📋 详细解题步骤
目标：写出切线方程和法线方程
设曲线上任意一点 $P(x, y)$，该点处曲线的切线斜率为 $y'$（即 $\frac{dy}{dx}$）。则过点 $P$ 的切线方程为：
$$Y - y = y'(X - x)$$
其中 $(X, Y)$ 为切线上动点的坐标。令 $X = 0$，得到切线在 $y$ 轴上的截距 $Y_P$：
$$Y_P - y = y'(0 - x) \quad \Rightarrow \quad Y_P = y - x y'$$
法线是与切线垂直的直线，其斜率为 $-\frac{1}{y'}$（假设 $y' \neq 0$）。过点 $P$ 的法线方程为：
$$Y - y = -\frac{1}{y'}(X - x)$$
令 $Y = 0$，得到法线在 $x$ 轴上的截距 $X_P$：
$$0 - y = -\frac{1}{y'}(X_P - x) \quad \Rightarrow \quad -y = -\frac{1}{y'}(X_P - x)$$
两边乘以 $-1$ 得：
$$y = \frac{1}{y'}(X_P - x)$$
整理得：
$$X_P - x = y y' \quad \Rightarrow \quad X_P = x + y y'$$
因此，切线在 $y$ 轴上的截距为 $Y_P = y - x y'$，法线在 $x$ 轴上的截距为 $X_P = x + y y'$。这两个表达式将在后续步骤中用于建立微分方程。
公式：$$Y_P = y - x y', \quad X_P = x + y y'$$
提示：牢记切线斜率是导数，法线斜率是负倒数；求截距时令对应变量为零。
目标：求解微分方程
将方程化为齐次型：$y' = \frac{y - x}{x + y}$。令 $u = \frac{y}{x}$，则 $y = ux$，求导得 $y' = u + x u'$。代入原方程：
$$u + x u' = \frac{u - 1}{1 + u}$$
移项得：
$$x u' = \frac{u - 1}{1 + u} - u = \frac{u - 1 - u(1 + u)}{1 + u} = \frac{u - 1 - u - u^2}{1 + u} = -\frac{1 + u^2}{1 + u}$$
即：
$$x \frac{du}{dx} = -\frac{1 + u^2}{1 + u}$$
分离变量：
$$\frac{1 + u}{1 + u^2} du = -\frac{dx}{x}$$
两边积分：
$$\int \frac{1 + u}{1 + u^2} du = -\int \frac{dx}{x}$$
左边拆项：
$$\int \frac{1}{1 + u^2} du + \int \frac{u}{1 + u^2} du = -\ln|x| + C$$
计算积分：
$$\arctan u + \frac{1}{2} \ln(1 + u^2) = -\ln|x| + C$$
整理得：
$$\ln|x| + \frac{1}{2} \ln(1 + u^2) + \arctan u = C$$
乘以2：
$$2\ln|x| + \ln(1 + u^2) + 2\arctan u = 2C$$
令 $C_1 = 2C$，则：
$$\ln(x^2) + \ln(1 + u^2) + 2\arctan u = C_1$$
即：
$$\ln(x^2(1 + u^2)) + 2\arctan u = C_1$$
回代 $u = \frac{y}{x}$，得：
$$\ln(x^2 + y^2) + 2\arctan\frac{y}{x} = C_1$$
这就是原微分方程的通解。
公式：$$\ln(x^2 + y^2) + 2\arctan\frac{y}{x} = C$$
提示：注意分离变量后积分要加绝对值，常数可合并为任意常数。
目标：代入初始条件确定常数，写出曲线方程
已知初始条件为 $y(1)=0$，即当 $x=1$ 时，$y=0$。在极坐标变换 $u = \arctan(y/x)$ 下，由 $y=0$ 得 $u=0$；同时 $x=1$，$y=0$ 代入 $x = r\cos u$，$y = r\sin u$ 可得 $r = 1$。
前面步骤已得到通解：$\ln r + u = C$，即 $\ln\sqrt{x^2+y^2} + \arctan\frac{y}{x} = C$。将 $r=1$，$u=0$ 代入通解：
$$
\ln 1 + 0 = C \quad \Rightarrow \quad C = 0.
$$
因此，满足初始条件的特解为 $\ln r + u = 0$，即
$$
\ln\sqrt{x^2+y^2} + \arctan\frac{y}{x} = 0.
$$
为了得到更简洁的形式，两边乘以 2：
$$
2\ln\sqrt{x^2+y^2} + 2\arctan\frac{y}{x} = 0 \quad \Rightarrow \quad \ln(x^2+y^2) + 2\arctan\frac{y}{x} = 0.
$$
这就是所求的曲线方程。
**验证**：将 $x=1$，$y=0$ 代入曲线方程：
$$
\ln(1^2+0^2) + 2\arctan\frac{0}{1} = \ln 1 + 2\cdot 0 = 0,
$$
满足初始条件。因此曲线方程正确。
公式：\ln(x^2+y^2) + 2\arctan\frac{y}{x} = 0
提示：将初始条件转化为极坐标形式再代入通解，可避免符号错误。