一般无穷积分的敛散判别法（狄利克雷判别法、阿贝尔判别法）
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第2题讨论/判定题
2．讨论下列反常积分的敛散性（包括绝对收敛与条件收敛）．
（1） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} x^{2} \sin x \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sqrt{x}}{100+\sqrt{x}} \cos x \mathrm{~d} x$ 。
（3） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sqrt{x} \sin x}{1+x} \mathrm{~d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} x^{2} \sin x \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sqrt{x}}{100+\sqrt{x}} \cos x \mathrm{~d} x$ 。
（3） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sqrt{x} \sin x}{1+x} \mathrm{~d} x$ ．
第3题讨论/判定题
3．讨论下列反常积分的敛散性（包括绝对收敛、条件收敛和发散）．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x^{p}} \mathrm{~d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x^{p}} \mathrm{~d} x$ ．
第4题讨论/判定题
4．讨论下列反常积分的敛散性（包括绝对收敛、条件收敛和发散）．
（1） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x}{x^{p}} \mathrm{~d} x(p>0)$ 。
（2） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\cos x}{x^{p}} \mathrm{~d} x(p>0)$ 。（沈阳工大 2014，西安理工 2011，太原科技 2006，青岛大学 2009（ $\displaystyle p=1$ ），南京师大2002（ $\displaystyle p=2^{-1}$ ））
（3） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\cos 2 x}{x^{p}} \mathrm{~d} x(p>0)$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{x^{\alpha}} \sin \frac{1}{x} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin \sqrt{x}}{x^{q}} \mathrm{~d} x, q \geqslant 2^{-1}$ ．
（6） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \sin x^{\alpha} \mathrm{d} x$ 。
（7） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} x \sin x^{4} \mathrm{~d} x$ 。
（1） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x}{x^{p}} \mathrm{~d} x(p>0)$ 。
（2） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\cos x}{x^{p}} \mathrm{~d} x(p>0)$ 。（沈阳工大 2014，西安理工 2011，太原科技 2006，青岛大学 2009（ $\displaystyle p=1$ ），南京师大2002（ $\displaystyle p=2^{-1}$ ））
（3） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\cos 2 x}{x^{p}} \mathrm{~d} x(p>0)$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{x^{\alpha}} \sin \frac{1}{x} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin \sqrt{x}}{x^{q}} \mathrm{~d} x, q \geqslant 2^{-1}$ ．
（6） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \sin x^{\alpha} \mathrm{d} x$ 。
（7） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} x \sin x^{4} \mathrm{~d} x$ 。
第5题讨论/判定题
5．讨论下列反常积分的敛散性（包括绝对收敛、条件收敛和发散）
（1） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{x \sin x}{1+x^{p}} \mathrm{~d} x, p \geqslant 0$ ．
（2） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x}{x+\frac{1}{x}} \mathrm{~d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{x \sin x}{1+x^{p}} \mathrm{~d} x, p \geqslant 0$ ．
（2） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x}{x+\frac{1}{x}} \mathrm{~d} x$ ．
第6题讨论/判定题
6．讨论下列反常积分的敛散性（包括绝对收敛、条件收敛和发散）
（1） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x^{p}}{x^{q}} \mathrm{~d} x, p>0$ ．（中南大学2003，华南师大2005（ $\displaystyle p>0, q>0$ ））
（2） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x^{2}}{x^{q}} \mathrm{~d} x$ 。
（1） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x^{p}}{x^{q}} \mathrm{~d} x, p>0$ ．（中南大学2003，华南师大2005（ $\displaystyle p>0, q>0$ ））
（2） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x^{2}}{x^{q}} \mathrm{~d} x$ 。
第7题讨论/判定题
7．讨论下列反常积分的敛散性．
（1） $\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \frac{\sin ^{2} x}{x^{\alpha}} \mathrm{d} x(\alpha>0)$ ．
（2） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{|\sin x|}{x^{\alpha}} \mathrm{d} x(\alpha>0)$ 。西南交大 2006）
（3） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{|\cos x|}{x} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin ^{2} x}{x} \mathrm{~d} x, \int_{1}^{+\infty} \frac{\cos ^{2} x}{x} \mathrm{~d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \frac{\sin ^{2} x}{x^{\alpha}} \mathrm{d} x(\alpha>0)$ ．
（2） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{|\sin x|}{x^{\alpha}} \mathrm{d} x(\alpha>0)$ 。西南交大 2006）
（3） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{|\cos x|}{x} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin ^{2} x}{x} \mathrm{~d} x, \int_{1}^{+\infty} \frac{\cos ^{2} x}{x} \mathrm{~d} x$ ．
第8题讨论/判定题
8．设 $\displaystyle f(x)=\ln \left(1+\frac{\sin x}{x^{p}}\right)$ ，讨论不同的 $\displaystyle p$ 对 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (1,+\infty)$ 上积分的敛散性．
第8题未分类
8．判断下列级数的玫散性和绝对收玫性．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n^{p}} \cdot(p>0)$ ．（兰州大学 2008 ，安徽大学 2008 ，宁波大学 2010 ，广西师大 $\displaystyle 2001(x=-1)$ ，河北大学 2007（ $\displaystyle p=1, x=-1$ ））
（2）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{p+\frac{1}{n}}}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^{p-\frac{1}{n}}}$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{p+\frac{1}{\ln n}}}$ ．
