一致连续性（一致连续的定义、Cantor定理）
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第1题未分类
1．若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上连续，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 一致连续的充要条件是 $\displaystyle f(a+0)$ 与 $\displaystyle f(b-0)$存在。湖南师大 2012，昆明理工 2007，南昌大学 2002，青岛科技 2011，矿业大学 2011，地质大学 2004，天津大学 2003，浙江师大 2010，天津工大 2005，华东理工 2001／2004，山东大学 1981，南开大学 1984，北京交大 2011 ，大连海事 2003，西安电子科技 2006，华侨大学 2009，东北大学 2007／1999／1997，西安交大 1998，郑州大学 2003，首都师大 2002／2001，深圳大学 2008，东华大学 2001）
第2题证明题
2．证明下列结论．
（1）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上连续单调有界，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上一致连续．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在有限区间 $\displaystyle (a, b)$ 内一致连续，则可补充定义 $\displaystyle f(a)$ 利 $\displaystyle f(b)$ ，使得 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在有穷区间 $\displaystyle (a, b)$ 内一致连续，证明：（1）$\displaystyle f(a+0)$ 与 $\displaystyle f(b-0)$ 存在；（2）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$内有界。当 $\displaystyle (a, b)$ 为无限区间时，结论成立吗？
（4）设 $\displaystyle a<b, c<d$ 均为实数，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上单调，值域为 $\displaystyle (c, d)$ 。证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上一致连续．
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在有限开区间 $\displaystyle (a, b)$ 内可导， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{\cdot}} f^{\prime}(x), ~ \lim _{x \rightarrow b^{b}} f^{\prime}(x)$ 存在且有限。证明： （1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x), \lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)$ 存在且有限；（2）$\displaystyle f(x)$ 在有限开区间 $\displaystyle (a, b)$ 内一致连续且有界。聊城大学 2009 ，北京师大）
（6）若 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (0,1)$ 中无界，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上不一致连续．
（1）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上连续单调有界，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上一致连续．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在有限区间 $\displaystyle (a, b)$ 内一致连续，则可补充定义 $\displaystyle f(a)$ 利 $\displaystyle f(b)$ ，使得 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在有穷区间 $\displaystyle (a, b)$ 内一致连续，证明：（1）$\displaystyle f(a+0)$ 与 $\displaystyle f(b-0)$ 存在；（2）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$内有界。当 $\displaystyle (a, b)$ 为无限区间时，结论成立吗？
（4）设 $\displaystyle a<b, c<d$ 均为实数，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上单调，值域为 $\displaystyle (c, d)$ 。证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上一致连续．
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在有限开区间 $\displaystyle (a, b)$ 内可导， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{\cdot}} f^{\prime}(x), ~ \lim _{x \rightarrow b^{b}} f^{\prime}(x)$ 存在且有限。证明： （1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x), \lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)$ 存在且有限；（2）$\displaystyle f(x)$ 在有限开区间 $\displaystyle (a, b)$ 内一致连续且有界。聊城大学 2009 ，北京师大）
（6）若 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (0,1)$ 中无界，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上不一致连续．
第3题证明题
3．讨论或证明函数的一致连续性。
（1）若函数 $\displaystyle f(x)$ 的导函数 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在区间 $\displaystyle I$ 上有界，试讨论 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle I$ 上的有界性和一致连续性。
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 内可微，且存在 $\displaystyle M>0$ ，使得 $\displaystyle \forall x \in(0,1)$ ， $\displaystyle \left|x f^{\prime}(x)-f(x)\right|<x^{2} M$ 。证明：（1）$\displaystyle \frac{f(x)}{x}$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 内一致连续；（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{\circ}} f^{\prime}(x)$ 存在。华中师大2009）
（1）若函数 $\displaystyle f(x)$ 的导函数 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在区间 $\displaystyle I$ 上有界，试讨论 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle I$ 上的有界性和一致连续性。
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 内可微，且存在 $\displaystyle M>0$ ，使得 $\displaystyle \forall x \in(0,1)$ ， $\displaystyle \left|x f^{\prime}(x)-f(x)\right|<x^{2} M$ 。证明：（1）$\displaystyle \frac{f(x)}{x}$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 内一致连续；（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{\circ}} f^{\prime}(x)$ 存在。华中师大2009）
第4题证明题
4．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上可导，且 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上有界。证明：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上一致连续； （2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)$ 存在，但 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)$ 不一定存在；（3）若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)$ ，则 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上至少有一个零点．
（2）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 可导，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left|f^{\prime}(x)\right|=\lambda$（常数或 $\displaystyle +\infty$ ），则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 一致连续的充要条件是 $\displaystyle \lambda$ 为常数．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上有连续的导函数， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+x} f^{\prime}(x)$ 存在。证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上可导．若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty} f^{\prime}(x)=+\infty$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上非一致连续．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上可导，且 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上有界。证明：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上一致连续； （2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)$ 存在，但 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)$ 不一定存在；（3）若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)$ ，则 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上至少有一个零点．
（2）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 可导，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left|f^{\prime}(x)\right|=\lambda$（常数或 $\displaystyle +\infty$ ），则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 一致连续的充要条件是 $\displaystyle \lambda$ 为常数．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上有连续的导函数， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+x} f^{\prime}(x)$ 存在。证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上可导．若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty} f^{\prime}(x)=+\infty$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上非一致连续．
第4题未分类
4．分析 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫与 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ 的关系．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [0 ;+\infty)$ 上的非负连续函数，且 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x<+\infty$ ，是否必有 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ？若是，请证明；若不是，请举反例，并说明对 $\displaystyle f(x)$ 加一点什么条件就能保证 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．
（2）举例说明 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续，但不一定有 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ 。在前面的条件下再加什么条件，一定有 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上的非负连续函数，且 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x<+\infty$ ，问 $\displaystyle f(x)$ 是否在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上有界？若答案为＂是＂，请给出证明；若答案为＂否＂，请给出反例．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [0 ;+\infty)$ 上的非负连续函数，且 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x<+\infty$ ，是否必有 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ？若是，请证明；若不是，请举反例，并说明对 $\displaystyle f(x)$ 加一点什么条件就能保证 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．
（2）举例说明 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续，但不一定有 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ 。在前面的条件下再加什么条件，一定有 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上的非负连续函数，且 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x<+\infty$ ，问 $\displaystyle f(x)$ 是否在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上有界？若答案为＂是＂，请给出证明；若答案为＂否＂，请给出反例．
第5题证明题
5．证明下列结论．
（1）若函数 $\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle g(x)$ 在有限开区间 $\displaystyle (a, b)$ 上一致连续，则 $\displaystyle f(x) g(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上一致连续．试举例说明把＂有限开区间＂的有限去掉，结论不成立．
（2）若函数 $\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上一致连续且有界，则 $\displaystyle f(x) g(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上一致连续．
（3）若函数 $\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致连续，问函数 $\displaystyle f(x) g(x), \max \{f(x), g(x)\}$ ， $\displaystyle \min \{f(x), g(x)\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上是否一致连续？（证明或举例）．
