当 $x \rightarrow 0$ 时，若 $x-\tan x$ 与 $x^{k}$ 是同阶无穷小，则 $k=()$ （A） 1 ． （B） 2 ． （C） 3 ． （D）4．
曲线 $y=x \sin x+2 \cos x\left(-\displaystyle\frac{\pi}{2}\lt x\lt 2 \pi\right)$ 的拐点坐标为（ ） （A）（0，2）． （B）$(\pi,-2)$ ． （C）$\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}, \displaystyle\frac{\pi}{2}\right)$ ． （D）$\left(\displaystyle\frac{3 \pi}{2},-\displaystyle\frac{3 \pi}{2}\right)$ ．
下列反常积分发散的是（ ） （A） $\displaystyle\int_{0}^{+\infty} x \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x$ ． （B） $\displaystyle\int_{0}^{+\infty} x \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ． （C） $\displaystyle\int_{0}^{+\infty} \displaystyle\frac{\arctan x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ． （D） $\displaystyle\int_{0}^{+\infty} \displaystyle\frac{x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
已知微分方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=c \mathrm{e}^{x}$ 的通解为 $y=\left(C_{1}+C_{2} x\right) \mathrm{e}^{-x}+\mathrm{e}^{x}$ ，则 $a 、 b 、 c$ 依次为（） （A） $1,0,1$ ． （B） $1,0,2$ ． （C）2，1， 3 ． （D） $2,1,4$ ．
已知平面区域 $D=\left\{(x, y)| | x\left|+|y| \leqslant \displaystyle\frac{\pi}{2}\right\}, I_{1}=\displaystyle\iint_{D} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, I_{2}=\right. \displaystyle\iint_{D} \sin \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, I_{3}=\displaystyle\iint_{D}\left(1-\cos \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，则 $(\quad)$ （A）$I_{3}\lt I_{2}\lt I_{1}$ ． （B）$I_{2}\lt I_{1}\lt I_{3}$ ． （C）$I_{1}\lt I_{2}\lt I_{3}$ ． （D）$I_{2}\lt I_{3}\lt I_{1}$ ．
已知 $f(x), g(x) 2$ 阶可导且 2 阶导函数在 $x=a$ 处连续，则 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow a} \displaystyle\frac{f(x)-g(x)}{(x-a)^{2}}=0$ 是曲线 $y=f(x)$ 和 $y=g(x)$ 在 $x=a$ 对应的点处相切且曲率相等的（ ） （A）充分非必要条件。 （B）充分必要条件。 （C）必要非充分条件。 （D）既非充分又非必要条件．
设 $\boldsymbol{A}$ 是 4 阶矩阵， $\boldsymbol{A}^{*}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵，若线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系中只有 2 个向量，则 $r\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)=(\quad)$ （A） 0 ． （B）1． （C）2． （D）3．
（8）设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶实对称矩阵， $\boldsymbol{E}$ 是 3 阶单位矩阵．若 $\boldsymbol{A}^2+\boldsymbol{A}=2\boldsymbol{E}$ ，且 $|\boldsymbol{A}|=4$ ，则二次型 $\boldsymbol{x}^\mathrm{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}$ 的规范形为
（A）$y_1^2+y_2^2+y_3^2$ ．
（B）$y_1^2+y_2^2-y_3^2$ ．
（C）$y_1^2-y_2^2-y_3^2$ ．
（D）$-y_1^2-y_2^2-y_3^2$ ．
$\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0}\left(x+2^{x}\right)^{\displaystyle\frac{2}{x}}=$ $\_\_\_\_$。
曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=t-\sin t \\ y=1-\cos t\end{array}\right.$ 在 $t=\displaystyle\frac{3 \pi}{2}$ 对应点处的切线在 $y$ 轴上的截距为 $\_\_\_\_$ ．
设函数 $f(u)$ 可导，$z=y f\left(\displaystyle\frac{y^{2}}{x}\right)$ ，则 $2 x \displaystyle\frac{\partial z}{\partial x}+y \displaystyle\frac{\partial z}{\partial y}=$ $\_\_\_\_$ ．
曲线 $y=\ln \cos x\left(0 \leqslant x \leqslant \displaystyle\frac{\pi}{6}\right)$ 的弧长为 $\_\_\_\_$ ．
