三重积分换元法（柱坐标、球坐标）
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第2题计算题
2．计算下列三重积分．
（1） $\displaystyle \iiint_{V}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\alpha} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z, V$ 是实心球 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant R^{2}, \alpha>0$ 。
（2） $\displaystyle \iiint_{V}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 是球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 和圆锥 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 之间的部分．
（3） $\displaystyle \iiint_{V} \sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V: x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 围成的闭区域．
（4） $\displaystyle \iiint_{\Omega} \frac{z \ln \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}+1\right)}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+1} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1$ ．
（5） $\displaystyle \iiint_{V}(x+y+z)^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 是区域 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1$ ．
（6） $\displaystyle \iiint_{\Omega} \frac{\cos \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega: \pi^{2} \leqslant x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 4 \pi^{2}$ ．
（7） $\displaystyle \iiint_{\Omega} \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \mathrm{~d} V$ ，其中 $\displaystyle \Omega: 4 \leqslant x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 16, z \geqslant \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ ．
（8） $\displaystyle \iiint_{\Omega} \frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}+1\right)^{3}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega: x \geqslant 0, y \geqslant 0, z \geqslant 0$ 。
（1） $\displaystyle \iiint_{V}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\alpha} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z, V$ 是实心球 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant R^{2}, \alpha>0$ 。
（2） $\displaystyle \iiint_{V}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 是球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 和圆锥 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 之间的部分．
（3） $\displaystyle \iiint_{V} \sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V: x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 围成的闭区域．
（4） $\displaystyle \iiint_{\Omega} \frac{z \ln \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}+1\right)}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+1} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1$ ．
（5） $\displaystyle \iiint_{V}(x+y+z)^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 是区域 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1$ ．
（6） $\displaystyle \iiint_{\Omega} \frac{\cos \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega: \pi^{2} \leqslant x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 4 \pi^{2}$ ．
（7） $\displaystyle \iiint_{\Omega} \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \mathrm{~d} V$ ，其中 $\displaystyle \Omega: 4 \leqslant x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 16, z \geqslant \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ ．
（8） $\displaystyle \iiint_{\Omega} \frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}+1\right)^{3}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega: x \geqslant 0, y \geqslant 0, z \geqslant 0$ 。
第3题计算题
3．计算下列三重积分．
（1） $\displaystyle \iiint_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 是锥面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}$ 与上半球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=3 a^{2}$ 所围成的区域．
（2） $\displaystyle \iiint_{V}(x+z) \mathrm{d} V$ ，其中 $\displaystyle V$ 由锥面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 与 $\displaystyle z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ 所围成。计量学院 2008，武汉科技 2007，东华大学 2003）
（3） $\displaystyle \iiint_{V} z \mathrm{~d} V$ ，其中 $\displaystyle V$ 由锥面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 与 $\displaystyle z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ 所围成．
（4） $\displaystyle \iiint_{\Omega}\left[(x-1)^{2}+y^{2}+z^{2}\right] \mathrm{d} V$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1$ ．
（5） $\displaystyle \iiint_{V} \mathrm{e}^{|z|} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ 。其中 $\displaystyle V: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1$ ．
（6） $\displaystyle \iiint_{V}\left(x+|y|+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z, ~ V$ 是实心球 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1$ ．
