设 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 1} \displaystyle\frac{f(x)}{\ln x}=1$ ，则 ． A．$f(1)=0$ B． $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=0$ C．$f^{\prime}(1)=1$ D． $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 1} f^{\prime}(x)=1$
已知 $z=xy f\left(\displaystyle\frac{y}{x}\right)$，且 $f(u)$ 可导，$x \displaystyle\frac{\partial z}{\partial x}+y \displaystyle\frac{\partial z}{\partial y}=y^2(\ln y-\ln x)$，则（ ）
A．$f(1)=\displaystyle\frac{1}{2}, f'(1)=0$
B．$f(1)=0, f'(1)=\displaystyle\frac{1}{2}$
C．$f(1)=\displaystyle\frac{1}{2}, f'(1)=1$
D．$f(1)=0, f'(1)=1$
设 $-\displaystyle\frac{\pi}{2} \leq x_n \leq \displaystyle\frac{\pi}{2}$ ，则（ ）
A．若 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \cos(\sin x_n)$ 存在，则 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} x_n$ 存在。
B．若 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \sin(\cos x_n)$ 存在，则 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} x_n$ 存在。
C．若 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \cos(\sin x_n)$ 存在且 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \sin x_n$ 存在，则 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} x_n$ 不一定存在。
D．若 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \sin(\cos x_n)$ 存在且 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \cos x_n$ 存在，则 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} x_n$ 不一定存在。
$I_{1}=\displaystyle\int_{0}^{1} \displaystyle\frac{x}{2(1+\cos x)} d x, I_{2}=\displaystyle\int_{0}^{1} \displaystyle\frac{\ln (1+x)}{1+\cos x} d x, I_{3}=\displaystyle\int_{0}^{1} \displaystyle\frac{2 x}{1+\sin x} d x$ ，则 A．$I_{1}\lt I_{2}\lt I_{3}$ ． B．$I_{3}\lt I_{1}\lt I_{2}$ ． C．$I_{2}\lt I_{1}\lt I_{3}$ ． D．$I_{2}\lt I_{1}\lt I_{3}$ ．
下列是 $A_{3 \times 3}$ 可对角化的充分而非必要条件是
A．A 有 3 个不同特征值
B．A 有 3 个无关的特征向量
C．A 有 3 个两两无关的特征向量
D．A 不同特征值对应的特征向量正交
设矩阵 $A, B$ 均为 $n$ 阶方阵，若 $A x=0$ 与 $B x=0$ 同解，则（ ）． A．$\left(\begin{array}{ll}A & O \\ E & B\end{array}\right) x=0$ 仅有零解 B．$\left(\begin{array}{cc}A B & B \\ O & A\end{array}\right) x=0$ 仅有零解 C．$\left(\begin{array}{ll}A & B \\ O & B\end{array}\right) x=0$ 与 $\left(\begin{array}{ll}B & A \\ O & A\end{array}\right) x=0$ 同解 D．$\left(\begin{array}{cc}A B & B \\ O & A\end{array}\right) x=0$ 与 $\left(\begin{array}{cc}B A & A \\ O & B\end{array}\right) x=0$ 同解
设 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=\left(\begin{array}{l}\lambda \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_{2}=\left(\begin{array}{l}1 \\ \lambda \\ 1\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_{3}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ \lambda\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_{4}=\left(\begin{array}{c}1 \\ \lambda \\ \lambda^{2}\end{array}\right)$ ，若 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 与 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 等价，则 $\lambda \in(\quad)$ ． A．$\{\lambda \mid \lambda \in \mathbb{R}\}$ B．$\{\lambda \mid \lambda \in \mathbb{R}, \lambda \neq-1\}$ C．$\{\lambda \mid \lambda \in \mathbb{R}, \lambda \neq-1, \lambda \neq-2\}$ D．$\{\lambda \mid \lambda \in \mathbb{R}, \lambda \neq-2\}$
