2026年考研数学二第11题

首先，观察被积函数 $f(x)=\frac{\ln x}{x^p(1+x^q)}$ 的定义域为 $(0,+\infty)$。可能的瑕点为 $x=0$（因为 $\ln x \to -\infty$），且积分区间延伸到 $+\infty$，因此需要分别考虑 $x\to 0^+$ 和 $x\to +\infty$ 时的敛散性。将积分拆分为两部分： $$\int_0^{+\infty} \frac{\ln x}{x^p(1+x^q)} \,dx = \int_0^1 \frac{\ln x}{x^p(1+x^q)} \,dx + \int_1^{+\infty} \frac{\ln x}{x^p(1+x^q)} \,dx.$$ **1. 当 $x\to 0^+$ 时（瑕点 $x=0$）：** 此时 $1+x^q \sim 1$，故被积函数渐近于 $\frac{\ln x}{x^p}$。由于 $\ln x$ 增长缓慢，主要比较 $x^p$ 的阶数。考虑 $\int_0^1 \frac{\ln x}{x^p} \,dx$ 的敛散性： - 若 $p<1$，则 $\frac{\ln x}{x^p}$ 在 $x=0$ 附近可积（因为 $\int_0^1 x^{-p} \ln x \,dx$ 收敛当且仅当 $-p > -1$，即 $p<1$）。 - 若 $p=1$，则 $\frac{\ln x}{x}$ 的原函数为 $\frac{1}{2}(\ln x)^2$，在 $x=0$ 处发散。 - 若 $p>1$，则 $\frac{\ln x}{x^p}$ 发散更快，积分发散。 因此，$\int_0^1$ 收敛的必要条件为 $p<1$。 **2. 当 $x\to +\infty$ 时（无穷远点）：** 此时 $1+x^q \sim x^q$，故被积函数渐近于 $\frac{\ln x}{x^{p+q}}$。考虑 $\int_1^{+\infty} \frac{\ln x}{x^{p+q}} \,dx$ 的敛散性： - 若 $p+q>1$，则 $\frac{\ln x}{x^{p+q}}$ 在 $+\infty$ 处可积（因为 $\int_1^{+\infty} x^{-(p+q)} \ln x \,dx$ 收敛当且仅当 $p+q>1$）。 - 若 $p+q=1$，则 $\frac{\ln x}{x}$ 发散（原函数 $\frac{1}{2}(\ln x)^2 \to +\infty$）。 - 若 $p+q<1$，则发散。 因此，$\int_1^{+\infty}$ 收敛的必要条件为 $p+q>1$。 综合两部分，原积分收敛的初步条件为： $$\begin{cases} p<1, \\ p+q>1. \end{cases}$$ 注意：当 $p=1$ 或 $p+q=1$ 时，积分发散（对数幂次导致）。

考虑积分在 $x \to 0^+$ 处的敛散性。当 $x \to 0^+$ 时，$\arctan x \sim x$，因此被积函数可作等价替换： $$ \frac{\arctan x}{x^p} \sim \frac{x}{x^p} = x^{1-p}. $$ 于是原积分在 $0$ 附近的敛散性等价于积分 $\int_0^{\delta} x^{1-p} \, dx$（$\delta$ 为某个小正数）的敛散性。对于形如 $\int_0^{\delta} x^{\alpha} \, dx$ 的积分，其收敛的充要条件是 $\alpha > -1$。这里 $\alpha = 1-p$，因此收敛条件为 $$ 1-p > -1 \quad \Rightarrow \quad -p > -2 \quad \Rightarrow \quad p < 2. $$ 注意：当 $p=2$ 时，$\alpha = -1$，积分 $\int_0^{\delta} x^{-1} \, dx$ 发散（对数发散）；当 $p>2$ 时，$\alpha < -1$，积分发散更快。因此 $x \to 0^+$ 处积分收敛的充要条件是 $p < 2$。

首先分析被积函数在 $x \to +\infty$ 时的渐近行为。由于 $\arctan x \to \frac{\pi}{2}$，因此当 $x$ 充分大时，被积函数可近似为： $$ \frac{\arctan x}{x^{p+1}} \sim \frac{\pi/2}{x^{p+1}} = \frac{\pi}{2} x^{-p-1}. $$ 根据无穷限反常积分的比较判别法，积分 $\int_{A}^{+\infty} x^{-\alpha} \, dx$（$A>0$）收敛当且仅当 $\alpha > 1$。这里 $\alpha = p+1$，因此要求 $p+1 > 1$，即 $p > 0$。 前面步骤已得到 $x \to 0^+$ 时积分收敛的条件为 $p < 2$。综合两个条件，需取交集： $$ \begin{cases} p < 2, \\ p > 0, \end{cases} $$ 所以 $p$ 的取值范围为 $0 < p < 2$。 **验证**：当 $p=1$（在区间内）时，原积分为 $\int_0^{+\infty} \frac{\arctan x}{x^2} \, dx$，该积分在 $0$ 处可积（$\arctan x \sim x$，被积函数 $\sim 1/x$，发散？注意：$\arctan x \sim x$ 时 $\frac{\arctan x}{x^2} \sim \frac{1}{x}$，积分发散，但 $p=1$ 满足 $0 -1$ 即 $p < 1$。因此正确条件应为 $p<1$ 且 $p>0$，即 $00$。取交集得 $0

公式：$$\int_{A}^{+\infty} x^{-\alpha} \, dx \text{ 收敛 } \iff \alpha > 1, \quad \text{此处 } \alpha = p+1 \Rightarrow p > 0$$

提示：注意 $x\to+\infty$ 时 $\arctan x$ 趋于常数，直接提取即可。