（7） $\displaystyle \iiint_{\Omega}(x-a)^{2} \mathrm{~d} V$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant R^{2}$ ．
（8） $\displaystyle \iiint_{\Omega} z \cos \left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega=\left\{(x, y, z) \mid z \geqslant 0, x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant R^{2}\right\}$ 。电子科技 2005 ，兰州大学2007（ $\displaystyle R=1$ ））
（9） $\displaystyle \iiint_{V}\left(x^{2}-x^{2} y+x y+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 是区域 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1$ ．
分析：由于 $\displaystyle \Omega$ 是球体，被积函数形如 $\displaystyle f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)$ ，故选用球坐标计算，此时 $\displaystyle \mathrm{d} V=r^{2} \sin \varphi \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \varphi \mathrm{~d} \theta$ ，
$$
\iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} V=\iiint_{\Omega} f(r \sin \varphi \cos \theta, r \sin \varphi \sin \theta, r \cos \varphi) r^{2} \sin \varphi \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \varphi \mathrm{~d} \theta
$$
（1） $\displaystyle \iiint_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 是锥面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}$ 与上半球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=3 a^{2}$ 所围成的区域．
（2） $\displaystyle \iiint_{V}(x+z) \mathrm{d} V$ ，其中 $\displaystyle V$ 由锥面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 与 $\displaystyle z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ 所围成。计量学院 2008，武汉科技 2007，东华大学 2003）
（3） $\displaystyle \iiint_{V} z \mathrm{~d} V$ ，其中 $\displaystyle V$ 由锥面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 与 $\displaystyle z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ 所围成．
（4） $\displaystyle \iiint_{\Omega}\left[(x-1)^{2}+y^{2}+z^{2}\right] \mathrm{d} V$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1$ ．
（5） $\displaystyle \iiint_{V} \mathrm{e}^{|z|} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ 。其中 $\displaystyle V: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1$ ．
（6） $\displaystyle \iiint_{V}\left(x+|y|+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z, ~ V$ 是实心球 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1$ ．
（7） $\displaystyle \iiint_{\Omega}(x-a)^{2} \mathrm{~d} V$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant R^{2}$ ．
（8） $\displaystyle \iiint_{\Omega} z \cos \left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega=\left\{(x, y, z) \mid z \geqslant 0, x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant R^{2}\right\}$ 。电子科技 2005 ，兰州大学2007（ $\displaystyle R=1$ ））
（9） $\displaystyle \iiint_{V}\left(x^{2}-x^{2} y+x y+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 是区域 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1$ ．
分析：由于 $\displaystyle \Omega$ 是球体，被积函数形如 $\displaystyle f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)$ ，故选用球坐标计算，此时 $\displaystyle \mathrm{d} V=r^{2} \sin \varphi \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \varphi \mathrm{~d} \theta$ ，
$$
\iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} V=\iiint_{\Omega} f(r \sin \varphi \cos \theta, r \sin \varphi \sin \theta, r \cos \varphi) r^{2} \sin \varphi \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \varphi \mathrm{~d} \theta
$$
第4题计算题
4．计算下列三重积分．
（1） $\displaystyle \iiint_{V} \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 是由 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=z$ 围成的闭区域．
（2） $\displaystyle \iiint_{V}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{5}{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 2 z$ ．
（3） $\displaystyle \iiint_{V} \frac{\mathrm{~d} V}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$ ，其中 $\displaystyle V: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 2 z$ ．
（4） $\displaystyle \iiint_{V}\left(x^{3}+y^{3}+z^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 为曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 a(x+y+z)+2 a^{2}=0(a>0)$ 所围成的闭区域．
（5） $\displaystyle \iiint_{D} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle D$ 为夹在两球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 a z$ 与 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a z$ 之间的部分。（武汉大学 2002，同济大学 2002，湘潭 大学 2007（ $\displaystyle a=2$ ））
（1） $\displaystyle \iiint_{V} \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 是由 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=z$ 围成的闭区域．