（5）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{p+\frac{1}{\sqrt{n}}}}$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\left[n+(-1)^{n}\right]^{p}}$ ．（山西师大2006，北京师大2002（ $\displaystyle p \geqslant 1$ ））
（7）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \ln \left(1+(-1)^{n} \frac{1}{n^{p}}\right)$ ．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n^{p}} \cdot(p>0)$ ．（兰州大学 2008 ，安徽大学 2008 ，宁波大学 2010 ，广西师大 $\displaystyle 2001(x=-1)$ ，河北大学 2007（ $\displaystyle p=1, x=-1$ ））
（2）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{p+\frac{1}{n}}}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^{p-\frac{1}{n}}}$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{p+\frac{1}{\ln n}}}$ ．
（5）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{p+\frac{1}{\sqrt{n}}}}$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\left[n+(-1)^{n}\right]^{p}}$ ．（山西师大2006，北京师大2002（ $\displaystyle p \geqslant 1$ ））
（7）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \ln \left(1+(-1)^{n} \frac{1}{n^{p}}\right)$ ．
第9题讨论/判定题
9．讨论下列反常积分的敛散性（包括绝对收敛、条件收敛和发散）．
（1） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin \left(x+\frac{1}{x}\right)}{x^{p}} \mathrm{~d} x(p>0)$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin \left(x+\frac{1}{x}\right)}{x^{p}} \mathrm{~d} x(p>0)$ ．
（1） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin \left(x+\frac{1}{x}\right)}{x^{p}} \mathrm{~d} x(p>0)$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin \left(x+\frac{1}{x}\right)}{x^{p}} \mathrm{~d} x(p>0)$ ．
第10题讨论/判定题
10．讨论下列反常积分的绝对收敛和条件收敛性．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty}\left[\left(1-\frac{\sin x}{x}\right)^{-\alpha}-1\right] \mathrm{d} x(\alpha>0)$ 。北京理工 2007，北京大学 $\displaystyle \left(\alpha=\frac{1}{3}\right)$ ）
（2） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty}\left\{\left[1-\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{2}\right]^{a}-1\right\} \mathrm{d} x$ 。
（1） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty}\left[\left(1-\frac{\sin x}{x}\right)^{-\alpha}-1\right] \mathrm{d} x(\alpha>0)$ 。北京理工 2007，北京大学 $\displaystyle \left(\alpha=\frac{1}{3}\right)$ ）
（2） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty}\left\{\left[1-\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{2}\right]^{a}-1\right\} \mathrm{d} x$ 。
第11题讨论/判定题
11．讨论下列反常积分的敛散性（包括绝对收敛与条件收敛）
（1） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan x}{x^{\alpha}} \mathrm{d} x$ 。（南航 2012，地质大学 2003，广西大学 2003（ $\displaystyle \alpha=2$ ），杭州师 大 2009／2008，昆明理工 2006，计量学院 2007）
（2） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x \cdot \arctan x}{x^{p}} \mathrm{~d} x(p>0)$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x \arctan x}{x^{p}} \mathrm{~d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan x}{x^{\alpha}} \mathrm{d} x$ 。（南航 2012，地质大学 2003，广西大学 2003（ $\displaystyle \alpha=2$ ），杭州师 大 2009／2008，昆明理工 2006，计量学院 2007）
（2） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x \cdot \arctan x}{x^{p}} \mathrm{~d} x(p>0)$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x \arctan x}{x^{p}} \mathrm{~d} x$ ．
第12题未分类
12．若数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为单调递减，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \sin n x, \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \cos n x$ 对任何 $\displaystyle x \in(0,2 \pi)$都收敛．（东华大学 2005（ $\displaystyle a_{n}=\frac{1}{n}, x=1$ ），东南大学 $\displaystyle 1996\left(a_{n}=\frac{1}{\ln n}, x=1\right)$ ，浙江师大 2013（ $\displaystyle \left.a_{n}=\frac{1}{n^{p}}, x=1\right)$ ，复旦大学 1997
第13题讨论/判定题
13．讨论下列反常积分的敛散性（包括绝对收敛与条件收敛）．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\ln x}{x} \sin x \mathrm{~d} x$ 。
（2） $\displaystyle \int_{e}^{+\infty} \frac{\ln \ln x}{\ln x} \cos x \mathrm{~d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\ln x}{x} \sin x \mathrm{~d} x$ 。
（2） $\displaystyle \int_{e}^{+\infty} \frac{\ln \ln x}{\ln x} \cos x \mathrm{~d} x$ ．
第13题讨论/判定题
13．讨论下列级数是否绝对收敛或条件收敛？
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n^{x}}, x \in[0, \infty)$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})^{\alpha} \sin n$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n x}{n^{p}}, x \in(0, \pi)$ 。
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\sin n x}{n}$ ．
（5）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{\sqrt{n+1}} \sin \frac{1}{\sqrt{n}}$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}+1} \sin \frac{1}{n}$ ．
（7）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right) \frac{\sin n x}{n}$ ．
（8）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right) \frac{\cos n}{n}$ 。