（4）若函数 $\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle g(x)$ 在区间 $\displaystyle I$ 十一致连续，问 $\displaystyle f(x)+g(x), f(x) g(x), \frac{f(x)}{g(x)}(\forall x \in I, g(x) \neq 0)$在 $\displaystyle I$ 上是否一致连续？
（5）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续，问 $\displaystyle f^{2}(x), \sqrt{f(x)}$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续吗？证明或举反例．
（1）若函数 $\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle g(x)$ 在有限开区间 $\displaystyle (a, b)$ 上一致连续，则 $\displaystyle f(x) g(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上一致连续．试举例说明把＂有限开区间＂的有限去掉，结论不成立．
（2）若函数 $\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上一致连续且有界，则 $\displaystyle f(x) g(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上一致连续．
（3）若函数 $\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致连续，问函数 $\displaystyle f(x) g(x), \max \{f(x), g(x)\}$ ， $\displaystyle \min \{f(x), g(x)\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上是否一致连续？（证明或举例）．
（4）若函数 $\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle g(x)$ 在区间 $\displaystyle I$ 十一致连续，问 $\displaystyle f(x)+g(x), f(x) g(x), \frac{f(x)}{g(x)}(\forall x \in I, g(x) \neq 0)$在 $\displaystyle I$ 上是否一致连续？
（5）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续，问 $\displaystyle f^{2}(x), \sqrt{f(x)}$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续吗？证明或举反例．
第5题证明题
5．设 $\displaystyle f(x, y)$ 是定义在 $\displaystyle D=[a, b] \times[c, d]$ 上的实值连续函数，试证明：$\displaystyle g(x)=\sup \{f(x, y): c \leqslant y \leqslant d\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续．
第6题证明题
6．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上满足 Lipschitz 条件，即存在常数 $\displaystyle m>0$ ，使对 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上任意两点 $\displaystyle x^{\prime}, x^{\prime \prime}$都有 $\displaystyle \left|f\left(x^{\prime}\right)-f\left(x^{\prime \prime}\right)\right| \leqslant m\left|x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right|$ ．证明 $\displaystyle f\left(x^{\alpha}\right),(\alpha \in(0,1))$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上具有连续的导函数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+x} f^{\prime}(x)$ 存在有限， $\displaystyle 0<\alpha<1$ ，是一个常数．证明 $\displaystyle f\left(x^{\alpha}\right)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续．
（3）设 $\displaystyle p$ 为正常数，$\displaystyle f(x)=\cos x^{p}$ 。证明：当 $\displaystyle 0<p \leqslant 1$ 时，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上一致连续．
（4）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty) \rightarrow(0,+\infty)$ 上一致连续，$\displaystyle \alpha \in(0,1)$ ，则 $\displaystyle f^{\alpha}(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续．
（5）设 $\displaystyle g: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ 为连续函数，$\displaystyle f(x)=g(\sin x)$ 。证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上一致连续．
（6）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 一致连续，值域含于 $\displaystyle (c, d), g(x)$ 在 $\displaystyle (c, d)$ 日：一致连续，则 $\displaystyle g(f(x))$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上一致连续．
（7）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (0,1)$ 上连续，且 $\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant \mu$ ．问 $\displaystyle F(x)=f(\sin x)$ 在 $\displaystyle \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 是否一致连续？
（8）设 $\displaystyle f(x)=\sin \sqrt{x}$ ，判断 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上是否一致连续，并给出证明．
（9）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle I$ 上连续．
（1）若 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle I$ 上一致连续，则 $\displaystyle \sin ^{3}|f(x)|$ 在区间 $\displaystyle I$ 上一致连续．
（2）若 $\displaystyle |f(x)|$ 在区间 $\displaystyle I$ 上一致连续，则 $\displaystyle \sin ^{3}(f(x))$ 在区间 $\displaystyle I$ 上一致连续．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上满足 Lipschitz 条件，即存在常数 $\displaystyle m>0$ ，使对 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上任意两点 $\displaystyle x^{\prime}, x^{\prime \prime}$都有 $\displaystyle \left|f\left(x^{\prime}\right)-f\left(x^{\prime \prime}\right)\right| \leqslant m\left|x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right|$ ．证明 $\displaystyle f\left(x^{\alpha}\right),(\alpha \in(0,1))$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上具有连续的导函数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+x} f^{\prime}(x)$ 存在有限， $\displaystyle 0<\alpha<1$ ，是一个常数．证明 $\displaystyle f\left(x^{\alpha}\right)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续．
（3）设 $\displaystyle p$ 为正常数，$\displaystyle f(x)=\cos x^{p}$ 。证明：当 $\displaystyle 0<p \leqslant 1$ 时，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上一致连续．
（4）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty) \rightarrow(0,+\infty)$ 上一致连续，$\displaystyle \alpha \in(0,1)$ ，则 $\displaystyle f^{\alpha}(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续．
（5）设 $\displaystyle g: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ 为连续函数，$\displaystyle f(x)=g(\sin x)$ 。证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上一致连续．
（6）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 一致连续，值域含于 $\displaystyle (c, d), g(x)$ 在 $\displaystyle (c, d)$ 日：一致连续，则 $\displaystyle g(f(x))$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上一致连续．
（7）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (0,1)$ 上连续，且 $\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant \mu$ ．问 $\displaystyle F(x)=f(\sin x)$ 在 $\displaystyle \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 是否一致连续？
（8）设 $\displaystyle f(x)=\sin \sqrt{x}$ ，判断 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上是否一致连续，并给出证明．
（9）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle I$ 上连续．
（1）若 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle I$ 上一致连续，则 $\displaystyle \sin ^{3}|f(x)|$ 在区间 $\displaystyle I$ 上一致连续．
（2）若 $\displaystyle |f(x)|$ 在区间 $\displaystyle I$ 上一致连续，则 $\displaystyle \sin ^{3}(f(x))$ 在区间 $\displaystyle I$ 上一致连续．
第7题证明题
7．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f \in C(-\infty,+\infty)$ 且为周期函数，证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一致连续，并证明 $\displaystyle \cos x^{2}$ 不是周期函数．
（2）证明：$\displaystyle f(x)=\cos x$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一致连续，$\displaystyle f(x)=\cos x^{2}$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上非一致连续．
（1）设 $\displaystyle f \in C(-\infty,+\infty)$ 且为周期函数，证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一致连续，并证明 $\displaystyle \cos x^{2}$ 不是周期函数．
（2）证明：$\displaystyle f(x)=\cos x$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一致连续，$\displaystyle f(x)=\cos x^{2}$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上非一致连续．
第7题证明题
7．证明下列命题．
（1）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续，且 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．
（2）又若条件＂$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续＂改为＂$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续＂，其他条件不变，结论是否成立？若不成立，请举例具体说明之。
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上可导，导函数有界，且 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛。证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．若 $\displaystyle f(x)$ 的导函数无界，是否仍有 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ，举例说明．
（1）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续，且 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．
（2）又若条件＂$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续＂改为＂$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续＂，其他条件不变，结论是否成立？若不成立，请举例具体说明之。
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上可导，导函数有界，且 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛。证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．若 $\displaystyle f(x)$ 的导函数无界，是否仍有 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ，举例说明．
第8题证明题
8．证明下列结论．
（1）（复合函数的连续性）若 $\displaystyle g(x)$ 在点 $\displaystyle x_{0}$ 连续，记 $\displaystyle g\left(x_{0}\right)=u_{0}$ ，函数 $\displaystyle f(u)$ 在 $\displaystyle u_{0}$ 连续，则复合函数 $\displaystyle f(g(x))$ 在点 $\displaystyle x_{0}$ 连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(g(x))=\lim _{u \rightarrow u_{0}} f(u)=f\left(u_{0}\right)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle [a, A] \times[b, B]$ 上连续，$\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内连续且值域含于 $\displaystyle (A, B)$ ，则 $\displaystyle F(x)=f(x, \varphi(x))$ 在 $\displaystyle (a, A)$ 内连续．