（2） $\displaystyle \iiint_{V}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{5}{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 2 z$ ．
（3） $\displaystyle \iiint_{V} \frac{\mathrm{~d} V}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$ ，其中 $\displaystyle V: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 2 z$ ．
（4） $\displaystyle \iiint_{V}\left(x^{3}+y^{3}+z^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 为曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 a(x+y+z)+2 a^{2}=0(a>0)$ 所围成的闭区域．
（5） $\displaystyle \iiint_{D} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle D$ 为夹在两球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 a z$ 与 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a z$ 之间的部分。（武汉大学 2002，同济大学 2002，湘潭 大学 2007（ $\displaystyle a=2$ ））
第5题计算题
5．计算下列三重积分．
（1） $\displaystyle \iiint_{\Omega} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$ 与抛物面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=3 z$ 所围成的立体。
（2） $\displaystyle \iiint_{V} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 由上半球面 $\displaystyle z=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}$ 与抛物面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=3 z$ 围成的立体。（首）都师大 2000）
（3） $\displaystyle \iiint_{\Omega} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 为球面 $\displaystyle \sqrt{2-x^{2}-y^{2}}=z$ 与抛物面 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}$ 所围成的立体．
（4） $\displaystyle \iiint_{\Omega} z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 z$ 与曲面 $\displaystyle z^{2}=x^{2}+y^{2}$ 所围成的立体．
（5） $\displaystyle \iiint_{\Omega} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 z$ 与曲面 $\displaystyle z^{2}=x^{2}+y^{2}$ 所围成的立体．
（6） $\displaystyle \iiint_{\Omega} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z, \Omega: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1, x^{2}+y^{2}+z^{2} \geqslant \frac{1}{2}$ ．
（7） $\displaystyle \iiint_{\Omega} z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant R^{2}$ 与 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 2 R z(R>0)$ 的公共部分．
（8） $\displaystyle \iiint_{V}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 4, x^{2}+y^{2}+(z-2)^{2} \leq 4$ 。
（9） $\displaystyle \iiint_{V} \frac{\mathrm{e}^{z}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} V$ ，其中 $\displaystyle V$ 由 $\displaystyle z=1, z=2$ 与 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 所围成。
（10） $\displaystyle \iiint_{V}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V: x^{2}+y^{2} \leqslant z^{2}, 2 \leqslant z \leqslant 8$ ．
分析：采用＂球面坐标变换＂＂先二重后一重＂的累次积分．
（1） $\displaystyle \iiint_{\Omega} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$ 与抛物面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=3 z$ 所围成的立体。
（2） $\displaystyle \iiint_{V} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 由上半球面 $\displaystyle z=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}$ 与抛物面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=3 z$ 围成的立体。（首）都师大 2000）
（3） $\displaystyle \iiint_{\Omega} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 为球面 $\displaystyle \sqrt{2-x^{2}-y^{2}}=z$ 与抛物面 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}$ 所围成的立体．
（4） $\displaystyle \iiint_{\Omega} z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 z$ 与曲面 $\displaystyle z^{2}=x^{2}+y^{2}$ 所围成的立体．
（5） $\displaystyle \iiint_{\Omega} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 z$ 与曲面 $\displaystyle z^{2}=x^{2}+y^{2}$ 所围成的立体．
（6） $\displaystyle \iiint_{\Omega} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z, \Omega: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1, x^{2}+y^{2}+z^{2} \geqslant \frac{1}{2}$ ．
（7） $\displaystyle \iiint_{\Omega} z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant R^{2}$ 与 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 2 R z(R>0)$ 的公共部分．
（8） $\displaystyle \iiint_{V}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 4, x^{2}+y^{2}+(z-2)^{2} \leq 4$ 。
（9） $\displaystyle \iiint_{V} \frac{\mathrm{e}^{z}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} V$ ，其中 $\displaystyle V$ 由 $\displaystyle z=1, z=2$ 与 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 所围成。
（10） $\displaystyle \iiint_{V}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V: x^{2}+y^{2} \leqslant z^{2}, 2 \leqslant z \leqslant 8$ ．
分析：采用＂球面坐标变换＂＂先二重后一重＂的累次积分．
第6题计算题
6．计算下列三重积分．