已知函数 $f(x)=x \displaystyle\int_{1}^{x} \displaystyle\frac{\sin t^{2}}{t} \mathrm{~d} t$ ，则 $\displaystyle\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}1 & -1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & -1 & 1 \\ 3 & -2 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 3 & 4\end{array}\right), A_{i j}$ 表示 $|\boldsymbol{A}|$ 中 $(i, j)$ 元的代数余子式，则 $A_{11}-A_{12}=$
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2 x}, & x\gt 0, \\ x \mathrm{e}^{x}+1, & x \leqslant 0 .\end{array}\right.$ 求 $f^{\prime}(x)$ ，并求 $f(x)$ 的极值．
求不定积分 $\displaystyle\int \displaystyle\frac{3 x+6}{(x-1)^{2}\left(x^{2}+x+1\right)} \mathrm{d} x$ ．
设函数 $y(x)$ 是微分方程 $y^{\prime}-x y=\displaystyle\frac{1}{2 \sqrt{x}} \mathrm{e}^{\displaystyle\frac{x^{2}}{2}}$ 满足条件 $y(1)=\sqrt{\mathrm{e}}$ 的特解． （I）求 $y(x)$ ； （ II ）设平面区域 $D=\{(x, y) \mid 1 \leqslant x \leqslant 2,0 \leqslant y \leqslant y(x)\}$ ，求 $D$ 绕 $x$ 轴旋转所得旋转体的体积。
已知平面区域 $D=\left\{(x, y)| | x \mid \leqslant y,\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3} \leqslant y^{4}\right\}$ ，计算二重积分 $\displaystyle\iint_{D} \displaystyle\frac{x+y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$.
设 $n$ 为正整数，记 $S_{n}$ 为曲线 $y=\mathrm{e}^{-x} \sin x(0 \leqslant x \leqslant n \pi)$ 与 $x$ 轴所围图形的面积，求 $S_{n}$ ，并求 $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}$ ．
已知函数 $u(x, y)$ 满足 $2 \displaystyle\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}-2 \displaystyle\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+3 \displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}+3 \displaystyle\frac{\partial u}{\partial y}=0$ ，求 $a, b$ 的值，使得在变换 $u(x, y)= v(x, y) \mathrm{e}^{a x+b y}$ 下，上述等式可化为 $v(x, y)$ 不含一阶偏导数的等式。
已知函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上具有 2 阶导数，且 $f(0)=0, f(1)=1, \displaystyle\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=1$ ，证明： （ I ）存在 $\xi \in(0,1)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=0$ ； （II）存在 $\eta \in(0,1)$ ，使得 $f^{\prime \prime}(\eta)\lt-2$ 。
已知向量组 I ： $\boldsymbol{\alpha}_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 4\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_{2}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 4\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_{3}=\left(\begin{array}{c}1 \\ 2 \\ a^{2}+3\end{array}\right)$ 与 II ： $\boldsymbol{\beta}_{1}=\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ a+3\end{array}\right), \boldsymbol{\beta}_{2}=\left(\begin{array}{c}0 \\ 2 \\ 1-a\end{array}\right)$ ， $\boldsymbol{\beta}_{3}=\left(\begin{array}{c}1 \\ 3 \\ a^{2}+3\end{array}\right)$ ．若向量组 I 与 II 等价，求 $a$ 的取值，并将 $\boldsymbol{\beta}_{3}$ 用 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示．
已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}-2 & -2 & 1 \\ 2 & x & -2 \\ 0 & 0 & -2\end{array}\right)$ 与 $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ccc}2 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & y\end{array}\right)$ 相似。 （I）求 $x, y$ ； （II）求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，使得 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\boldsymbol{B}$ ．