（1）（复合函数的连续性）若 $\displaystyle g(x)$ 在点 $\displaystyle x_{0}$ 连续，记 $\displaystyle g\left(x_{0}\right)=u_{0}$ ，函数 $\displaystyle f(u)$ 在 $\displaystyle u_{0}$ 连续，则复合函数 $\displaystyle f(g(x))$ 在点 $\displaystyle x_{0}$ 连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(g(x))=\lim _{u \rightarrow u_{0}} f(u)=f\left(u_{0}\right)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle [a, A] \times[b, B]$ 上连续，$\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内连续且值域含于 $\displaystyle (A, B)$ ，则 $\displaystyle F(x)=f(x, \varphi(x))$ 在 $\displaystyle (a, A)$ 内连续．
第8题证明题
8．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1]$ 上连续，可导，并且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \sqrt{x} f^{\prime}(x)=a$ 存在且有限。求证 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1]$ 上一致连续．
（2）设 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle (0,1]$ 上连续，存在有限极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{\alpha} f^{\prime}(x)(\alpha \in(0,1))$ ，证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1]$ 上一致连续．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 可导，并且 $\displaystyle \sqrt{x} f^{\prime}(x)$ 存在且有界。求证：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上一致连续； （2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)$ 存在；（3）若将条件＂$\displaystyle \sqrt{x} f^{\prime}(x)$ 存在且有界＂改为＂ $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \sqrt{x} f^{\prime}(x), \lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{x} f^{\prime}(x)$ 存在＂，试问还能否推出 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上一致连续。若肯定请证明，若否定请举例说明．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 可导，并且 $\displaystyle 0<\alpha<1, \lim _{x \rightarrow+\infty} x^{\alpha} f^{\prime}(x)=a$ 。求证 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续．
（5）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (0,1)$ 内连续，$\displaystyle \sqrt{x} f(x)$ 在区间 $\displaystyle (0,1)$ 内有界，记 $\displaystyle g(x)=\int_{\frac{1}{2}}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ ．证明 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 内一致连续．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1]$ 上连续，可导，并且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \sqrt{x} f^{\prime}(x)=a$ 存在且有限。求证 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1]$ 上一致连续．
（2）设 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle (0,1]$ 上连续，存在有限极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{\alpha} f^{\prime}(x)(\alpha \in(0,1))$ ，证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1]$ 上一致连续．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 可导，并且 $\displaystyle \sqrt{x} f^{\prime}(x)$ 存在且有界。求证：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上一致连续； （2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)$ 存在；（3）若将条件＂$\displaystyle \sqrt{x} f^{\prime}(x)$ 存在且有界＂改为＂ $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \sqrt{x} f^{\prime}(x), \lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{x} f^{\prime}(x)$ 存在＂，试问还能否推出 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上一致连续。若肯定请证明，若否定请举例说明．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 可导，并且 $\displaystyle 0<\alpha<1, \lim _{x \rightarrow+\infty} x^{\alpha} f^{\prime}(x)=a$ 。求证 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续．
（5）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (0,1)$ 内连续，$\displaystyle \sqrt{x} f(x)$ 在区间 $\displaystyle (0,1)$ 内有界，记 $\displaystyle g(x)=\int_{\frac{1}{2}}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ ．证明 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 内一致连续．
第9题证明题
9．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在（有限）证明：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续；（2）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上有界，讨论 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上的最值；（3）逆命题＂$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在＂是否成立？（请给出证明或反例）．
第9题证明题
9．设 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \in \mathbf{R}^{2} \mid x \geqslant 0, y \geqslant 0\right\}$ 上连续，当 $\displaystyle (x, y) \rightarrow+\infty$ 时，$\displaystyle f(x, y)$ 的极限存在．证明：$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D$ 上是一致连续的．
第10题证明题
10．设函数 $\displaystyle y=f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上有定义，且 $\displaystyle \forall x_{1}, x_{2} \in[a, b]$ 有 $\displaystyle \left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right| \leqslant\left|x_{1}-x_{2}\right|$ ．证明：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 内连续；
（2）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，则 $\displaystyle \left|\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x-(b-a) f(a)\right| \leqslant \frac{1}{2}(b-a)^{2}$ ．
（2）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，则 $\displaystyle \left|\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x-(b-a) f(a)\right| \leqslant \frac{1}{2}(b-a)^{2}$ ．
第10题证明题
10．证明 $\displaystyle f(x, y, z)=\frac{1}{1-x y z}$ 在 $\displaystyle [0,1) \times[0,1) \times[0,1)$ 上是不一致连续的．
第12题证明题
12．证明：$\displaystyle f(x, y)$ 在有界开区域 $\displaystyle D$ 内一致连续，则它在 $\displaystyle D$ 内有界．（郑州大学2011（ $\displaystyle D$ 为单位圆），广西民大2007）
第13题证明题
13．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x, y)$ 在有界闭域 $\displaystyle D$ 上连续，用致密性定理证明：$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D$ 上一致连续．
（2）设 $\displaystyle D \subset \mathbf{R}^{2}$ 是有界闭集，$\displaystyle f(x, y)$ 是 $\displaystyle D$ 上的连续函数，证明：$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D$ 上有界，且一定取到最大值和最小值．
（1）设 $\displaystyle f(x, y)$ 在有界闭域 $\displaystyle D$ 上连续，用致密性定理证明：$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D$ 上一致连续．
（2）设 $\displaystyle D \subset \mathbf{R}^{2}$ 是有界闭集，$\displaystyle f(x, y)$ 是 $\displaystyle D$ 上的连续函数，证明：$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D$ 上有界，且一定取到最大值和最小值．
第16题证明题
16．证明下列结论．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle I$ 上有定义。试证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle I$ 上一致连续的充要条件是对区间 $\displaystyle I$上任意的两数列 $\displaystyle \left\{x_{n}^{\prime}\right\}$ 与 $\displaystyle \left\{x_{n}^{\prime \prime}\right\}$ ，当 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n}^{\prime}-x_{n}^{\prime \prime}\right)=0$ 时，有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[f\left(x_{n}^{\prime}\right)-f\left(x_{n}^{\prime \prime}\right)\right]=0$ 。
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在有限区间 $\displaystyle I$ 上连续，则 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle I$ 上一致连续的充要条件是 $\displaystyle f(x)$ 把 Cauchy 序列映射为 Cauchy 序列（即当 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 为 Cauchy 序列时，$\displaystyle \left\{f\left(x_{n}\right)\right\}$ 也为 Cauchy 序列）。
（3）（I）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一致连续，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left|a_{n+1}-a_{n}\right|=0$ ，证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left|f\left(a_{n+1}\right)-f\left(a_{n}\right)\right|=0$ ．
（II）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上非一致连续，证明存在数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left|a_{n+1}-a_{n}\right|=0$ ，但 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left|f\left(a_{n+1}\right)-f\left(a_{n}\right)\right|$ 不趋于 0 ．
（4）若对于 $\displaystyle f(x)$ 定义域 $\displaystyle (a, b)$ 中任一收敛数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}, \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)$ 都存在，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上一致连续．
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (a, b)$ 连续，$\displaystyle f(x) \neq 0, x \in(a, b)$ ，且对任意数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\} \in I$ ，数列 $\displaystyle \left\{f\left(x_{n}\right)\right\}$ 都收敛且极限不为零，证明：（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x), \lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)$ 存在， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x) \cdot \lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)>0$ ；（2）存在 $\displaystyle C>0$ ，使 $\displaystyle \left|\frac{1}{f(x)}\right| \leqslant C$ ．
（6）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle I$ 上一致连续，数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\} \in I$ 收敛，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)$ 存在．若 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle I$ 上连续，结论还成立吗？
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle I$ 上有定义。试证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle I$ 上一致连续的充要条件是对区间 $\displaystyle I$上任意的两数列 $\displaystyle \left\{x_{n}^{\prime}\right\}$ 与 $\displaystyle \left\{x_{n}^{\prime \prime}\right\}$ ，当 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n}^{\prime}-x_{n}^{\prime \prime}\right)=0$ 时，有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[f\left(x_{n}^{\prime}\right)-f\left(x_{n}^{\prime \prime}\right)\right]=0$ 。
