵 $\left(\begin{array}{llll}1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ 的是 A．$\left(\begin{array}{llll}1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 1 & 4\end{array}\right)$ B．$\left(\begin{array}{llll}1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 5 \\ 1 & 1 & 1 & 3\end{array}\right)$ C．$\left(\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 0\end{array}\right)$ D．$\left(\begin{array}{llll}1 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 & 6\end{array}\right)$
设 3 阶矩阵 $A, B$ 满足 $r(A B)=r(B A)+1$ ，则 () A．方程组 $(A+B) x=0$ 只有零解 B．方程组 $A x=0$ 与方程组 $B x=0$ 均只有零解 C．方程组 $A x=0$ 与方程组 $B x=0$ 没有公共非零解 D．方程组 $A B A x=0$ 与方程组 $B A B x=0$ 有公共非零解
设 $\displaystyle\int_{1}^{+\infty} \displaystyle\frac{a}{x(2 x+a)} d x=\ln 2$ ，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．
$\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} \displaystyle\frac{1}{n^{2}}\left[\ln \displaystyle\frac{1}{n}+2 \ln \displaystyle\frac{2}{n}+\cdots+(n-1) \ln \displaystyle\frac{n-1}{n}\right]=$ $\_\_\_\_$ ．
已知函数 $y=y(x)$ 由 $\left\{\begin{array}{c}x=\ln (1+2 t) \\ 2 t-\displaystyle\int_{1}^{y+t^{2}} e^{-u^{2}} d u=0\end{array}\right.$ 确定，则 $\left.\displaystyle\frac{d y}{d x}\right|_{t=0}=$ $\_\_\_\_$ ．
设矩阵 $A=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}\right)$ ，若 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性无关，且 $\alpha_{1}+\alpha_{2}=\alpha_{3}+\alpha_{4}$ ，则方程组 $A x=\alpha_{1}+4 \alpha_{4}$ 的通解为 $x=$ $\_\_\_\_$。
（本题满分 10 分）
计算 $\displaystyle\int_{0}^{1} \displaystyle\frac{1}{(x+1)\left(x^{2}-2 x+2\right)} d x$ ．
（本题满分 12 分） 设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，且 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{x f(x)-e^{2 \sin x}+1}{\ln (1+x)+\ln (1-x)}=-3$ ，证明 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，并求 $f^{\prime}(0)$ ．
（本题满分 12 分） 设函数 $f(x, y)$ 可微且满足 $d f(x, y)=-2 x e^{-y} d x+e^{-y}\left(x^{2}-y-1\right) d y, f(0,0)=2$ ，求 $f(x, y)$ ，并求 $f(x, y)$ 的极值．
（本题满分 12 分） 已知平面有界区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq 4 x, x^{2}+y^{2} \leq 4 y\right\}$ ，计算 $\displaystyle\iint_{D}(x-y)^{2} d x d y$ ．
（本题满分 12 分）
设函数 $f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内可导，证明导函数 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a, b)$ 内严格单调增加的充分必要条件是：
对 $(a, b)$ 内任意的 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，当 $x_{1}\lt x_{2}\lt x_{3}$ 时，$\displaystyle\frac{f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)}{x_{2}-x_{1}}\lt\displaystyle\frac{f\left(x_{3}\right)-f\left(x_{2}\right)}{x_{3}-x_{2}}$ ．
（本题满分 12 分） 已知矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}4 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \\ -2 & 1 & a\end{array}\right)$ 与 $B=\left(\begin{array}{lll}k & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ 合同． （1）求 $a$ 的值及 $k$ 的取值范围； （2）若存在正交矩阵 $Q$ ，使得 $Q^{T} A Q=B$ ，求 $k$ 及 $Q$ ．