下列曲线中有渐近线的是 （A）$y=x+\sin x$ ． （B）$y=x^{2}+\sin x$ ． （C）$y=x+\sin \displaystyle\frac{1}{x}$ ． （D）$y=x^{2}+\sin \displaystyle\frac{1}{x}$ ．
设函数 $f(x)$ 具有 2 阶导数，$g(x)=f(0)(1-x)+f(1) x$ ，则在区间 $[0,1]$ 上 （A）当 $f^{\prime}(x) \geqslant 0$ 时，$f(x) \geqslant g(x)$ ． （B）当 $f^{\prime}(x) \geqslant 0$ 时，$f(x) \leqslant g(x)$ ． （C）当 $f^{\prime \prime}(x) \geqslant 0$ 时，$f(x) \geqslant g(x)$ ． （D）当 $f^{\prime \prime}(x) \geqslant 0$ 时，$f(x) \leqslant g(x)$ ．
设 $f(x, y)$ 是连续函数，则 $\displaystyle\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \displaystyle\int_{-\sqrt{1-y^{2}}}^{1-y} f(x, y) \mathrm{d} x=$ （A） $\displaystyle\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \displaystyle\int_{0}^{x-1} f(x, y) \mathrm{d} y+\displaystyle\int_{-1}^{0} \mathrm{~d} x \displaystyle\int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y$ ． （B） $\displaystyle\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \displaystyle\int_{0}^{1-x} f(x, y) \mathrm{d} y+\displaystyle\int_{-1}^{0} \mathrm{~d} x \displaystyle\int_{-\sqrt{1-x^{2}}}^{0} f(x, y) \mathrm{d} y$ ． （C） $\displaystyle\int_{0}^{\displaystyle\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \displaystyle\int_{0}^{\displaystyle\frac{1}{\cos \theta+\sin \theta}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) \mathrm{d} r+\displaystyle\int_{\displaystyle\frac{\pi}{2}}^{\pi} \mathrm{d} \theta \displaystyle\int_{0}^{1} f(r \cos \theta, r \sin \theta) \mathrm{d} r$ ． （D） $\displaystyle\int_{0}^{\displaystyle\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \displaystyle\int_{0}^{\displaystyle\frac{1}{\cos \theta+\sin \theta}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r+\displaystyle\int_{\displaystyle\frac{\pi}{2}}^{\pi} \mathrm{d} \theta \displaystyle\int_{0}^{1} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r$.
若 $\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\left(x-a_{1} \cos x-b_{1} \sin x\right)^{2} \mathrm{~d} x=\min _{a, b \in \mathbf{R}}\left\{\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}(x-a \cos x-b \sin x)^{2} \mathrm{~d} x\right\}$ ，则 $a_{1} \cos x+b_{1} \sin x=$ （A） $2 \sin x$ ． （B） $2 \cos x$ ． （C） $2 \pi \sin x$ ． （D） $2 \pi \cos x$ ．
行列式 $\left|\begin{array}{llll}0 & a & b & 0 \\ a & 0 & 0 & b \\ 0 & c & d & 0 \\ c & 0 & 0 & d\end{array}\right|=(\quad)$ （A）$(a d-b c)^{2}$ ． （B）$-(a d-b c)^{2}$ ． （C）$a^{2} d^{2}-b^{2} c^{2}$ ． （D）$b^{2} c^{2}-a^{2} d^{2}$ ．
设 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 均为3维向量，则对任意常数 $k, l$ ，向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}+k \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{2}+l \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关是向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$ ， $\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关的 （A）必要非充分条件． （B）充分非必要条件． （C）充分必要条件。 （D）既非充分也非必要条件。
设随机事件 $A$ 与 $B$ 相互独立，且 $P（B）=0.5, P(A-B)=0.3$ ，则 $P(B-A)=($ （A）0．1． （B）0． 2 ． （C）0．3． （D）0．4．
设连续型随机变量 $X_{1}$ 与 $X_{2}$ 相互独立且方差均存在，$X_{1}$ 与 $X_{2}$ 概率密度分别为 $f_{1}(x)$ 与 $f_{2}(x)$ ，随机变量 $Y_{1}$ 的概率密度为 $f_{Y_{1}}(y)=\displaystyle\frac{1}{2}\left[f_{1}(y)+f_{2}(y)\right]$ ，随机变量 $Y_{2}=\displaystyle\frac{1}{2}\left(X_{1}+X_{2}\right)$ ，则 （A）$E\left(Y_{1}\right)\gt E\left(Y_{2}\right), D\left(Y_{1}\right)\gt D\left(Y_{2}\right)$ ． （B）$E\left(Y_{1}\right)=E\left(Y_{2}\right), D\left(Y_{1}\right)=D\left(Y_{2}\right)$ ． （C）$E\left(Y_{1}\right)=E\left(Y_{2}\right), D\left(Y_{1}\right)\lt D\left(Y_{2}\right)$ ． （D）$E\left(Y_{1}\right)=E\left(Y_{2}\right), D\left(Y_{1}\right)\gt D\left(Y_ \right.$\right)