设 $X \sim U(0,3), Y \sim P(2), \operatorname{Cov}(X, Y)=-1$ ，求 $D(2 X-Y+1)=(\quad)$ ． （A） 10 （B） 9 （C） 1 （D） 0
设 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 独立同分布，$E(X_i^k)=\mu_k$ ，用切比雪夫不等式估计 $P\left\{\left|\displaystyle\frac{1}{n} \displaystyle\sum_{i=1}^{n} X_i - \mu_1\right| \geq \varepsilon\right\} \leq ?$
A．$\displaystyle\frac{\mu_4-\mu_2^2}{n \varepsilon^2}$
B．$\displaystyle\frac{\mu_4-\mu_2^2}{\sqrt{n} \varepsilon^2}$
C．$\displaystyle\frac{\mu_2-\mu_1^2}{n \varepsilon^2}$
D．$\displaystyle\frac{\mu_2-\mu_1^2}{\sqrt{n} \varepsilon^2}$
设 $X \sim N(0,1)$ ，在 $X=x$ 的条件下，$Y \sim N(x, 1)$ ，则 $X$ 与 $Y$ 的相关系数为（ ）． A． 1 B．$\displaystyle\frac{1}{2}$ C．$\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}$ D．$\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}$
级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \displaystyle\frac{n!}{n^{n}} e^{-n-x}$ 的收敛域为 $(a,+\infty)$ ，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}$ 可逆，若 $\boldsymbol{B}$ 满足 $\left(\boldsymbol{E}-(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})^{-1}\right) \boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}$ ，则 $\boldsymbol{B}-\boldsymbol{A}=$ $\_\_\_\_$。
设 $A, B, C$ 满足 $A, B$ 互不相容，$A, C$ 互不相容，$B, C$ 相互独立， $P(A)=P(B)=P(C)=\displaystyle\frac{1}{3}$ ，则 $P[(B \bigcup C) \mid(A \bigcup B \bigcup C)]=$ $\_\_\_\_$ ．
三、解答题： $17 \sim 22$ 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（本题满分 10 分） 设 $y=y(x)$ 满足 $y^{\prime}+\displaystyle\frac{1}{2 \sqrt{x}} y=2+\sqrt{x}, y(1)=3$ ，求 $y(x)$ 渐近线．
已知平面区域 $D=\left\{(x, y) \mid y-2 \leq x \leq \sqrt{4-y^2}, 0 \leq y \leq 2\right\} $，计算 $I=\displaystyle\iint_D \displaystyle\frac{(x-y)^2}{x^2+y^2} d x d y$
设 $\Sigma$ 为 $4x^2+y^2+z^2=1, x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0$ 的上侧，$\Sigma$ 的边界 $L$ 的方向与 $\Sigma$ 的侧符合右手法则，求 $\displaystyle\int_L (yz^2-\cos z) dz + 2xy^2 dy + (2xyz + x\sin z) dz$
（本题满分 12 分） 设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上有二阶连续导数，证明：$f^{\prime \prime}(x) \geq 0$ 的充要条件是对任意的实数 $a, b$ ，有 $f\left(\displaystyle\frac{a+b}{2}\right) \leq \displaystyle\frac{1}{b-a} \displaystyle\int_{a}^{b} f(x) d x$ ．
（本题满分 12 分） 设二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\displaystyle\sum_{i=1}^{3} \displaystyle\sum_{j=1}^{3} i j x_{i} x_{j}$ ． （1）求二次型矩阵 （2）求正交矩阵 $\boldsymbol{Q}$ ，使得二次型经正交变换 $\boldsymbol{x}=Q y$ 化为标准形 （3）求 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=0$ 的解
（本题满分 12 分）
设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自期望为 $\theta$ 的指数分布的简单随机样本，$Y_{1}, Y_{2}, \cdots, Y_{m}$ 是来自期望为 $2 \theta$ 的指数分布的简单随机样本，且 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}, Y_{1}, Y_{2}, \cdots, Y_{m}$ 相互独立，求 $\theta$ 的最大似然估计量 $\hat{\theta}$ ，及 $D(\hat{\theta})$ ．