当 $x \rightarrow 0^{+}$时，与 $\sqrt{x}$ 等价的无穷小量是 （A） $1-\mathrm{e}^{\sqrt{x}}$ ． （B） $\ln \displaystyle\frac{1+x}{1-\sqrt{x}}$ ． （C）$\sqrt{1+\sqrt{x}}-1$ ． （D） $1-\cos \sqrt{x}$ ．
函数 $f(x)=\displaystyle\frac{\left(\mathrm{e}^{\displaystyle\frac{1}{x}}+\mathrm{e}\right) \tan x}{x\left(\mathrm{e}^{\displaystyle\frac{1}{x}}-\mathrm{e}\right)}$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上的第一类间断点是 $x=$ （A）0． （B） 1 ． （C）$-\displaystyle\frac{\pi}{2}$ ． （D）$\displaystyle\frac{\pi}{2}$ ．
如图，连续函数 $y=f(x)$ 在区间 $[-3,-2],[2,3]$ 上的图形分别是直径为 1 的上、下半圆周，在区间 $[-2,0],[0,2]$ 上的图形分别是直径为 2 的下、上半圆周．设 $F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ ，则下列结论正确的是
（A）$F(3)=-\displaystyle\frac{3}{4} F(-2)$ ．
$(\mathrm{B}) F(3)=\displaystyle\frac{5}{4} F(2)$ ．
（C）$F(-3)=\displaystyle\frac{3}{4} F(2)$ 。
（D）$F(-3)=-\displaystyle\frac{5}{4} F(-2)$ ．
设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，下列命题错误的是 （A）若 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{f(x)}{x}$ 存在，则 $f(0)=0$ ． （B）若 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{f(x)+f(-x)}{x}$ 存在，则 $f(0)=0$ ． （C）若 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{f(x)}{x}$ 存在，则 $f^{\prime}(0)$ 存在。 （D）若 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{f(x)-f(-x)}{x}$ 存在，则 $f^{\prime}(0)$ 存在。
曲线 $y=\displaystyle\frac{1}{x}+\ln \left(1+\mathrm{e}^{x}\right)$ 渐近线的条数为 （A） 0 ． （B） 1 ． （C）2． （D）3．
设函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内具有二阶导数，且 $f^{\prime \prime}(x)\gt 0$ ，令 $u_{n}=f(n)(n=1,2, \cdots)$ ，则下列结论正确的是（ （A）若 $u_{1}\gt u_{2}$ ，则 $\left\{u_{n}\right\}$ 必收敛。 （B）若 $u_{1}\gt u_{2}$ ，则 $\left\{u_{n}\right\}$ 必发散。 （C）若 $u_{1}\lt u_{2}$ ，则 $\left\{u_{n}\right\}$ 必收敛。 （D）若 $u_{1}\lt u_{2}$ ，则 $\left\{u_{n}\right\}$ 必发散。
二元函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微的一个充分条件是 （A） $\displaystyle\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)}[f(x, y)-f(0,0)]=0$ ． （B） $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{f(x, 0)-f(0,0)}{x}=0$ ，且 $\displaystyle\lim _{y \rightarrow 0} \displaystyle\frac{f(0, y)-f(0,0)}{y}=0$ ． （C） $\displaystyle\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \displaystyle\frac{f(x, y)-f(0,0)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=0$ ． （D） $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0}\left[f_{x}^{\prime}(x, 0)-f_{x}^{\prime}(0,0)\right]=0$ ，且 $\displaystyle\lim _{y \rightarrow 0}\left[f_{y}^{\prime}(0, y)-f_{y}^{\prime}(0,0)\right]=0$ ．
设函数 $f(x, y)$ 连续，则二次积分 $\displaystyle\int_{\displaystyle\frac{\pi}{2}}^{\pi} \mathrm{d} x \displaystyle\int_{\sin x}^{1} f(x, y) \mathrm{d} y$ 等于（ ） （A） $\displaystyle\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \displaystyle\int_{\pi+\arcsin y}^{\pi} f(x, y) \mathrm{d} x$. （B） $\displaystyle\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \displaystyle\int_{\pi-\arcsin y}^{\pi} f(x, y) \mathrm{d} x$. （C） $\displaystyle\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \displaystyle\int_{\displaystyle\frac{\pi}{2}}^{\pi+\arcsin y} f(x, y) \mathrm{d} x$. （D） $\displaystyle\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \displaystyle\int_{\displaystyle\frac{\pi}{2}}^{\pi-\arcsin y} f(x, y) \mathrm{d} x$.
