三角级数

13．证明下列结论．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{\sin \left(k+\frac{1}{2}\right) t}{\sin \frac{t}{2}} \mathrm{~d} t=\pi,(k=0,1,2, \cdots)$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{\sin (2 n+1) x}{\sin x} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{\pi} \frac{\sin (2 n-1) x}{\sin x} \mathrm{~d} x$ ，并计算其值，其中 $\displaystyle n$ 为正整数．

18．设函数 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \cos n x$ ，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}\right|$ 收玫，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} B_{n} \sin n x$ 是 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0, \pi]$ 上的正弦级数，求 $\displaystyle B_{n}$ ．

23．证明下列结论．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, \pi]$ 上连续，在 $\displaystyle (0, \pi)$ 可导，且 $\displaystyle \int_{0}^{\pi} f(x) \sin x \mathrm{~d} x=0, \int_{0}^{\pi} f(x) \cos x \mathrm{~d} x=0$ ．证明：在 $\displaystyle (0, \pi)$ 内存在 $\displaystyle \xi$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, \pi]$ 上连续，且 $\displaystyle \int_{0}^{\pi} f(x) \mathrm{d} x=0, \int_{0}^{\pi} f(x) \cos x \mathrm{~d} x=0$ ．证明：在 $\displaystyle (0, \pi)$ 内至少存在两个不同的点 $\displaystyle \xi_{1}, \xi_{2}$ ，使得 $\displaystyle f\left(\xi_{1}\right)=f\left(\xi_{2}\right)$ ．

27．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, \pi]$ 上连续，且在 $\displaystyle x=0$ 处可导，证明：

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\pi} f(x)\left(\frac{1}{2}+\cos x+\cos 2 x+\cdots+\cos n x\right) \mathrm{d} x=\frac{\pi}{2} f(0) \text {. }
$$

30．证明下列命题（Schwarz 不等式的应用）
（1）已知 $\displaystyle f(x) \geqslant 0$ ，在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续， $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=1, k$ 为任意实数．求证：

$$
\left(\int_{a}^{b} f(x) \cos k x \mathrm{~d} x\right)^{2}+\left(\int_{a}^{b} f(x) \sin k x \mathrm{~d} x\right)^{2} \leqslant 1 \text {. }
$$

（2）设 $\displaystyle f(x), g(x), h(x)$ 在区间 $\displaystyle [0,1]$ 上连续， $\displaystyle \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x=1, g^{2}(x)+h^{2}(x)=1$ ．证明：

$$
\left(\int_{0}^{1} f^{2}(x) g(x) \mathrm{d} x\right)^{2}+\left(\int_{0}^{1} f^{2}(x) h(x) \mathrm{d} x\right)^{2} \leqslant 1 . \text { }
$$