当 $x \rightarrow 0^{+}$时，与 $\sqrt{x}$ 等价的无穷小量是 （A） $1-\mathrm{e}^{\sqrt{x}}$ ． （B） $\ln \displaystyle\frac{1+x}{1-\sqrt{x}}$ ． （C）$\sqrt{1+\sqrt{x}}-1$ ． （D） $1-\cos \sqrt{x}$ ．
曲线 $y=\displaystyle\frac{1}{x}+\ln \left(1+\mathrm{e}^{x}\right)$ 渐近线的条数为 $($ （A） 0 ． （B） 1 ． （C）2． （D）3．
如图，连续函数 $y=f(x)$ 在区间 $[-3,-2],[2,3]$ 上的图形分别是直径为 1 的上、下半圆周，在区间 $[-2,0],[0,2]$ 上的图形分别是直径为 2 的下、上半圆周．设 $F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ ，则下列结论正确的是（
（A）$F(3)=-\displaystyle\frac{3}{4} F(-2)$ 。
$(\mathrm{B}) F(3)=\displaystyle\frac{5}{4} F(2)$ ．
（C）$F(-3)=\displaystyle\frac{3}{4} F(2)$ ．
（D）$F(-3)=-\displaystyle\frac{5}{4} F(-2)$ ．
设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，下列命题错误的是 （A）若 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{f(x)}{x}$ 存在，则 $f(0)=0$ ． （B）若 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{f(x)+f(-x)}{x}$ 存在，则 $f(0)=0$ ． （C）若 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{f(x)}{x}$ 存在，则 $f^{\prime}(0)$ 存在。 （D）若 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{f(x)-f(-x)}{x}$ 存在，则 $f^{\prime}(0)$ 存在．
设函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上具有二阶导数，且 $f^{\prime \prime}(x)\gt 0$ ，令 $u_{n}=f(n)(n=1,2, \cdots)$ ，则下列结论正确的是 （A）若 $u_{1}\gt u_{2}$ ，则 $\left\{u_{n}\right\}$ 必收敛。 （B）若 $u_{1}\gt u_{2}$ ，则 $\left\{u_{n}\right\}$ 必发散． （C）若 $u_{1}\lt u_{2}$ ，则 $\left\{u_{n}\right\}$ 必收敛。 （D）若 $u_{1}\lt u_{2}$ ，则 $\left\{u_{n}\right\}$ 必发散．
设曲线 $L: f(x, y)=1$（ $f(x, y)$ 具有一阶连续偏导数）过第 II 象限内的点 $M$ 和第IV象限内的点 $N, \Gamma$ 为 $L$ 上从点 $M$ 到点 $N$ 的一段弧，则下列积分小于零的是 （A） $\displaystyle\int_{\Gamma} f(x, y) \mathrm{d} x$ ． （B） $\displaystyle\int_{\Gamma} f(x, y) \mathrm{d} y$ ． （C） $\displaystyle\int_{\Gamma} f(x, y) \mathrm{d} s$ ． （D） $\displaystyle\int_{\Gamma} f_{x}^{\prime}(x, y) \mathrm{d} x+f_{y}^{\prime}(x, y) \mathrm{d} y$ ．
设向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关，则下列向量组线性相关的是 （A） $\boldsymbol{\alpha}_{1}-\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{2}-\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{3}-\boldsymbol{\alpha}_{1}$ ． （B） $\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{3}+\boldsymbol{\alpha}_{1}$. （C） $\boldsymbol{\alpha}_{1}-2 \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{2}-2 \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{3}-2 \boldsymbol{\alpha}_{1}$ ． （D） $\boldsymbol{\alpha}_{1}+2 \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{2}+2 \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{3}+2 \boldsymbol{\alpha}_{1}$ ．
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{rrr}2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，则 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ （A）合同，且相似。 （B）合同，但不相似。 （C）不合同，但相似。 （D）既不合同，也不相似。
某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为 $p(0\lt p\lt 1)$ ，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为（ ） （A） $3 p(1-p)^{2}$ 。 （B） $6 p(1-p)^{2}$ ． （C） $3 p^{2}(1-p)^{2}$ ． （D） $6 p^{2}(1-p)^{2}$ ．
