浙江大学真题 第20999题
📝 题目
二（14 分）已知实数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 收敛于 $a$ ，且
$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{2}+\Lambda+a_{n}}{n}$ ，用定义证明 $\left\{S_{n}\right\}$ 也收敛于 $a$ ．
证记 $b_{i}=\left|a_{i}-a\right|, ~ K=\left|b_{1}\right|+\left|b_{2}\right|+\mathrm{L}+\left|b_{k}\right|$ ，则 $\forall \varepsilon>0$ ，ヨ正整数 $k$ ，使得
$$
\left|a_{n}-a\right|<\frac{\varepsilon}{2}(n>k)
$$
因 $\frac{1}{n} \rightarrow 0$ ，故 $\exists$ 正整数 $k_{1}$ ，使得 $\frac{K}{n}<\frac{\varepsilon}{2}$ ，
令 $k_{2}=\max \left\{k, k_{1}\right\}$ ，则当 $n>k_{2}$ 时，有
$\left|\frac{a_{1}+a_{2}+\mathrm{L}+a_{n}}{n}-a\right| \leq \frac{K}{n}+\frac{\left|b_{k+1}\right|+\left|b_{k+2}\right|+\mathrm{L}\left|b_{n}\right|}{n} \leq \frac{K}{n}+\frac{n-k}{n} \frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon$
💡 答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：利用数列极限定义，将|Sn-a|拆分为前k项和剩余部分，分别放缩后取N=max(k,k1)完成证明。
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