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在有限区间 $\displaystyle I$ 上连续，则 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle I$ 上一致连续的充要条件是 $\displaystyle f(x)$ 把 Cauchy 序列映射为 Cauchy 序列（即当 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 为 Cauchy 序列时，$\displaystyle \left\{f\left(x_{n}\right)\right\}$ 也为 Cauchy 序列）。
（3）（I）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一致连续，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left|a_{n+1}-a_{n}\right|=0$ ，证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left|f\left(a_{n+1}\right)-f\left(a_{n}\right)\right|=0$ ．
（II）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上非一致连续，证明存在数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left|a_{n+1}-a_{n}\right|=0$ ，但 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left|f\left(a_{n+1}\right)-f\left(a_{n}\right)\right|$ 不趋于 0 ．
（4）若对于 $\displaystyle f(x)$ 定义域 $\displaystyle (a, b)$ 中任一收敛数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}, \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)$ 都存在，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上一致连续．
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (a, b)$ 连续，$\displaystyle f(x) \neq 0, x \in(a, b)$ ，且对任意数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\} \in I$ ，数列 $\displaystyle \left\{f\left(x_{n}\right)\right\}$ 都收敛且极限不为零，证明：（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x), \lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)$ 存在， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x) \cdot \lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)>0$ ；（2）存在 $\displaystyle C>0$ ，使 $\displaystyle \left|\frac{1}{f(x)}\right| \leqslant C$ ．
（6）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle I$ 上一致连续，数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\} \in I$ 收敛，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)$ 存在．若 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle I$ 上连续，结论还成立吗？
第17题证明题
17．证明：函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle I$ 上一致连续的充分必要条件是：对 $\displaystyle \forall \varepsilon>0, \exists M>0$ ，使得当 $\displaystyle x, y \in I, x \neq y$ 且 $\displaystyle \left|\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\right|>M$ 时，有 $\displaystyle |f(x)-f(y)|<\varepsilon$ 。
第18题未分类
18．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可微。试证：$\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续的充要条件是 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致可微，即 $\displaystyle \forall \varepsilon>0, \exists \delta>0$ ，当 $\displaystyle 0<|h|<\delta$ 时，有 $\displaystyle \left|\frac{f(x+h)-f(x)}{h}-f^{\prime}(x)\right|<\varepsilon$ 对一切 $\displaystyle x \in[a, b]$ 成立．
第18题证明题
18．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 连续，令 $\displaystyle f_{n}(t)=\int_{0}^{T} f\left(x^{n}\right) \mathrm{d} x, t \in[0,1], n=1,2, \cdots$ ，证明函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(t)\right\}$ 在 $\displaystyle [0,1]$上一致收敛于 $\displaystyle g(t)=t f(0)$ ．
第18题证明题
18．设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n}+x}$ ，证明：（1）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n}+x}$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致收玫；（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=0$ ，且 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续；（3）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上可导；（4）反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 发散．
第19题证明题
19．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)=x^{\lambda}, \lambda>0$ ，证明：当 $\displaystyle 0<\lambda \leqslant 1$ 时，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上一致连续。当 $\displaystyle \lambda>1$ 时，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上非一致连续．
（2）证明：函数 $\displaystyle f(x)=\sqrt{x}$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 或 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续．
（3）证明：$\displaystyle f(x)=\sqrt[3]{x}$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上一致连续．
（4）设 $\displaystyle f(x)=x^{2}$ ，证明：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致连续；（2）证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 或 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 非一致连续．
（5）设 $\displaystyle f(x)=x^{2}+2 x+1$ ，证明：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, a](a>0)$ 上一致连续；（2）证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上非一致连续．
（1）设 $\displaystyle f(x)=x^{\lambda}, \lambda>0$ ，证明：当 $\displaystyle 0<\lambda \leqslant 1$ 时，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上一致连续。当 $\displaystyle \lambda>1$ 时，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上非一致连续．
（2）证明：函数 $\displaystyle f(x)=\sqrt{x}$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 或 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续．
（3）证明：$\displaystyle f(x)=\sqrt[3]{x}$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上一致连续．
（4）设 $\displaystyle f(x)=x^{2}$ ，证明：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致连续；（2）证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 或 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 非一致连续．
（5）设 $\displaystyle f(x)=x^{2}+2 x+1$ ，证明：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, a](a>0)$ 上一致连续；（2）证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上非一致连续．
第19题证明题
19．证明下列结论．
（1）设函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在闭区域 $\displaystyle [a, A] \times[b, B]$ 上连续，函数列 $\displaystyle \left\{\varphi_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, A]$ 上一致收敛，且 $\displaystyle b \leqslant \varphi_{n}(x) \leqslant B$ 。证明：函数列 $\displaystyle F_{n}(x)=f\left(x, \varphi_{n}(x)\right), n=1,2, \cdots$ ，在 $\displaystyle [a, A]$ 上一致收敛。
（2）设函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在闭区域 $\displaystyle [a, b] \times[c, d]$ 上连续，函数列 $\displaystyle \left\{\varphi_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛，且 $\displaystyle a \leqslant \varphi_{n}(x) \leqslant b$ ，函数列 $\displaystyle \left\{\psi_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛，且 $\displaystyle c \leqslant \psi_{n}(x) \leqslant d$ 。证明：函数列 $\displaystyle F_{n}(x)=f\left(\varphi_{n}(x), \psi_{n}(x)\right), n=1,2, \cdots$ ，在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛．
（3）设函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在闭区域 $\displaystyle \left[x_{0}-a, x_{0}+a\right] \times\left[y_{0}-b, y_{0}+b\right]$ 上连续，函数列 $\displaystyle \left\{\varphi_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle \left[x_{0}-a, x_{0}+a\right]$ 上一致收敛 $\displaystyle \varphi(x)$ ，且 $\displaystyle y_{0}-b \leqslant \varphi_{n}(x) \leqslant y_{0}+b$ 。证明：
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{x_{0}}^{x} f\left(t, \varphi_{n}(t)\right) \mathrm{d} t=\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{x_{0}}^{x} f(t, \varphi(t)) \mathrm{d} t .
$$
（1）设函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在闭区域 $\displaystyle [a, A] \times[b, B]$ 上连续，函数列 $\displaystyle \left\{\varphi_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, A]$ 上一致收敛，且 $\displaystyle b \leqslant \varphi_{n}(x) \leqslant B$ 。证明：函数列 $\displaystyle F_{n}(x)=f\left(x, \varphi_{n}(x)\right), n=1,2, \cdots$ ，在 $\displaystyle [a, A]$ 上一致收敛。
（2）设函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在闭区域 $\displaystyle [a, b] \times[c, d]$ 上连续，函数列 $\displaystyle \left\{\varphi_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛，且 $\displaystyle a \leqslant \varphi_{n}(x) \leqslant b$ ，函数列 $\displaystyle \left\{\psi_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛，且 $\displaystyle c \leqslant \psi_{n}(x) \leqslant d$ 。证明：函数列 $\displaystyle F_{n}(x)=f\left(\varphi_{n}(x), \psi_{n}(x)\right), n=1,2, \cdots$ ，在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛．
（3）设函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在闭区域 $\displaystyle \left[x_{0}-a, x_{0}+a\right] \times\left[y_{0}-b, y_{0}+b\right]$ 上连续，函数列 $\displaystyle \left\{\varphi_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle \left[x_{0}-a, x_{0}+a\right]$ 上一致收敛 $\displaystyle \varphi(x)$ ，且 $\displaystyle y_{0}-b \leqslant \varphi_{n}(x) \leqslant y_{0}+b$ 。证明：
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{x_{0}}^{x} f\left(t, \varphi_{n}(t)\right) \mathrm{d} t=\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{x_{0}}^{x} f(t, \varphi(t)) \mathrm{d} t .
