函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\displaystyle\frac{\mathrm{e}^{x}-1}{x}, & x \neq 0, \\ 1, & x=0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处（ ）。 （A）连续且取得极大值 （B）连续且取得极小值 （C）可导且导数等于零 （D）可导且导数不为零
设函数 $f(x, y)$ 可微，且 $f\left(x+1, \mathrm{e}^{x}\right)=x(x+1)^{2}, f\left(x, x^{2}\right)=2 x^{2} \ln x$ ，则 $\mathrm{d} f(1,1)=()$ 。 （A） $\mathrm{d} x+\mathrm{d} y$ （B） $\mathrm{d} x-\mathrm{d} y$ （C） $\mathrm{d} y$ （D）$-\mathrm{d} y$
设函数 $f(x)=\displaystyle\frac{\sin x}{1+x^{2}}$ 在 $x=0$ 处的 3 次泰勒多项式为 $a x+b x^{2}+c x^{3}$ ，则（ ）． （A）$a=1, b=0, c=-\displaystyle\frac{7}{6}$ （B）$a=1, b=0, c=\displaystyle\frac{7}{6}$ （C）$a=-1, b=-1, c=-\displaystyle\frac{7}{6}$ （D）$a=-1, b=-1, c=\displaystyle\frac{7}{6}$
设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上连续，则 $\displaystyle\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=(\quad)$ ． （A） $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} \displaystyle\sum_{k=1}^{n} f\left(\displaystyle\frac{2 k-1}{2 n}\right) \displaystyle\frac{1}{2 n}$ （B） $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} \displaystyle\sum_{k=1}^{n} f\left(\displaystyle\frac{2 k-1}{2 n}\right) \displaystyle\frac{1}{n}$ （C） $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} \displaystyle\sum_{k=1}^{2 n} f\left(\displaystyle\frac{k-1}{2 n}\right) \displaystyle\frac{1}{n}$ （D） $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} \displaystyle\sum_{k=1}^{2 n} f\left(\displaystyle\frac{k}{2 n}\right) \displaystyle\frac{2}{n}$
设二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}+\left(x_{2}+x_{3}\right)^{2}-\left(x_{3}-x_{1}\right)^{2}$ 的正惯性指数与负惯性指数依次为（ ）。 （A） 2,0 （B） 1,1 （C） 2,1 （D） 1,2
已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_{2}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_{3}=\left(\begin{array}{l}3 \\ 1 \\ 2\end{array}\right), \boldsymbol{\beta}_{1}=\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}=\boldsymbol{\alpha}_{2}-k \boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{3}=\boldsymbol{\alpha}_{3}-l_{1} \boldsymbol{\beta}_{1}-l_{2} \boldsymbol{\beta}_{2}$ ，若 $\boldsymbol{\beta}_{1}$ ， $\boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}$ 两两相交，则 $l_{1}, l_{2}$ 依次为（ ）。 （A）$\displaystyle\frac{5}{2}, \displaystyle\frac{1}{2}$ （B）$-\displaystyle\frac{5}{2}, \displaystyle\frac{1}{2}$ （C）$\displaystyle\frac{5}{2},-\displaystyle\frac{1}{2}$ （D）$-\displaystyle\frac{5}{2},-\displaystyle\frac{1}{2}$
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为 $n$ 阶实矩阵，下列结论不成立的是（ ）。 （A）$r\left(\begin{array}{cc}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}\end{array}\right)=2 r(\boldsymbol{A})$ （B）$r\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\end{array}\right)=2 r(\boldsymbol{A})$ （C）$r\left(\begin{array}{cc}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{B} \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\end{array}\right)=2 r(\boldsymbol{A})$ （D）$r\left(\begin{array}{cc}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{B} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\end{array}\right)=2 r(\boldsymbol{A})$
设 $A, B$ 为随机事件，且 $0\lt P(B)\lt 1$ ，下列命题中为假命题的是（ ）。 (A)若 $P(A \mid B)=P(A)$ ，则 $P(A \mid \bar{B})=P(A)$ (B)若 $P(A \mid B)\gt P(A)$ ，则 $P(\bar{A} \mid \bar{B})\gt P(\bar{A})$ (C)若 $P(A \mid B)\gt P(A \mid \bar{B})$ ，则 $P(A \mid B)\gt P(A)$ (D)若 $P(A \mid A \cup B)\gt P(\bar{A} \mid A \cup B)$ ，则 $P(A)\gt P(B)$