设随机变量 $(X, Y)$ 服从二维正态分布，且 $X$ 与 $Y$ 不相关，$f_{X}(x), f_{Y}(y)$ 分别表示 $X, Y$ 的概率密度，则在 $Y=y$ 的条件下，$X$ 的条件概率密度 $f_{X \mid Y}(x \mid y)$ 为（ ） （A）$f_{X}(x)$ ． （B）$f_{Y}(y)$ ． $(\mathrm{C}) f_{X}(x) f_{Y}(y)$. （D）$\displaystyle\frac{f_{X}(x)}{f_{Y}(y)}$
$\displaystyle\int_{1}^{2} \displaystyle\frac{1}{x^{3}} \mathrm{e}^{\displaystyle\frac{1}{x}} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
设 $f(u, v)$ 为二元可微函数，$z=f\left(x^{y}, y^{x}\right)$ ，则 $\displaystyle\frac{\partial z}{\partial x}=$ $\_\_\_\_$。
二阶常系数非齐次线性微分方程 $y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+3 y=2 \mathrm{e}^{2 x}$ 的通解为 $y=$ $\_\_\_\_$ ．
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{llll}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，则 $\boldsymbol{A}^{3}$ 的秩为 $\_\_\_\_$ ．
求函数 $f(x, y)=x^{2}+2 y^{2}-x^{2} y^{2}$ 在区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 4, y \geqslant 0\right\}$ 上的最大值和最小值．
计算曲面积分 $I=\displaystyle\iint_{\Sigma} x z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+2 z y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+3 x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\Sigma$ 为曲面 $z=1-x^{2}-\displaystyle\frac{y^{2}}{4}(0 \leqslant z \leqslant 1)$ 的上侧．
设函数 $f(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内具有二阶导数且存在相等的最大值，$f(a)=g(a)$ ， $f(b)=g(b)$ ，证明：存在 $\xi \in(a, b)$ ，使得 $f^{\prime \prime}(\xi)=g^{\prime \prime}(\xi)$ ．
设幂级数 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内收敛，其和函数 $y(x)$ 满足
$$
y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}-4 y=0, \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=1 .
$$
（I）证明 $a_{n+2}=\displaystyle\frac{2}{n+1} a_{n}, n=1,2, \cdots$ ；
（II）求 $y(x)$ 的表达式。
设线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}+x_{2}+x_{3}=0, \tag{1}\\
x_{1}+2 x_{2}+a x_{3}=0, \\
x_{1}+4 x_{2}+a^{2} x_{3}=0
\end{array}\right.
$$
与方程
$$
\begin{equation*}
x_{1}+2 x_{2}+x_{3}=a-1 \tag{2}
\end{equation*}
$$
有公共解，求 $a$ 的值及所有公共解．
设 3 阶实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值 $\lambda_{1}=1, \lambda_{2}=2, \lambda_{3}=-2$ ，且 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,-1,1)^{\mathrm{T}}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的属于 $\lambda_{1}$ 的一个特征向量。记 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}^{5}-4 \boldsymbol{A}^{3}+\boldsymbol{E}$ ，其中 $\boldsymbol{E}$ 为 3 阶单位矩阵。 （I）验证 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$ 是矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的特征向量，并求 $\boldsymbol{B}$ 的全部特征值与特征向量； （II）求矩阵 $\boldsymbol{B}$ ．
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为
$$
f(x, y)= \begin{cases}2-x-y, & 0\lt x\lt 1,0\lt y\lt 1, ~ \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}
$$
（I）求 $P\{X\gt 2 Y\}$ ；
（II）求 $Z=X+Y$ 的概率密度 $f_{Z}(z)$ ．