$$
第20题证明题
20．证明下列结论。
（1）设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}$ ，证明：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)(a>0)$ 上一致连续；（2）在 $\displaystyle (0,1)$ 或 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上非一致连续；（3）在 $\displaystyle [a, 1](0<a<1)$ 上一致连续．
（2）设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^{2}}$ ，证明：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [\delta, 1](0<\delta<1)$ 上一致连续；（2）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上非一致连续； （3）在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上连续但非一致连续．
（3）设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$ ，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上非一致连续，在 $\displaystyle (c, 1)(0<c<1)$ 上一致连续．
（1）设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}$ ，证明：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)(a>0)$ 上一致连续；（2）在 $\displaystyle (0,1)$ 或 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上非一致连续；（3）在 $\displaystyle [a, 1](0<a<1)$ 上一致连续．
（2）设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^{2}}$ ，证明：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [\delta, 1](0<\delta<1)$ 上一致连续；（2）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上非一致连续； （3）在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上连续但非一致连续．
（3）设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$ ，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上非一致连续，在 $\displaystyle (c, 1)(0<c<1)$ 上一致连续．
第20题证明题
20．设函数列 $\displaystyle f_{n}(x)=\sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{n} f\left(x+\frac{k}{n}\right), n=1,2, \cdots$ ，其中 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 连续。证明：函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在任意有界闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收玫．（厦门大学 2014 ，北京师大 2002 ，北京大学 2010 ，云南大学
2009，湖北大学 2005，深圳大学 2007，首都师大，中科院 1997，青岛大学 2004，天津大学 2011，兰州大学 $\displaystyle (f(x)=\cos x))$
分析：从函数列的结构可以计算出和函数为 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x+t) \mathrm{d} t$ ，因此可以利用形式统一法．
2009，湖北大学 2005，深圳大学 2007，首都师大，中科院 1997，青岛大学 2004，天津大学 2011，兰州大学 $\displaystyle (f(x)=\cos x))$
分析：从函数列的结构可以计算出和函数为 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x+t) \mathrm{d} t$ ，因此可以利用形式统一法．
第21题未分类
21．设 $\displaystyle p \geqslant 1$ ，试证：（1）函数 $\displaystyle f(x)=\sin \left(x^{-p}\right)$ 在 $\displaystyle [\delta, 1](0<\delta<1)$ 上一致连续；（2）函数 $\displaystyle f(x)=\sin \left(x^{-p}\right)$ 在开区间 $\displaystyle (0,1)$ 上非一致连续．
第21题证明题
21．证明下列结论．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b+1)$ 上有连续导数 $\displaystyle (a<b)$ ，令 $\displaystyle f_{n}(x)=n\left(f\left(x+\frac{1}{n}\right)-f(x)\right)$ ， $\displaystyle x \in[a, b], n=1,2, \cdots$ ．证明：（1）函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上内闭一致收敛于 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ；（2）对任何 $\displaystyle [\alpha, \beta] \subset(a, b)$ 有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{\alpha}^{\beta} f_{n}(x) \mathrm{d} x=f(\beta)-f(\alpha)$ ．
（2）设 $\displaystyle f \in C^{\prime}(I), I$ 是有界闭区间，$\displaystyle F_{n}(x)=n\left[f\left(x+\frac{1}{n}\right)-f(x)\right]$ ．证明：函数列 $\displaystyle \left\{F_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle I$ 上一致收敛．如果 $\displaystyle I$ 是有界开区间，问 $\displaystyle \left\{F_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle I$ 上是否仍然一致收敛？说明理由．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上有连续导函数 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ，且 $\displaystyle f_{n}(x)=\mathrm{e}^{n}\left(f\left(x+\mathrm{e}^{-n}\right)-f(x)\right)$ ， $\displaystyle n=1,2, \cdots$ ．证明：函数 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在任一有限区间 $\displaystyle (a, b)$ 内一致收敛于 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ．
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上有连续导函数，定义 $\displaystyle F_{n}(x)=\frac{n}{2}\left[f\left(x+\frac{1}{n}\right)-f\left(x-\frac{1}{n}\right)\right] x \in[a, b]$ ， $\displaystyle n=1,2, \cdots$ ．证明：函数列 $\displaystyle \left\{F_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上处处收敛且内闭一致收敛．
（5）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, M+1]$ 上连续，记 $\displaystyle f_{n}(x)=n\left(\int_{0}^{x+\frac{1}{n}} f(t) \mathrm{d} t-\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t\right) x \in[0, M]$ ．证明：函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [0, M]$ 上一致收玫于 $\displaystyle f(x)$ ．
（6）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上连续，定义 $\displaystyle f_{n}(x)=\frac{n}{2} \int_{-\frac{1}{n}}^{\frac{1}{n}} f(x+t) \mathrm{d} t, n=1,2, \cdots, x \in[a, b]$ ， $\displaystyle n=1,2 \cdots$ ．证明：函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在任何闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ．
分析：从形式看，函数列均为差商的形式，其极限函数与导数有关．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b+1)$ 上有连续导数 $\displaystyle (a<b)$ ，令 $\displaystyle f_{n}(x)=n\left(f\left(x+\frac{1}{n}\right)-f(x)\right)$ ， $\displaystyle x \in[a, b], n=1,2, \cdots$ ．证明：（1）函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上内闭一致收敛于 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ；（2）对任何 $\displaystyle [\alpha, \beta] \subset(a, b)$ 有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{\alpha}^{\beta} f_{n}(x) \mathrm{d} x=f(\beta)-f(\alpha)$ ．
（2）设 $\displaystyle f \in C^{\prime}(I), I$ 是有界闭区间，$\displaystyle F_{n}(x)=n\left[f\left(x+\frac{1}{n}\right)-f(x)\right]$ ．证明：函数列 $\displaystyle \left\{F_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle I$ 上一致收敛．如果 $\displaystyle I$ 是有界开区间，问 $\displaystyle \left\{F_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle I$ 上是否仍然一致收敛？说明理由．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上有连续导函数 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ，且 $\displaystyle f_{n}(x)=\mathrm{e}^{n}\left(f\left(x+\mathrm{e}^{-n}\right)-f(x)\right)$ ， $\displaystyle n=1,2, \cdots$ ．证明：函数 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在任一有限区间 $\displaystyle (a, b)$ 内一致收敛于 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ．
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上有连续导函数，定义 $\displaystyle F_{n}(x)=\frac{n}{2}\left[f\left(x+\frac{1}{n}\right)-f\left(x-\frac{1}{n}\right)\right] x \in[a, b]$ ， $\displaystyle n=1,2, \cdots$ ．证明：函数列 $\displaystyle \left\{F_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上处处收敛且内闭一致收敛．
（5）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, M+1]$ 上连续，记 $\displaystyle f_{n}(x)=n\left(\int_{0}^{x+\frac{1}{n}} f(t) \mathrm{d} t-\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t\right) x \in[0, M]$ ．证明：函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [0, M]$ 上一致收玫于 $\displaystyle f(x)$ ．
（6）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上连续，定义 $\displaystyle f_{n}(x)=\frac{n}{2} \int_{-\frac{1}{n}}^{\frac{1}{n}} f(x+t) \mathrm{d} t, n=1,2, \cdots, x \in[a, b]$ ， $\displaystyle n=1,2 \cdots$ ．证明：函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在任何闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ．
分析：从形式看，函数列均为差商的形式，其极限函数与导数有关．
第22题证明题
22．设 $\displaystyle f(x)=\sin \frac{1}{x}$ ，证明：
（1）在 $\displaystyle (0,1)$ 上非一致连续．
（2）在 $\displaystyle (a, b)(0<a<b<+\infty)$ 内一致连续．
（3）$\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续 $\displaystyle (a>0)$ ，在区间 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上非一致连续．