（9）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{2^{2}}+\cdots+\frac{1}{n^{2}}\right) \frac{\sin n x}{n}$ ．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n^{x}}, x \in[0, \infty)$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})^{\alpha} \sin n$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n x}{n^{p}}, x \in(0, \pi)$ 。
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\sin n x}{n}$ ．
（5）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{\sqrt{n+1}} \sin \frac{1}{\sqrt{n}}$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}+1} \sin \frac{1}{n}$ ．
（7）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right) \frac{\sin n x}{n}$ ．
（8）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right) \frac{\cos n}{n}$ 。
（9）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{2^{2}}+\cdots+\frac{1}{n^{2}}\right) \frac{\sin n x}{n}$ ．
第14题证明题
14．证明： $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \ln \left(1+\sin ^{2} x\right) \sin (\sin x) \mathrm{d} x=0$ ，并讨论 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\ln \left(1+\sin ^{2} x\right) \sin (\sin x)}{x} \mathrm{~d} x$ 的绝对收敛和条件收敛性．
第17题讨论/判定题
17．讨论积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{\sin x} \sin 2 x}{x^{p}} \mathrm{~d} x$ 的绝对收敛和条件收敛．
第17题证明题
17．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上内闭可积，且 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，$\displaystyle a>1$ ．证明：
$\displaystyle \lim _{y \rightarrow 0^{+}} \int_{0}^{+\infty} a^{-y x} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 。
$\displaystyle \lim _{y \rightarrow 0^{+}} \int_{0}^{+\infty} a^{-y x} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 。
第18题讨论/判定题
18．讨论下列积分的敛散性．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{1} x^{p-1}(1-x)^{q-1} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln x}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{x} \cos \frac{1}{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{1} x^{p-1}(1-x)^{q-1} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln x}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{x} \cos \frac{1}{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
第22题证明题
22．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 单调递减，$\displaystyle f(x)>0$ ．证明： $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 和 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \sin ^{2} x \mathrm{~d} x$ 的敛散性相同．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 单调递减，$\displaystyle f(x)>0$ ．证明： $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 和 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \cos ^{2} x \mathrm{~d} x$ 的敛散性相同．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 连续可导，$\displaystyle f^{\prime}(x) \leqslant 0$ ，极 限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．证 明：无 穷 积 分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f^{\prime}(x) \sin ^{2} x \mathrm{~d} x$ 收敛。
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 单调递减，$\displaystyle f(x)>0$ ．证明： $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 和 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \sin ^{2} x \mathrm{~d} x$ 的敛散性相同．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 单调递减，$\displaystyle f(x)>0$ ．证明： $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 和 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \cos ^{2} x \mathrm{~d} x$ 的敛散性相同．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 连续可导，$\displaystyle f^{\prime}(x) \leqslant 0$ ，极 限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．证 明：无 穷 积 分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f^{\prime}(x) \sin ^{2} x \mathrm{~d} x$ 收敛。
第23题未分类
23．判断下列积分的玫散性．
（1） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin ^{2} x}{x^{p}\left(x^{p}+\sin x\right)} \mathrm{d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x^{p}+\sin x} \mathrm{~d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin ^{2} x}{x^{p}\left(x^{p}+\sin x\right)} \mathrm{d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x^{p}+\sin x} \mathrm{~d} x$ ．
第23题证明题
23．证明下列命题．
（1）求证：$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n^{2}}$ 在 $\displaystyle \left[\frac{\pi}{3}, \frac{5 \pi}{3}\right]$ 上连续可微．
（2）证明：$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n^{2}+1}$ 在 $\displaystyle (0,2 \pi)$ 连续且有连续的导数．
（3）试证：$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n x}{n^{2}+1}$ 在 $\displaystyle (0,2 \pi)$ 上有连续导数．
（4）证明：函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n^{x}}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内非一致收敛，但在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内连续．