设向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关，则下列向量组线性相关的是（ ） （A） $\boldsymbol{\alpha}_{1}-\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{2}-\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{3}-\boldsymbol{\alpha}_{1}$. （B） $\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{3}+\boldsymbol{\alpha}_{1}$. （C） $\boldsymbol{\alpha}_{1}-2 \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{2}-2 \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{3}-2 \boldsymbol{\alpha}_{1}$ ． （D） $\boldsymbol{\alpha}_{1}+2 \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{2}+2 \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{3}+2 \boldsymbol{\alpha}_{1}$ ．
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，则 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}(\quad)$ （A）合同且相似。 （B）合同，但不相似。 （C）不合同，但相似。 （D）既不合同，也不
$\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{\arctan x-\sin x}{x^{3}}=$ $\_\_\_\_$ ．
曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos t+\cos ^{2} t \\ y=1+\sin t\end{array}\right.$ ，上对应于 $t=\displaystyle\frac{\pi}{4}$ 的点处的法线斜率为 $\_\_\_\_$ ．
二阶常系数非齐次线性微分方程 $y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+3 y=2 \mathrm{e}^{2 x}$ 的通解为 $\_\_\_\_$ ．
设 $f(u, v)$ 是二元可微函数，$z=f\left(\displaystyle\frac{y}{x}, \displaystyle\frac{x}{y}\right)$ ，则 $x \displaystyle\frac{\partial z}{\partial x}-y \displaystyle\frac{\partial z}{\partial y}=$ $\_\_\_\_$ ．
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{llll}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，则 $\boldsymbol{A}^{3}$ 的秩为 $\_\_\_\_$
设 $f(x)$ 是区间 $\left[0, \displaystyle\frac{\pi}{4}\right]$ 上的单调、可导函数，且满足
$$
\int_{0}^{f(x)} f^{-1}(t) \mathrm{d} t=\int_{0}^{x} t \frac{\cos t-\sin t}{\sin t+\cos t} \mathrm{~d} t
$$
其中 $f^{-1}$ 是 $f$ 的反函数，求 $f(x)$ ．
设 $D$ 是位于曲线 $y=\sqrt{x} a^{-\displaystyle\frac{x}{2 a}}(a\gt 1,0 \leqslant x\lt+\infty)$ 下方、 $x$ 轴上方的无界区域。 （I）求区域 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所成旋转体的体积 $V(a)$ ； （II）当 $a$ 为何值时，$V(a)$ 最小？并求此最小值。
求微分方程 $y^{\prime \prime}\left(x+y^{\prime 2}\right)=y^{\prime}$ 满足初始条件 $y(1)=y^{\prime}(1)=1$ 的特解。
已知函数 $f(u)$ 具有二阶导数，且 $f^{\prime}(0)=1$ ，函数 $y=y(x)$ 由方程 $y-x \mathrm{e}^{y-1}=1$ 所确定．设 $z=f(\ln y-\sin x)$ ，求 $\left.\displaystyle\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=0},\left.\displaystyle\frac{\mathrm{~d}^{2} z}{\mathrm{~d} x^{2}}\right|_{x=0}$ ．
设函数 $f(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内具有二阶导数且存在相等的最大值，$f(a)= g(a), f(b)=g(b)$ ，证明：存在 $\xi \in(a, b)$ ，使得 $f^{\prime \prime}(\xi)=g^{\prime \prime}(\xi)$ ．
设二元函数
$$
f(x, y)= \begin{cases}x^{2}, & |x|+|y| \leqslant 1 \\ \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & 1\lt|x|+|y| \leqslant 2\end{cases}
$$
计算二重积分 $\displaystyle\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $D=\{(x, y)| | x|+|y| \leqslant 2\}$ ．
设线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}+x_{2}+x_{3}=0 \tag{1}\\
x_{1}+2 x_{2}+a x_{3}=0 \\
x_{1}+4 x_{2}+a^{2} x_{3}=0
\end{array}\right.
$$
与方程组
$$
\begin{equation*}
x_{1}+2 x_{2}+x_{3}=a-1 \tag{2}
\end{equation*}
$$
有公共解，求 $a$ 的值及所有公共解．