（1）在 $\displaystyle (0,1)$ 上非一致连续．
（2）在 $\displaystyle (a, b)(0<a<b<+\infty)$ 内一致连续．
（3）$\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续 $\displaystyle (a>0)$ ，在区间 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上非一致连续．
第23题证明题
23．证明：$\displaystyle f(x)=\cos \frac{1}{x}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上非一致连续，但在 $\displaystyle (a,+\infty)(a>0)$ 上一致连续．
第23题证明题
23．证明下列结论．
（1）设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在区间 $\displaystyle I$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ．证明：若每个 $\displaystyle f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle I$ 上一致连续，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle I$ 上一致连续。
（2）设函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle I$ 上一致收敛于 $\displaystyle s(x)$ ，如果每个 $\displaystyle u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle I$ 上一致连续，证明 $\displaystyle s(x)$ 在 $\displaystyle I$ 上一致连续．（武汉大学 $\displaystyle 2011(I=R)$ ，中南大学 $\displaystyle 2011(I=R)$ ，苏州大学 2006，华中科技 $\displaystyle 2007(I=(0,1))$ ，沈阳工大2007，北京交大2006，西北师大2009（I＝［a，b］））
（3）设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ．证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致连续．
（4）设 $\displaystyle u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上一致收玫于 $\displaystyle s(x)$ ．证明：（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle x=a, x=b$ 收敛；（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 连续；（3）$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致连续．
（1）设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在区间 $\displaystyle I$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ．证明：若每个 $\displaystyle f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle I$ 上一致连续，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle I$ 上一致连续。
（2）设函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle I$ 上一致收敛于 $\displaystyle s(x)$ ，如果每个 $\displaystyle u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle I$ 上一致连续，证明 $\displaystyle s(x)$ 在 $\displaystyle I$ 上一致连续．（武汉大学 $\displaystyle 2011(I=R)$ ，中南大学 $\displaystyle 2011(I=R)$ ，苏州大学 2006，华中科技 $\displaystyle 2007(I=(0,1))$ ，沈阳工大2007，北京交大2006，西北师大2009（I＝［a，b］））
（3）设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ．证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致连续．
（4）设 $\displaystyle u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上一致收玫于 $\displaystyle s(x)$ ．证明：（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle x=a, x=b$ 收敛；（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 连续；（3）$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致连续．
第24题证明题
24．设函数 $\displaystyle f(x)=\sin \frac{\pi}{x}, x \in(0,1)$ ．证明：$\displaystyle f(x)$ 连续。问 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 是否一致连续？（请说明理由）．
第25题证明题
25．证明：（1）$\displaystyle f(x)=\sin x$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一致连续；
（2）$\displaystyle g(x)=\sin x^{2}$ 在 $\displaystyle [0, A]$ 上一致连续，但在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 或 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上非一致连续；
（3）$\displaystyle h(x)=\cos x^{2}$ 在有限区间 $\displaystyle [0, b]$ 上一致连续，在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上非一致连续．
（2）$\displaystyle g(x)=\sin x^{2}$ 在 $\displaystyle [0, A]$ 上一致连续，但在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 或 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上非一致连续；
（3）$\displaystyle h(x)=\cos x^{2}$ 在有限区间 $\displaystyle [0, b]$ 上一致连续，在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上非一致连续．
第25题证明题
25．设 $\displaystyle g(x)$ 是 $\displaystyle [0,1]$ 上的连续函数，$\displaystyle f(x)$ 是周期为 1 的连续函数．证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} g(x) f(n x) \mathrm{d} x$
$\displaystyle =\int_{0}^{1} g(x) \mathrm{d} x \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ．
$\displaystyle =\int_{0}^{1} g(x) \mathrm{d} x \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ．
第25题证明题
25．设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ．证明：$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$在 $\displaystyle [a, b]$ 上等度连续（即 $\displaystyle \forall \varepsilon>0, \exists \delta>0$ ，当 $\displaystyle \forall x^{\prime}, x^{\prime \prime} \in[a, b],\left|x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right|<\delta$ 时，对任意自然数 $\displaystyle n$ 有 $\displaystyle \left|f_{n}\left(x^{\prime}\right)-f_{n}\left(x^{\prime \prime}\right)\right|<\varepsilon$ ）。
第26题讨论/判定题
26．讨论 $\displaystyle f(x)=x \sin \frac{1}{x}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上的一致连续性．
第26题证明题
26．证明下列结论．
（1）假定在某个区间 $\displaystyle I$ 上，函数 $\displaystyle f(x)$ 满足条件：存在常数 $\displaystyle l>0$ 和 $\displaystyle \alpha>0$ 使得
$$
|f(x)-f(y)| \leqslant l|x-y|^{\alpha},(\forall x, y \in I)
$$
（1）假定在某个区间 $\displaystyle I$ 上，函数 $\displaystyle f(x)$ 满足条件：存在常数 $\displaystyle l>0$ 和 $\displaystyle \alpha>0$ 使得
$$
|f(x)-f(y)| \leqslant l|x-y|^{\alpha},(\forall x, y \in I)
$$
第27题证明题
27．用一致连续函数的定义证明：函数 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x} \sin \frac{1}{x}$ 在区间 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上一致连续，而在区间 $\displaystyle (0, a)$ 上非一致连续 $\displaystyle (a>0)$ 。北京交大 2009）
第28题证明题
28．设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x} \sin \frac{\pi}{x}, x \neq 0, \\ 0, x=0,\end{array}\right.$ 证明：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上一致连续；（2）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上非一致连续．
第29题证明题
29．证明下列结论。
（1）$\displaystyle f(x)=\frac{\sin x}{x}$ 在 $\displaystyle (0, \pi)$ ：一致连续．
（2）$\displaystyle f(x)=\frac{|\sin x|}{x}$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 与 $\displaystyle (-1,0)$ 上均一致连续，但在 $\displaystyle (-1,0) \cup(0,1)$ 上非一致连续．
（
（1）$\displaystyle f(x)=\frac{\sin x}{x}$ 在 $\displaystyle (0, \pi)$ ：一致连续．
（2）$\displaystyle f(x)=\frac{|\sin x|}{x}$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 与 $\displaystyle (-1,0)$ 上均一致连续，但在 $\displaystyle (-1,0) \cup(0,1)$ 上非一致连续．
（
第30题证明题
30．证明下列函数在指定区间非一致连续．
（1）$\displaystyle f(x)=\mathrm{e}^{x} \cos \frac{1}{x}, x \in(0,1)$ 。
（2）$\displaystyle f(x)=\mathrm{e}^{x}, x \in(-\infty,+\infty)$ ．
（3）$\displaystyle f(x)=\tan x, x \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \cdot$
（1）$\displaystyle f(x)=\mathrm{e}^{x} \cos \frac{1}{x}, x \in(0,1)$ 。
（2）$\displaystyle f(x)=\mathrm{e}^{x}, x \in(-\infty,+\infty)$ ．
（3）$\displaystyle f(x)=\tan x, x \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \cdot$
第31题证明题
31．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)=\frac{x+2}{x+1} \sin \frac{1}{x},(a>0)$ ，证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续，在 $\displaystyle (0, a)$ 内非一致连续．（大连理工 2006，苏州科技 2008，计量学院 2011，兰州大学 1980，中北大学 2005（ $\displaystyle a=1$ ））
（2）设 $\displaystyle f(x)=\left(1+\frac{1}{x+1}\right) \cos \frac{1}{x},(a>0)$ 。证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续．
（1）设 $\displaystyle f(x)=\frac{x+2}{x+1} \sin \frac{1}{x},(a>0)$ ，证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续，在 $\displaystyle (0, a)$ 内非一致连续．（大连理工 2006，苏州科技 2008，计量学院 2011，兰州大学 1980，中北大学 2005（ $\displaystyle a=1$ ））
（2）设 $\displaystyle f(x)=\left(1+\frac{1}{x+1}\right) \cos \frac{1}{x},(a>0)$ 。证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续．
第32题证明题