（5）证明：$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n}} \tan \frac{x}{2^{n}}$ 在 $\displaystyle \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 连续，求 $\displaystyle f(x)$ 的表达式，并计算 $\displaystyle \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \mathrm{d} x$ 及 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \arctan \frac{1}{2 k^{2}}$ ．
（1）求证：$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n^{2}}$ 在 $\displaystyle \left[\frac{\pi}{3}, \frac{5 \pi}{3}\right]$ 上连续可微．
（2）证明：$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n^{2}+1}$ 在 $\displaystyle (0,2 \pi)$ 连续且有连续的导数．
（3）试证：$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n x}{n^{2}+1}$ 在 $\displaystyle (0,2 \pi)$ 上有连续导数．
（4）证明：函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n^{x}}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内非一致收敛，但在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内连续．
（5）证明：$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n}} \tan \frac{x}{2^{n}}$ 在 $\displaystyle \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 连续，求 $\displaystyle f(x)$ 的表达式，并计算 $\displaystyle \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \mathrm{d} x$ 及 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \arctan \frac{1}{2 k^{2}}$ ．
第24题证明题
24．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上可微，$\displaystyle f^{\prime}(x)$ 单调递增无上界．证明：反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \cos (f(x)) \mathrm{d} x$ 收敛．
第28题证明题
28．证明下列结论．
（1）若 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} x f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，则 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 也收敛．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上非负连续函数，若 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} x f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，则 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 也收敛．
（1）若 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} x f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，则 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 也收敛．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上非负连续函数，若 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} x f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，则 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 也收敛．
第28题证明题
28．证明或求解下列各题．
（1）证明：若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \mathrm{e}^{-n x}$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致收敛。
（2）设 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$（有限）$\displaystyle (a \neq 0)$ ，证明：（1）$\displaystyle \forall \delta>0, \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \mathrm{e}^{-n x}$ 在 $\displaystyle (\delta,+\infty)$ 上一致收敛； （2）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \mathrm{e}^{-n x}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 不一致收敛；（3）函数 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \mathrm{e}^{-n x}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上连续。西北师大 2005）
（3）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 有界，但不收敛，求证：（1）$\displaystyle \forall x>0, \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \mathrm{e}^{-n x}$ 收敛；（2）$\displaystyle \forall \delta>0, \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \mathrm{e}^{-n x}$ 在 $\displaystyle [\delta,+\infty)$上一致收敛；（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \mathrm{e}^{-n x}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上不一致收敛．
（4）设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mathrm{e}^{-n x}}{1+n^{2}}$ ，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 连续，并且 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 连续．
（5）设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{\mathrm{e}^{-n x}}{n}$ ，求 $\displaystyle f(x)$ 的连续范围及可导范用．
（1）证明：若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \mathrm{e}^{-n x}$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致收敛。
（2）设 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$（有限）$\displaystyle (a \neq 0)$ ，证明：（1）$\displaystyle \forall \delta>0, \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \mathrm{e}^{-n x}$ 在 $\displaystyle (\delta,+\infty)$ 上一致收敛； （2）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \mathrm{e}^{-n x}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 不一致收敛；（3）函数 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \mathrm{e}^{-n x}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上连续。西北师大 2005）
（3）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 有界，但不收敛，求证：（1）$\displaystyle \forall x>0, \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \mathrm{e}^{-n x}$ 收敛；（2）$\displaystyle \forall \delta>0, \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \mathrm{e}^{-n x}$ 在 $\displaystyle [\delta,+\infty)$上一致收敛；（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \mathrm{e}^{-n x}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上不一致收敛．
