函数 $f(x)=\displaystyle\frac{x-x^{3}}{\sin \pi x}$ 的可去间断点的个数为（ ） （A） 1 ． （B）2． （C）3． （D）无穷多个。
当 $x \rightarrow 0$ 时，$f(x)=x-\sin a x$ 与 $g(x)=x^{2} \ln (1-b x)$ 是等价无穷小量，则（ ） （A）$a=1, b=-\displaystyle\frac{1}{6}$ ． （B）$a=1, b=\displaystyle\frac{1}{6}$ ． （C）$a=-1, b=-\displaystyle\frac{1}{6}$ ． （D）$a=-1, b=\displaystyle\frac{1}{6}$ ．
设函数 $z=f(x, y)$ 的全微分为 $\mathrm{d} z=x \mathrm{~d} x+y \mathrm{~d} y$ ，则点 $(0,0)()$ （A）不是 $f(x, y)$ 的连续点． （B）不是 $f(x, y)$ 的极值点． （C）是 $f(x, y)$ 的极大值点。 （D）是 $f(x, y)$ 的极小值点。
设函数 $f(x, y)$ 连续，则 $\displaystyle\int_{1}^{2} \mathrm{~d} x \displaystyle\int_{x}^{2} f(x, y) \mathrm{d} y+\displaystyle\int_{1}^{2} \mathrm{~d} y \displaystyle\int_{y}^{4-y} f(x, y) \mathrm{d} x=()$ （A） $\displaystyle\int_{1}^{2} \mathrm{~d} x \displaystyle\int_{1}^{4-x} f(x, y) \mathrm{d} y$ ． （B） $\displaystyle\int_{1}^{2} \mathrm{~d} x \displaystyle\int_{x}^{4-x} f(x, y) \mathrm{d} y$ ． （C） $\displaystyle\int_{1}^{2} \mathrm{~d} y \displaystyle\int_{1}^{4-y} f(x, y) \mathrm{d} x$ ． （D） $\displaystyle\int_{1}^{2} \mathrm{~d} y \displaystyle\int_{y}^{2} f(x, y) \mathrm{d} x$ ．
若 $f^{\prime \prime}(x)$ 不变号，且曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,1)$ 处的曲率圆为 $x^{2}+y^{2}=2$ ，则函数 $f(x)$ 在区间 $(1,2)$ 内（ ） （A）有极值点，无零点。 （B）无极值点，有零点。 （C）有极值点，有零点。 （D）无极值点，无零点。
设函数 $y=f(x)$ 在区间 $[-1,3]$ 上的图形如图所示，则函数 $F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 的图形为（ ）
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为 2 阶方阵， $\boldsymbol{A}^{*}, \boldsymbol{B}^{*}$ 分别为 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 的伴随矩阵。若 $|\boldsymbol{A}|=2,|\boldsymbol{B}|=3$ ，则分块矩阵 $\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O}\end{array}\right)$ 的伴随矩阵为（ ） （A）$\left(\begin{array}{cc}\boldsymbol{O} & 3 \boldsymbol{B}^{*} \\ 2 \boldsymbol{A}^{*} & \boldsymbol{O}\end{array}\right)$ ． （B）$\left(\begin{array}{cc}\boldsymbol{O} & 2 \boldsymbol{B}^{*} \\ 3 \boldsymbol{A}^{*} & \boldsymbol{O}\end{array}\right)$ ． （C）$\left(\begin{array}{cc}\boldsymbol{O} & 3 \boldsymbol{A}^{*} \\ 2 \boldsymbol{B}^{*} & \boldsymbol{O}\end{array}\right)$ ． （D）$\left(\begin{array}{cc}\boldsymbol{O} & 2 \boldsymbol{A}^{*} \\ 3 \boldsymbol{B}^{*} & \boldsymbol{O}\end{array}\right)$ ．
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{P}$ 均为3阶矩阵， $\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}}$ 为 $\boldsymbol{P}$ 的转置矩阵，且 $\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ 。若 $\boldsymbol{P}=\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right), \boldsymbol{Q}= \left(\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right)$ ，则 $\boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q}$ 为（ ） （A）$\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ ． （B）$\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ ． （C）$\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ ． （D）$\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$
曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=\displaystyle\int_{0}^{1-t} \mathrm{e}^{-u^{2}} \mathrm{~d} u, \\ y=t^{2} \ln \left(2-t^{2}\right)\end{array}\right.$ 在点 $(0,0)$ 处的切线方程为 $\_\_\_\_$ ．
已知 $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{k|x|} \mathrm{d} x=1$ ，则 $k=$ $\_\_\_\_$ ．
$\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} \displaystyle\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{-x} \sin n x \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
设 $y=y(x)$ 是由方程 $x y+\mathrm{e}^{y}=x+1$ 确定的隐函数，则 $\left.\displaystyle\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}\right|_{x=0}=$ $\_\_\_\_$ ．
设 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 为 3 维列向量， $\boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}$ 为 $\boldsymbol{\beta}$ 的转置．若矩阵 $\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}$ 相似于 $\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，则 $\boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}=$ $\_\_\_\_$
求极限 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{(1-\cos x)[x-\ln (1+\tan x)]}{\sin ^{4} x}$ ．
计算不定积分 $\displaystyle\int \ln \left(1+\sqrt{\displaystyle\frac{1+x}{x}}\right) \mathrm{d} x(x\gt 0)$ ．
设 $z=f(x+y, x-y, x y)$ ，其中 $f$ 具有二阶连续偏导数，求 $\mathrm{d} z$ 与 $\displaystyle\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$ ．
设非负函数 $y=y(x)(x \geqslant 0)$ 满足微分方程 $x y^{\prime \prime}-y^{\prime}+2=0$ ．当曲线 $y=y(x)$ 过原点时，其与直线 $x=1$ 及 $y=0$ 围成平面区域 $D$ 的面积为 2 ，求 $D$ 绕 $y$ 轴旋转所得旋转体体积。
计算二重积分 $\displaystyle\iint_{D}(x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D=\left\{(x, y) \mid(x-1)^{2}+(y-1)^{2} \leqslant 2, y \geqslant x\right\}$ ．
设 $y=y(x)$ 是区间 $(-\pi, \pi)$ 内过点 $\left(-\displaystyle\frac{\pi}{\sqrt{2}}, \displaystyle\frac{\pi}{\sqrt{2}}\right)$ 的光滑曲线。当 $-\pi\lt x\lt 0$ 时，曲线上任一点处的法线都过原点；当 $0 \leqslant x\lt\pi$ 时，函数 $y(x)$ 满足 $y^{\prime \prime}+y+x=0$ ．求 $y(x)$ 的表达式．
（I）证明拉格朗日中值定理：若函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，则存在点 $\xi \in(a, b)$ ，使得 $f(b)-f(a)=f^{\prime}(\xi)(b-a)$ 。 （II）证明：若函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，在 $(0, \delta)(\delta\gt 0)$ 内可导，且 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f^{\prime}(x)=A$ ，则 $f_{+}^{\prime}(0)$存在，且 $f_{+}^{\prime}(0)=A$ ．
设
$$
\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}
1 & -1 & -1 \\
-1 & 1 & 1 \\
0 & -4 & -2
\end{array}\right), \quad \boldsymbol{\xi}_{1}=\left(\begin{array}{c}
-1 \\
1 \\
-2
\end{array}\right) .
$$
（I）求满足 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\xi}_{2}=\boldsymbol{\xi}_{1}, \boldsymbol{A}^{2} \boldsymbol{\xi}_{3}=\boldsymbol{\xi}_{1}$ 的所有向量 $\boldsymbol{\xi}_{2}, \boldsymbol{\xi}_{3}$ ；
（ II ）对（ I ）中的任意向量 $\boldsymbol{\xi}_{2}, \boldsymbol{\xi}_{3}$ ，证明 $\boldsymbol{\xi}_{1}, \boldsymbol{\xi}_{2}, \boldsymbol{\xi}_{3}$ 线性无关。
设二次型
$$
f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=a x_{1}^{2}+a x_{2}^{2}+(a-1) x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{3}-2 x_{2} x_{3} .
$$
（I）求二次型 $f$ 的矩阵的所有特征值；
（II）若二次型 $f$ 的规范形为 $y_{1}^{2}+y_{2}^{2}$ ，求 $a$ 的值。