32．证明下列结论．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)=\ln x$ ，证明：（1）在 $\displaystyle (0,1)$ 及 $\displaystyle (0,+\infty)$ 非一致连续；（2）在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 一致连续
（2）证明：函数 $\displaystyle f(x)=x \ln x$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上非一致连续。武汉大学1992，首都师大2010）
（3）证明：函数 $\displaystyle f(x)=\sqrt{x} \ln x$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上一致连续．
（4）设 $\displaystyle \alpha>0$ ，试确定函数 $\displaystyle f(x)=x^{\alpha} \ln x$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上一致连续的参数 $\displaystyle \alpha$ 的范围．
（5）证明：函数 $\displaystyle f(x)=\sqrt{x} \ln x$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上一致连续。安徽大学 2009）
（6）证明：函数 $\displaystyle f(x)=\sqrt[3]{x} \ln x$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上一致连续．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)=\ln x$ ，证明：（1）在 $\displaystyle (0,1)$ 及 $\displaystyle (0,+\infty)$ 非一致连续；（2）在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 一致连续
（2）证明：函数 $\displaystyle f(x)=x \ln x$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上非一致连续。武汉大学1992，首都师大2010）
（3）证明：函数 $\displaystyle f(x)=\sqrt{x} \ln x$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上一致连续．
（4）设 $\displaystyle \alpha>0$ ，试确定函数 $\displaystyle f(x)=x^{\alpha} \ln x$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上一致连续的参数 $\displaystyle \alpha$ 的范围．
（5）证明：函数 $\displaystyle f(x)=\sqrt{x} \ln x$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上一致连续。安徽大学 2009）
（6）证明：函数 $\displaystyle f(x)=\sqrt[3]{x} \ln x$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上一致连续．
第33题证明题
33．证明下列函数在指定区间内一致连续．
（1）$\displaystyle f(x)=x^{2} \ln \left(1+\frac{1}{x}\right), x \in[2,+\infty)$ ．
（2）$\displaystyle f(x)=\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right), x \in(0,+\infty)$ ．
（3）$\displaystyle f(x)=\sqrt{x(x-1)}, x \in[1,+\infty)$ ．
（1）$\displaystyle f(x)=x^{2} \ln \left(1+\frac{1}{x}\right), x \in[2,+\infty)$ ．
（2）$\displaystyle f(x)=\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right), x \in(0,+\infty)$ ．
（3）$\displaystyle f(x)=\sqrt{x(x-1)}, x \in[1,+\infty)$ ．
第33题证明题
33．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f_{n}(x), n=1,2, \cdots$ ，在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ，证明：（1） $\displaystyle \exists M>0$ ，使得 $\displaystyle \forall n \geqslant 1, \forall x \in[a, b]$ 有 $\displaystyle \left|f_{n}(x)\right| \leqslant M,|f(x)| \leqslant M$ ；（2）若 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内连续，则 $\displaystyle g\left(f_{n}(x)\right)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收玫于 $\displaystyle g(f(x))$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收玫半径为 $\displaystyle R=+\infty$ ，令 $\displaystyle f_{n}(x)=\sum_{k=0}^{n} a_{k} x^{k}$ ，试证明：$\displaystyle \left\{f\left(f_{n}(x)\right)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(f(x))$ ，其中 $\displaystyle [a, b]$ 为任一有穷闭区间．
（3）设 $\displaystyle f(u)$ 在区间 $\displaystyle J$ 上一致连续，函数列 $\displaystyle \left\{g_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle I$ 上一致收敛于 $\displaystyle g(x)$ ，当 $\displaystyle x \in I$时，$\displaystyle g(x) \in J$ ，且存在正整数 $\displaystyle N$ ，使得 $\displaystyle n>N$ 及 $\displaystyle x \in I$ 时 $\displaystyle g_{n}(x) \in J$ ，证明 $\displaystyle \left\{f\left(g_{n}(x)\right)\right\}$ 在 $\displaystyle I$ 上一致收玫于 $\displaystyle f(g(x))$ ．
（1）设 $\displaystyle f_{n}(x), n=1,2, \cdots$ ，在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ，证明：（1） $\displaystyle \exists M>0$ ，使得 $\displaystyle \forall n \geqslant 1, \forall x \in[a, b]$ 有 $\displaystyle \left|f_{n}(x)\right| \leqslant M,|f(x)| \leqslant M$ ；（2）若 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内连续，则 $\displaystyle g\left(f_{n}(x)\right)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收玫于 $\displaystyle g(f(x))$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收玫半径为 $\displaystyle R=+\infty$ ，令 $\displaystyle f_{n}(x)=\sum_{k=0}^{n} a_{k} x^{k}$ ，试证明：$\displaystyle \left\{f\left(f_{n}(x)\right)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(f(x))$ ，其中 $\displaystyle [a, b]$ 为任一有穷闭区间．
（3）设 $\displaystyle f(u)$ 在区间 $\displaystyle J$ 上一致连续，函数列 $\displaystyle \left\{g_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle I$ 上一致收敛于 $\displaystyle g(x)$ ，当 $\displaystyle x \in I$时，$\displaystyle g(x) \in J$ ，且存在正整数 $\displaystyle N$ ，使得 $\displaystyle n>N$ 及 $\displaystyle x \in I$ 时 $\displaystyle g_{n}(x) \in J$ ，证明 $\displaystyle \left\{f\left(g_{n}(x)\right)\right\}$ 在 $\displaystyle I$ 上一致收玫于 $\displaystyle f(g(x))$ ．
第34题证明题
34．证明下列结论．
（1）函数 $\displaystyle \omega_{f}(\delta)=\sup \left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right|$（其中 $\displaystyle x_{1}, x_{2}$ 是 $\displaystyle (a, b)$ 中满足 $\displaystyle \left|x_{1}-x_{2}\right|<\delta$ 的任意两点）称为函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上的连续模数。证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上一致连续的充要条件为 $\displaystyle \lim _{\delta \rightarrow 0^{+}} \omega_{f}(\delta)=0$ 。
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上有界，证明： $\displaystyle \mathrm{e}^{f(x)}$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内一致连续当且仅当 $\displaystyle \lim _{\delta \rightarrow 0^{\circ}} \omega(f, \delta)=0$ ，其中 $\displaystyle \omega(f, \delta)=\sup _{\substack{\left|x_{1}-x_{1}\right|<\delta \\ x_{1}, x_{2} \in(a, b)}}\left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right|$ 。
（1）函数 $\displaystyle \omega_{f}(\delta)=\sup \left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right|$（其中 $\displaystyle x_{1}, x_{2}$ 是 $\displaystyle (a, b)$ 中满足 $\displaystyle \left|x_{1}-x_{2}\right|<\delta$ 的任意两点）称为函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上的连续模数。证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上一致连续的充要条件为 $\displaystyle \lim _{\delta \rightarrow 0^{+}} \omega_{f}(\delta)=0$ 。
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上有界，证明： $\displaystyle \mathrm{e}^{f(x)}$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内一致连续当且仅当 $\displaystyle \lim _{\delta \rightarrow 0^{\circ}} \omega(f, \delta)=0$ ，其中 $\displaystyle \omega(f, \delta)=\sup _{\substack{\left|x_{1}-x_{1}\right|<\delta \\ x_{1}, x_{2} \in(a, b)}}\left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right|$ 。
第35题证明题
35．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致连续．将 $\displaystyle [a, b]$ 改为 $\displaystyle (a, b)$ ，结论是否还成立？说明理由．（河海大学 2006，北京大学 2008，扬州大学 2010，北京交大 2001，新疆大学 2006，东华大学 2000（用致密性定理））
第36题证明题
36．用一致连续定义证明下列结论。
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, c]$ 和 $\displaystyle [c, b)$ 上都一致连续，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上也一致连续．并举例说明将 $\displaystyle (a, c]$ 换成 $\displaystyle (a, c)$ 时，结论不一定成立。
（2）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle f(x) \neq 0$ ，用定义证明：$\displaystyle \frac{1}{f(x)}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致连续．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, c]$ 和 $\displaystyle [c, b)$ 上都一致连续，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上也一致连续．并举例说明将 $\displaystyle (a, c]$ 换成 $\displaystyle (a, c)$ 时，结论不一定成立。
（2）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle f(x) \neq 0$ ，用定义证明：$\displaystyle \frac{1}{f(x)}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致连续．