（4）设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mathrm{e}^{-n x}}{1+n^{2}}$ ，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 连续，并且 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 连续．
（5）设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{\mathrm{e}^{-n x}}{n}$ ，求 $\displaystyle f(x)$ 的连续范围及可导范用．
第33题证明题
33．设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 在 $\displaystyle x=1$ 有定义，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}\right|$ 发散。已知极限 $\displaystyle l=\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|2 a_{n}\right|}$ 存在，求 $\displaystyle l$ ，并证明级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛．
第34题证明题
34．证明下列结论．
（1）设级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x_{n}}{n^{\alpha_{0}}}$ 收敛，则当 $\displaystyle \alpha>\alpha_{0}$ 时，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x_{n}}{n^{\alpha}}$ 也收玫．
（2）设级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{x}}$ 收敛，证明存在 $\displaystyle -\infty<r<+\infty$ ，使当 $\displaystyle x<r$ 时级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{x}}$ 发散，当 $\displaystyle x>r$ 时级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{x}}$ 收敛．
（1）设级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x_{n}}{n^{\alpha_{0}}}$ 收敛，则当 $\displaystyle \alpha>\alpha_{0}$ 时，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x_{n}}{n^{\alpha}}$ 也收玫．
（2）设级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{x}}$ 收敛，证明存在 $\displaystyle -\infty<r<+\infty$ ，使当 $\displaystyle x<r$ 时级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{x}}$ 发散，当 $\displaystyle x>r$ 时级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{x}}$ 收敛．
第35题未分类
35．设 $\displaystyle \left|\sum_{k=0}^{n} a_{k} \pi^{k}\right| \leqslant 2009, n=1,2, \cdots$ ，证 明：当 $\displaystyle x \in(0, \pi)$ 时，$\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} a_{k} x^{k}$ 收 敛，且 $\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} a_{k} x^{k} \in[-2009,2009]$ ．（哈 工 大 2009）
第36题证明题
36．证明下列结论．
（1）已知 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 为发散的一般项级数，试证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right) a_{n}$ 也是发散级数．
（2）证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 与 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right) a_{n}$ 同敛散．
（3）讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 与级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} a_{n}$ 的玫散性之间的关系。
（4）若级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n a_{n}$ 收玫，证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 也收玫．
（5）设级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \sqrt{n}$ 收敛。试就 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 为正项级数和一般项级数两种情形分别证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \sqrt{n+\sqrt{n}}$ 也收敛。
（1）已知 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 为发散的一般项级数，试证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right) a_{n}$ 也是发散级数．
（2）证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 与 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right) a_{n}$ 同敛散．
（3）讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 与级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} a_{n}$ 的玫散性之间的关系。
（4）若级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n a_{n}$ 收玫，证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 也收玫．
（5）设级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \sqrt{n}$ 收敛。试就 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 为正项级数和一般项级数两种情形分别证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \sqrt{n+\sqrt{n}}$ 也收敛。
第37题证明题
37．若级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}$ 收敛，证明：$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{x}}$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续．
第38题证明题
38．证明：（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \sin \frac{1}{n}$ 收敛；
（2）$\displaystyle \sum_{n=3}^{\infty}(-1)^{n} \sin \frac{1}{n} \frac{1}{(\ln n)^{x}}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上一致收敛；
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \sum_{n=3}^{\infty}(-1)^{n} \sin \frac{1}{n} \frac{1}{(\ln n)^{x}}=\sum_{n=3}^{\infty}(-1)^{n} \sin \frac{1}{n}$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=3}^{\infty}(-1)^{n} \sin \frac{1}{n} \frac{1}{(\ln n)^{x}}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上一致收敛；
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \sum_{n=3}^{\infty}(-1)^{n} \sin \frac{1}{n} \frac{1}{(\ln n)^{x}}=\sum_{n=3}^{\infty}(-1)^{n} \sin \frac{1}{n}$ ．
第39题证明题
39．证明或讨论下列各题．
（1）证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n} \frac{x^{n}}{1+x^{n}}$ 在区间 $\displaystyle (0,1)$ 上的一致收玫性，并证明其和函数 $\displaystyle S(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上有连续可导，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1^{1}} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n} \frac{x^{n}}{1+x^{n}}=\frac{1}{2} \ln 2$ 。