设 $L$ 是柱面 $x^{2}+y^{2}=1$ 与平面 $y+z=0$ 的交线，从 $z$ 轴正向往 $z$ 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分 $\displaystyle\oint_{L} z \mathrm{~d} x+y \mathrm{~d} z=$ $\_\_\_\_$。
设二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}-x_{2}^{2}+2 a x_{1} x_{3}+4 x_{2} x_{3}$ 的负惯性指数为 1 ，则 $a$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ ．
设总体 $X$ 的概率密度为 $f(x ; \theta)=\left\{\begin{array}{ll}\displaystyle\frac{2 x}{3 \theta^{2}}, & \theta\lt x\lt 2 \theta, \\ 0, & \text { 其他，}\end{array}\right.$ 其中 $\theta$ 是末知参数，$X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，若 $c \displaystyle\sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}$ 是 $\theta^{2}$ 的无偏估计，则 $c=$
求极限 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{\displaystyle\int_{1}^{x}\left[t^{2}\left(\mathrm{e}^{\displaystyle\frac{1}{t}}-1\right)-t\right] \mathrm{d} t}{x^{2} \ln \left(1+\displaystyle\frac{1}{x}\right)}$ ．
设函数 $f(u)$ 具有二阶连续导数，$z=f\left(\mathrm{e}^{x} \cos y\right)$ 满足 $\displaystyle\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\displaystyle\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=\left(4 z+\mathrm{e}^{x} \cos y\right) \mathrm{e}^{2 x}$ ．若 $f(0)=0$ ， $f^{\prime}(0)=0$ ，求 $f(u)$ 的表达式．
根据题目开头信息，这应该是2014年考研数学数学一第18题，原题为一道完整的解答题，通常只有一问。补全后的完整题目如下：
设 $\Sigma$ 为曲面 $z=x^{2}+y^{2}(z \leqslant 1)$ 的上侧，计算曲面积分
$$
I=\iint_{\Sigma}(x-1)^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+(y-1)^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+(z-1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y.
$$
设数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 满足 $0\lt a_{n}\lt\displaystyle\frac{\pi}{2}, 0\lt b_{n}\lt\displaystyle\frac{\pi}{2}, \cos a_{n}-a_{n}=\cos b_{n}$ ，且级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收敛。 （ I ）证明 $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ； （II）证明级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \displaystyle\frac{a_{n}}{b_{n}}$ 收敛。
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{rrrr}1 & -2 & 3 & -4 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & -3\end{array}\right), \boldsymbol{E}$ 为 3 阶单位矩阵。 （ I ）求方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的一个基础解系； （II）求满足 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{E}$ 的所有矩阵 $\boldsymbol{B}$ 。
证明 $n$ 阶矩阵 $\left(\begin{array}{cccc}1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 1 & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & 1 & \cdots & 1\end{array}\right)$ 与 $\left(\begin{array}{cccc}0 & \cdots & 0 & 1 \\ 0 & \cdots & 0 & 2 \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & n\end{array}\right)$ 相似。
设随机变量 $X$ 的概率分布为 $P\{X=1\}=P\{X=2\}=\displaystyle\frac{1}{2}$ 。在给定 $X=i$ 的条件下，随机变量 $Y$ 服从均匀分布 $U(0, i)(i=1,2)$ 。 （I）求 $Y$ 的分布函数 $F_{Y}(y)$ ； （II）求 $E(Y)$ 。
设总体 $X$ 的分布函数为 $F(x ; \theta)=\left\{\begin{array}{ll}1-\mathrm{e}^{-\displaystyle\frac{x^{2}}{\theta}}, & x \geqslant 0, \\ 0, & x\lt 0,\end{array}\right.$ 其中 $\theta$ 是未知参数且大于零．$X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本。 （I）求 $E(X)$ 与 $E\left(X^{2}\right)$ ； （II）求 $\theta$ 的最大似然估计量 $\widehat{\theta_{n}}$ ； （III）是否存在实数 $a$ ，使得对任何 $\varepsilon\gt 0$ ，都有 $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\left|\hat{\theta_{n}}-a\right| \geqslant \varepsilon\right\}=0$ ？