第36题未分类
36．设 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上逐点收玫于 $\displaystyle f(x)$ 且有性质：
$$
\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall x^{\prime}, x^{\prime \prime} \in[a, b]:\left|x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right|<\delta \text { 有 }\left|f_{n}\left(x^{\prime}\right)-f_{n}\left(x^{\prime \prime}\right)\right| \leqslant \varepsilon, n=1,2, \cdots
$$
用有限覆盖定理证明：$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ．
$$
\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall x^{\prime}, x^{\prime \prime} \in[a, b]:\left|x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right|<\delta \text { 有 }\left|f_{n}\left(x^{\prime}\right)-f_{n}\left(x^{\prime \prime}\right)\right| \leqslant \varepsilon, n=1,2, \cdots
$$
用有限覆盖定理证明：$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ．
第37题未分类
37．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，则 $\displaystyle \Phi(x)=\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致连续．
第37题证明题
37．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续且可导，且 $\displaystyle \left\{f_{n}^{\prime}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致有界，并且 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 点收玫于 $\displaystyle f(x)$ ．试证：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续；（2）$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ．
（2）设可微函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上逐点收敛，且对任意 $\displaystyle x \in[a, b]$ 存在 $\displaystyle x$ 的邻域 $\displaystyle U(x)$ ，使得 $\displaystyle \left\{f_{n}^{\prime}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致有界，证明：（1）$\displaystyle \left\{f_{n}^{\prime}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致有界。（2）$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛．
（3）设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有定义，存在 $\displaystyle \alpha \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle \left|f_{n}(x)-f_{n}(y)\right| \leqslant|x-y|^{\alpha}$ ， $\displaystyle \forall x, y \in[a, b], n=1,2, \cdots$ ，且逐点有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)=f(x)$ 。证明 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ 。
（4）设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上满足李普希茨条件，即 $\displaystyle \left|f_{n}(x)-f_{n}(y)\right| \leqslant c_{n}|x-y|$ ，
$\displaystyle \forall x, y \in[a, b]$ ，其中 $\displaystyle c_{n}$ 为与 $\displaystyle x, y$ 无关的常数。证明：如果 $\displaystyle \left\{c_{n}\right\}$ 为有界数列，且 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上收敛于 $\displaystyle f(x)$ ，则 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收玫于 $\displaystyle f(x)$ 。
（5）设 $\displaystyle f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上满足条件：$\displaystyle \left|f_{n}(x)-f_{n}(y)\right| \leqslant k|x-y|, \forall x, y \in[a, b], n=1,2, \cdots$ ，且在 $\displaystyle [a, b]$上，$\displaystyle f_{n}(x)$ 收敛于 $\displaystyle f(x), n \rightarrow \infty$ 。证明 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ 。华东师大 2015 ，北京师大2000，哈工大2004，武汉大学1997）
（6）设函数列 $\displaystyle \left\{u_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可导，且 $\displaystyle \exists M>0$ ，对 $\displaystyle \forall n \in \mathrm{~N}^{+}$有 $\displaystyle \left|\sum_{k=1}^{n} u_{k}^{\prime}(x)\right| \leqslant M$ 。证明：如果级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 收玫，则必一致收敛．
（7）设 $\displaystyle u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上满足条件：$\displaystyle \left|u_{n}(x)-u_{n}(y)\right| \leqslant \frac{1}{2^{n}}|x-y|, n=1,2, \cdots$ ，且在 $\displaystyle [a, b]$ 上 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$逐点收敛，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛。
（8）设函数 $\displaystyle f_{n}(x), n=1,2, \cdots$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 可导，且 $\displaystyle \left\{f_{n}^{\prime}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上一致有界， $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致有界，试证函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上有一致收敛的子列。华东师大 2015，厦门大学 2013，兰州大学 2011）
（1）设 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续且可导，且 $\displaystyle \left\{f_{n}^{\prime}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致有界，并且 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 点收玫于 $\displaystyle f(x)$ ．试证：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续；（2）$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ．
（2）设可微函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上逐点收敛，且对任意 $\displaystyle x \in[a, b]$ 存在 $\displaystyle x$ 的邻域 $\displaystyle U(x)$ ，使得 $\displaystyle \left\{f_{n}^{\prime}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致有界，证明：（1）$\displaystyle \left\{f_{n}^{\prime}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致有界。（2）$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛．
（3）设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有定义，存在 $\displaystyle \alpha \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle \left|f_{n}(x)-f_{n}(y)\right| \leqslant|x-y|^{\alpha}$ ， $\displaystyle \forall x, y \in[a, b], n=1,2, \cdots$ ，且逐点有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)=f(x)$ 。证明 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ 。
（4）设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上满足李普希茨条件，即 $\displaystyle \left|f_{n}(x)-f_{n}(y)\right| \leqslant c_{n}|x-y|$ ，
$\displaystyle \forall x, y \in[a, b]$ ，其中 $\displaystyle c_{n}$ 为与 $\displaystyle x, y$ 无关的常数。证明：如果 $\displaystyle \left\{c_{n}\right\}$ 为有界数列，且 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上收敛于 $\displaystyle f(x)$ ，则 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收玫于 $\displaystyle f(x)$ 。
（5）设 $\displaystyle f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上满足条件：$\displaystyle \left|f_{n}(x)-f_{n}(y)\right| \leqslant k|x-y|, \forall x, y \in[a, b], n=1,2, \cdots$ ，且在 $\displaystyle [a, b]$上，$\displaystyle f_{n}(x)$ 收敛于 $\displaystyle f(x), n \rightarrow \infty$ 。证明 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ 。华东师大 2015 ，北京师大2000，哈工大2004，武汉大学1997）
（6）设函数列 $\displaystyle \left\{u_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可导，且 $\displaystyle \exists M>0$ ，对 $\displaystyle \forall n \in \mathrm{~N}^{+}$有 $\displaystyle \left|\sum_{k=1}^{n} u_{k}^{\prime}(x)\right| \leqslant M$ 。证明：如果级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 收玫，则必一致收敛．
（7）设 $\displaystyle u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上满足条件：$\displaystyle \left|u_{n}(x)-u_{n}(y)\right| \leqslant \frac{1}{2^{n}}|x-y|, n=1,2, \cdots$ ，且在 $\displaystyle [a, b]$ 上 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$逐点收敛，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛。
（8）设函数 $\displaystyle f_{n}(x), n=1,2, \cdots$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 可导，且 $\displaystyle \left\{f_{n}^{\prime}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上一致有界， $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致有界，试证函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上有一致收敛的子列。华东师大 2015，厦门大学 2013，兰州大学 2011）
第42题未分类
42．设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上收玫于 $\displaystyle f(x)$ ，其中每个 $\displaystyle f_{n}(x)$ 都是单调函数，若 $\displaystyle f(x)$ 连续，则 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收玫于 $\displaystyle f(x)$ ．