（2）讨论函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n} \frac{(\sin x)^{2 n}}{1+(\sin x)^{2 n}}$ 在 $\displaystyle \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 上的一致收敛性、绝对收敛性和绝对一致收玫性．
（1）证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n} \frac{x^{n}}{1+x^{n}}$ 在区间 $\displaystyle (0,1)$ 上的一致收玫性，并证明其和函数 $\displaystyle S(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上有连续可导，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1^{1}} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n} \frac{x^{n}}{1+x^{n}}=\frac{1}{2} \ln 2$ 。
（2）讨论函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n} \frac{(\sin x)^{2 n}}{1+(\sin x)^{2 n}}$ 在 $\displaystyle \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 上的一致收敛性、绝对收敛性和绝对一致收玫性．
第41题证明题
41．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle \left\{n x_{n}\right\}$ 收玫，级数 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} n\left(x_{n}-x_{n-1}\right)$ 收敛。试证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x_{n}$ 收玫。宁波大学 2013，上海交大 2003，昆明理工 2010，中南大学 2006，廈门大学 2008／2012，北京工大 2001，西南师大 2001）
（2）设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫， $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$ ，证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n\left(a_{n}-a_{n+1}\right)=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 。
（3）设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 是收玫的正项级数，并且 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调减少收敛于零．证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n\left(a_{n}-a_{n+1}\right)$ 收玫，而且 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n\left(a_{n}-a_{n+1}\right)=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 。
（4）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调，且级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫于 $\displaystyle A$ ．证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n\left(a_{n}-a_{n+1}\right)$ 收玫，并求其和．（合肥 $\displaystyle I$大 2000）
（5）设 $\displaystyle a_{n}>0,\left\{a_{n}\right\}$ 单调递减，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$ ，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 与 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n\left(a_{n}-a_{n+1}\right)$ 同收玫，且和相同．
（6）设级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{2 n-1}+a_{2 n}\right)$ 收玫， $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫．
（7）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调减少且收玫于零，数列 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 有界，其中 $\displaystyle b_{n}=\sum_{k=1}^{n}\left(a_{k}-a_{n}\right)$ ．证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$收敛．
（1）设 $\displaystyle \left\{n x_{n}\right\}$ 收玫，级数 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} n\left(x_{n}-x_{n-1}\right)$ 收敛。试证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x_{n}$ 收玫。宁波大学 2013，上海交大 2003，昆明理工 2010，中南大学 2006，廈门大学 2008／2012，北京工大 2001，西南师大 2001）
（2）设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫， $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$ ，证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n\left(a_{n}-a_{n+1}\right)=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 。
（3）设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 是收玫的正项级数，并且 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调减少收敛于零．证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n\left(a_{n}-a_{n+1}\right)$ 收玫，而且 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n\left(a_{n}-a_{n+1}\right)=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 。
（4）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调，且级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫于 $\displaystyle A$ ．证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n\left(a_{n}-a_{n+1}\right)$ 收玫，并求其和．（合肥 $\displaystyle I$大 2000）
（5）设 $\displaystyle a_{n}>0,\left\{a_{n}\right\}$ 单调递减，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$ ，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 与 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n\left(a_{n}-a_{n+1}\right)$ 同收玫，且和相同．
（6）设级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{2 n-1}+a_{2 n}\right)$ 收玫， $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫．
（7）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调减少且收玫于零，数列 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 有界，其中 $\displaystyle b_{n}=\sum_{k=1}^{n}\left(a_{k}-a_{n}\right)$ ．证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$收敛．
第45题求解题
45．已知级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n+1}-a_{n}\right)$ 绝对收敛，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收敛，求证：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 收玫．