Γ函数与B函数之间的关系
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第3题计算题
3．计算下列反常积分．
（1） $\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \frac{1}{x^{2}+x-2} \mathrm{~d} x$ 。
（2） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{\left(x^{2}+a^{2}\right)^{n+1}} \mathrm{~d} x, a>0$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{x^{n}+1} \mathrm{~d} x$ ．（中科大2015，江西师大2012（ $\displaystyle n=6$ ））
（4） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{x-\sin x}{x^{3}} \mathrm{~d} x$ 。
（5） $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\left(a x^{2}+2 b x+c\right)^{\alpha}} \mathrm{d} x, a>0, a c-b^{2}>0, \alpha>\frac{1}{2}$ ．
（6） $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\left(x^{2}+2 x+2\right)^{n}} \mathrm{~d} x$ ．（ $\displaystyle n$ 为正整数）．
（7） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\left(p+x^{2}\right)\left(q+x^{2}\right)},(p>0, q>0)$ ．
（1） $\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \frac{1}{x^{2}+x-2} \mathrm{~d} x$ 。
（2） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{\left(x^{2}+a^{2}\right)^{n+1}} \mathrm{~d} x, a>0$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{x^{n}+1} \mathrm{~d} x$ ．（中科大2015，江西师大2012（ $\displaystyle n=6$ ））
（4） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{x-\sin x}{x^{3}} \mathrm{~d} x$ 。
（5） $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\left(a x^{2}+2 b x+c\right)^{\alpha}} \mathrm{d} x, a>0, a c-b^{2}>0, \alpha>\frac{1}{2}$ ．
（6） $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\left(x^{2}+2 x+2\right)^{n}} \mathrm{~d} x$ ．（ $\displaystyle n$ 为正整数）．
（7） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\left(p+x^{2}\right)\left(q+x^{2}\right)},(p>0, q>0)$ ．
第7题求解题
7．判断下列反常积分是否收玫？若收玫，求其积分值．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{2-x^{2}}{x^{3} \sqrt{x^{2}-1}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln x}{x^{\alpha}} \mathrm{d} x, \alpha<1$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan x}{\left(1+x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} \mathrm{dx}$ ．
（5） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{x \mathrm{e}^{-x}}{\left(1+\mathrm{e}^{-x}\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{e}^{1+x}+\mathrm{e}^{3-x}}$ ．
（7） $\displaystyle \int_{0}^{\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\left(1+\mathrm{e}^{x}\right)^{2}} .($ 杭州师大 2010）
（8） $\displaystyle \int_{1}^{2}\left[\frac{1}{x \ln ^{2} x}-\frac{1}{(x-1)^{2}}\right] \mathrm{d} x$ ．
（9） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\ln \left(1+x^{2}\right)}{x^{3}} \mathrm{~d} x$ ．
（10） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\ln (1+x)-\ln x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{2-x^{2}}{x^{3} \sqrt{x^{2}-1}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln x}{x^{\alpha}} \mathrm{d} x, \alpha<1$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan x}{\left(1+x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} \mathrm{dx}$ ．
（5） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{x \mathrm{e}^{-x}}{\left(1+\mathrm{e}^{-x}\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{e}^{1+x}+\mathrm{e}^{3-x}}$ ．
（7） $\displaystyle \int_{0}^{\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\left(1+\mathrm{e}^{x}\right)^{2}} .($ 杭州师大 2010）
（8） $\displaystyle \int_{1}^{2}\left[\frac{1}{x \ln ^{2} x}-\frac{1}{(x-1)^{2}}\right] \mathrm{d} x$ ．
（9） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\ln \left(1+x^{2}\right)}{x^{3}} \mathrm{~d} x$ ．
（10） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\ln (1+x)-\ln x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
第12题计算题
12．计算下列反常积分（已知 $\displaystyle \left.\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}\right)$ ．
（1） $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-a|x|} \mathrm{d} x(a>0)$ ．
（2） $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}} \mathrm{~d} x$ 。
（3） $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{dx}$ ．
（4）$\displaystyle I_{k}=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} x^{k} \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}} \mathrm{~d} x, k$ 为自然数．
（5） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} x^{n} \mathrm{e}^{-a x} \mathrm{~d} x$ ，其中 $\displaystyle n$ 为正整数，$\displaystyle a$ 为正常数．（国防科技，安徽大学 2005，东华大学 2001 $\displaystyle (n=5)$ ；$\displaystyle a =1$ ：曲阜师大 2005，天津大学 2007，湘潭大学 2010；北航 2000（ $\displaystyle n=10, a=1$ ））
（6） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{4}} \mathrm{~d} x \cdot \int_{0}^{+\infty} x^{2} \mathrm{e}^{-x^{4}} \mathrm{~d} x$ ．
（7） $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} x^{2} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（8） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{x}{\mathrm{e}^{x-1}} \mathrm{~d} x$ ．
（9） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-\left(x-a x^{-1}\right)^{2}} \mathrm{~d} x, a>0$ ．
（1） $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-a|x|} \mathrm{d} x(a>0)$ ．
（2） $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}} \mathrm{~d} x$ 。
（3） $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{dx}$ ．
（4）$\displaystyle I_{k}=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} x^{k} \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}} \mathrm{~d} x, k$ 为自然数．
（5） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} x^{n} \mathrm{e}^{-a x} \mathrm{~d} x$ ，其中 $\displaystyle n$ 为正整数，$\displaystyle a$ 为正常数．（国防科技，安徽大学 2005，东华大学 2001 $\displaystyle (n=5)$ ；$\displaystyle a =1$ ：曲阜师大 2005，天津大学 2007，湘潭大学 2010；北航 2000（ $\displaystyle n=10, a=1$ ））
（6） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{4}} \mathrm{~d} x \cdot \int_{0}^{+\infty} x^{2} \mathrm{e}^{-x^{4}} \mathrm{~d} x$ ．
（7） $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} x^{2} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（8） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{x}{\mathrm{e}^{x-1}} \mathrm{~d} x$ ．
（9） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-\left(x-a x^{-1}\right)^{2}} \mathrm{~d} x, a>0$ ．