三角函数有理式的不定积分（万能代换）
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第1题计算题
1．计算下列积分．
（1） $\displaystyle \int \sqrt{1+\cos x} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{\sec ^{2} x}{4+\tan ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{\cos ^{4} x \sin ^{4} x}$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{1+\tan x}$ ．
（1） $\displaystyle \int \sqrt{1+\cos x} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{\sec ^{2} x}{4+\tan ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{\cos ^{4} x \sin ^{4} x}$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{1+\tan x}$ ．
第2题计算题
2．计算下列积分．
（1） $\displaystyle \int \frac{\cos x \sin ^{3} x}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{\sin x \cos ^{3} x}{1+\sin ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{a^{2} \sin ^{2} x+b^{2} \cos ^{2} x}(a b \neq 0)$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{\tan x+\sin x}$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{\cos 2 x \sin x}$ ．
（1） $\displaystyle \int \frac{\cos x \sin ^{3} x}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{\sin x \cos ^{3} x}{1+\sin ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{a^{2} \sin ^{2} x+b^{2} \cos ^{2} x}(a b \neq 0)$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{\tan x+\sin x}$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{\cos 2 x \sin x}$ ．
第3题计算题
3．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{1+\sin x}$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{1+4 \cos x}$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{\cos x \sin ^{3} x}$ 。
（4） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{2+\cos x+\sin x}$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{5 \sin x+2 \cos x}{\sin x+3 \cos x} \mathrm{~d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int \frac{\ln \left(2+\sin ^{2} x\right)}{\left(1+\sin ^{2} x\right)^{2}} \sin 2 x \mathrm{~d} x$ ．
（7） $\displaystyle \int \frac{\sqrt{1+\sin x}}{\cos x} \mathrm{~d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{1+\sin x}$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{1+4 \cos x}$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{\cos x \sin ^{3} x}$ 。
（4） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{2+\cos x+\sin x}$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{5 \sin x+2 \cos x}{\sin x+3 \cos x} \mathrm{~d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int \frac{\ln \left(2+\sin ^{2} x\right)}{\left(1+\sin ^{2} x\right)^{2}} \sin 2 x \mathrm{~d} x$ ．
（7） $\displaystyle \int \frac{\sqrt{1+\sin x}}{\cos x} \mathrm{~d} x$ ．
第11题计算题
11．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x \cos x}{1+\sin ^{4} x} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\left(\frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}\right)^{2} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{3+\sin 2 x}{2+\cos x} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} \frac{\mathrm{~d} \theta}{2+\cos \theta}$ ．
（5） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{1+\cos 2 x} \mathrm{~d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{\cos 4 \theta d \theta}{1+\cos ^{2} \theta}$ ．（浙江 大 学 2013）
（7） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{\mathrm{d} \theta}{1-\sqrt{2} \cos \theta+a}(a>1)$ ．
（8） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\mathrm{~d} \dot{x}}{a^{2} \sin ^{2} x+b^{2} \cos ^{2} x}$ ，其中 $\displaystyle a, b$ 为非零常数．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x \cos x}{1+\sin ^{4} x} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\left(\frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}\right)^{2} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{3+\sin 2 x}{2+\cos x} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} \frac{\mathrm{~d} \theta}{2+\cos \theta}$ ．
（5） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{1+\cos 2 x} \mathrm{~d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{\cos 4 \theta d \theta}{1+\cos ^{2} \theta}$ ．（浙江 大 学 2013）
（7） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{\mathrm{d} \theta}{1-\sqrt{2} \cos \theta+a}(a>1)$ ．
（8） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\mathrm{~d} \dot{x}}{a^{2} \sin ^{2} x+b^{2} \cos ^{2} x}$ ，其中 $\displaystyle a, b$ 为非零常数．