设 $\left(X_{1}, Y_{1}\right),\left(X_{2}, Y_{2}\right), \cdots,\left(X_{n}, Y_{n}\right)$ 为来自总体 $N\left(\mu_{1}, \mu_{2} ; \sigma_{1}^{2}, \sigma_{2}^{2} ; \rho\right)$ 的简单随机样本， 令 $\theta=\mu_{1}-\mu_{2}, \bar{X}=\displaystyle\frac{1}{n} \displaystyle\sum_{i=1}^{n} X_{i}, \bar{Y}=\displaystyle\frac{1}{n} \displaystyle\sum_{i=1}^{n} Y_{i}, \hat{\theta}=\bar{X}-\bar{Y}$ ，则（ ）。 （A）$\hat{\theta}$ 是 $\theta$ 的无偏估计，$D(\hat{\theta})=\displaystyle\frac{\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}}{n}$ （B）$\hat{\theta}$ 不是 $\theta$ 的无偏估计，$D(\hat{\theta})=\displaystyle\frac{\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}}{n}$ （C）$\hat{\theta}$ 是 $\theta$ 的无偏估计，$D(\hat{\theta})=\displaystyle\frac{\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}-2 \rho \sigma_{1} \sigma_{2}}{n}$ （D）$\hat{\theta}$ 不是 $\theta$ 的无偏估计，$D(\hat{\theta})=\displaystyle\frac{\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}-2 \rho \sigma_{1} \sigma_{2}}{n}$
设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{16}$ 是来自总体 $N(\mu, 4)$ 的简单随机样本，考虑假设检验问题：$H_{0}: \mu \leqslant 10$ ， $H_{1}: \mu\gt 10, \Phi(x)$ 表示标准正态分布函数，若该检验问题的拒绝域为 $W=\{\bar{X} \geqslant 11\}$ ，其中 $\bar{X}=\displaystyle\frac{1}{16} \displaystyle\sum_{i=1}^{16} X_{i}$ ，则 $\mu=11.5$ 时，该检验犯第二类错误的概率为（ ）。
（A） $1-\Phi(0.5)$
（B） $1-\Phi(1)$
（C） $1-\Phi(1.5)$
（D） $1-\Phi(2)$
、填空题（ $11 \sim 16$ 小题，每小题 5 分，共 30 分．请将答案写在题中的横线上．）
$\displaystyle\int_{0}^{+\infty} \displaystyle\frac{\mathrm{d} x}{x^{2}+2 x+2}=$ $\_\_\_\_$ ．
设函数 $y=y(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=2 \mathrm{e}^{t}+t+1, \\ y=4(t-1) \mathrm{e}^{t}+t^{2}\end{array}\right.$ 所确定，则 $\left.\displaystyle\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}\right|_{t=0}=$ $\_\_\_\_$ ．
欧拉方程 $x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}-4 y=0$ 满足条件 $y(1)=1, y^{\prime}(1)=2$ 的解为 $y=$ $\_\_\_\_$ ．
设 $\Sigma$ 为空间区域 $\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+4 y^{2} \leqslant 4,0 \leqslant z \leqslant 2\right\}$ 表面的外侧，则曲面积分 $\displaystyle\iint_{\Sigma} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．
设 $\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)$ 为3阶矩阵，$A_{i j}$ 为代数余子式，若 $\boldsymbol{A}$ 的每行元素之和均为 2 ，且 $|\boldsymbol{A}|=3$ ，则 $A_{11}+A_{21}+A_{31}=$ $\_\_\_\_$。
甲、乙两个盒子中各装有 2 个红球和 2 个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中，再从乙盒中任取一球，令 $X, Y$ 分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则 $X$ 与 $Y$
的相关系数为 $\_\_\_\_$。
求极限 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0}\left(\displaystyle\frac{1+\displaystyle\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t}{\mathrm{e}^{x}-1}-\displaystyle\frac{1}{\sin x}\right)$ ．
设 $u_{n}(x)=\mathrm{e}^{-n x}+\displaystyle\frac{x^{n+1}}{n(n+1)}(n=1,2, \cdots)$ ，求级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 的收敛域及和函数．
已知曲线 $C:\left\{\begin{array}{l}x^{2}+2 y^{2}-z=6, \\ 4 x+2 y+z=30,\end{array}\right.$ 求 $C$ 上的点到 $x O y$ 坐标面距离的最大值．
设 $D \subset \mathbf{R}^{2}$ 是有界单连通闭区域，$I(D)=\displaystyle\iint_{D}\left(4-x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 取得最大值的积分区域为 $D_{1}$ ． （I）求 $I\left(D_{1}\right)$ 的值； （II）计算 $\displaystyle\int_{\partial D_{1}} \displaystyle\frac{\left(x \mathrm{e}^{x^{2}+4 y^{2}}+y\right) \mathrm{d} x+\left(4 y \mathrm{e}^{x^{2}+4 y^{2}}-x\right) \mathrm{d} y}{x^{2}+4 y^{2}}$ ，其中 $\partial D_{1}$ 是 $D_{1}$ 的正向边界．
已知 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}a & 1 & -1 \\ 1 & a & -1 \\ -1 & -1 & a\end{array}\right)$ ． （I）求正交矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，使得 $\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A P}$ 为对角矩阵； （II）求正定矩阵 $\boldsymbol{C}$ ，使得 $\boldsymbol{C}^{2}=(a+3) \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}$ 。
在区间 $(0,2)$ 上随机取一点，将该区间分成两段，较短一段的长度为 $X$ ，较长一段的长度为 $Y$ ，令 $Z=\displaystyle\frac{Y}{X}$ ． （I）求 $X$ 的概率密度； （II）求 $Z$ 的概率密度； （III）求 $E\left(\displaystyle\frac{X}{Y}\right)$ ．