中国科学院真题 第20110题
📝 题目
2．（15 分）设 $A 、 B$ 为同阶对称正定矩阵，若 $A>B$（即 $A-B$ 为正定阵），试问是否一定有 $A^{2}>B^{2}$ ？为什么？
💡 答案解析
2．解 不一定，例：
$A=\left(\begin{array}{cc}4 & 2.4 \\ 2.4 & 3\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 1 & 2\end{array}\right), A-B=\left(\begin{array}{cc}2 & 1.4 \\ 1.4 & 1\end{array}\right)$ 是正定矩阵，而 $\left|A^{2}-B^{2}\right|=-0.2624$故 $A^{2}-B^{2}$ 不是正定的，从而不一定有 $A^{2}>B^{2}$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：1. 构造两个2阶正定矩阵A和B，使得A-B正定；2. 计算A^2和B^2，得A^2-B^2的行列式为负，故非正定；3. 举出反例说明不一定成立。
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