（1） $\displaystyle \iiint_{V}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 是由 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=z$ 与平面 $\displaystyle z=4$ 所围成的区域．
（2） $\displaystyle \iiint_{V}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} V$ ，其中 $\displaystyle V$ 由 $\displaystyle z=\frac{1}{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)$ 与 $\displaystyle z=4$ 围成。
（3） $\displaystyle \iiint_{V} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} V$ ，其中 $\displaystyle V: \sqrt{x^{2}+y^{2}} \leqslant z \leqslant 1$ ．
（4） $\displaystyle \iiint_{V}\left(x^{2}+y^{2}+2 z\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 由 $\displaystyle \sqrt{x^{2}+y^{2}} \leqslant z \leqslant 1$ 表示。
（5） $\displaystyle \iiint_{V}\left[(z-y)^{2}+(y-x)^{2}+(x-z)^{2}\right] \mathrm{d} V$ ，其中 $\displaystyle V$ 由 $\displaystyle \sqrt{x^{2}+y^{2}} \leqslant z \leqslant 1$ 表示．
（1） $\displaystyle \iiint_{V}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 是由 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=z$ 与平面 $\displaystyle z=4$ 所围成的区域．
（2） $\displaystyle \iiint_{V}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} V$ ，其中 $\displaystyle V$ 由 $\displaystyle z=\frac{1}{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)$ 与 $\displaystyle z=4$ 围成。
（3） $\displaystyle \iiint_{V} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} V$ ，其中 $\displaystyle V: \sqrt{x^{2}+y^{2}} \leqslant z \leqslant 1$ ．
（4） $\displaystyle \iiint_{V}\left(x^{2}+y^{2}+2 z\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 由 $\displaystyle \sqrt{x^{2}+y^{2}} \leqslant z \leqslant 1$ 表示。
（5） $\displaystyle \iiint_{V}\left[(z-y)^{2}+(y-x)^{2}+(x-z)^{2}\right] \mathrm{d} V$ ，其中 $\displaystyle V$ 由 $\displaystyle \sqrt{x^{2}+y^{2}} \leqslant z \leqslant 1$ 表示．
第7题计算题
7．计算下列三重积分．
（1） $\displaystyle \iiint_{V} x^{2} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} V$ ，其中 $\displaystyle V$ 是由锥面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 与 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}$ 所围成的区域．
（2） $\displaystyle \iiint_{V} \frac{\ln \left(1+\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 是由 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}$ 与 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 所围成的区域．
（3） $\displaystyle \iiint_{V}(x+y+z)^{2} \mathrm{~d} V$ ，其中 $\displaystyle V$ 是由柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 与平面图 $\displaystyle z=-1, z=1$ 所围成的区域．
（4） $\displaystyle \iiint_{V}(x+2 y+3 z)^{2} \mathrm{~d} V$ ，其中 $\displaystyle V: x^{2}+y^{2} \leqslant 1,|z| \leqslant 1$ ．•
（5） $\displaystyle \iiint_{V} z \sqrt{1-y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 由曲面 $\displaystyle z=-\sqrt{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2}=1, z=1$ 所围成。
（6） $\displaystyle \iiint_{V} \frac{\mathrm{~d} V}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$ ，其中 $\displaystyle V: \sqrt{x^{2}+y^{2}} \leqslant z \leqslant 1$ ．
（7） $\displaystyle \iiint_{V} \frac{z}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 是由柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 和锥面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}(z>0)$ 以及平面 $\displaystyle z=h(h>1)$ 所围成的立体。
（8） $\displaystyle \iiint_{V} \frac{1}{x^{2}+y^{2}+1} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 是由抛物面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=4 z$ 与平面 $\displaystyle z=h>0$ 所围成的空间区域。
（9） $\displaystyle \iiint_{V} \frac{(b-x) \mathrm{d} V}{\sqrt{(b-x)^{2}+y^{2}+z^{2}}}$ ，其中 $\displaystyle V: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant a^{2}, \quad b>a>0$ ．
（10） $\displaystyle \iiint_{V} z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 为介于 $\displaystyle \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{4}+z^{2}=1$ 与 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 之间的部分。．
（1） $\displaystyle \iiint_{V} x^{2} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} V$ ，其中 $\displaystyle V$ 是由锥面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 与 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}$ 所围成的区域．
（2） $\displaystyle \iiint_{V} \frac{\ln \left(1+\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 是由 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}$ 与 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 所围成的区域．
（3） $\displaystyle \iiint_{V}(x+y+z)^{2} \mathrm{~d} V$ ，其中 $\displaystyle V$ 是由柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 与平面图 $\displaystyle z=-1, z=1$ 所围成的区域．
（4） $\displaystyle \iiint_{V}(x+2 y+3 z)^{2} \mathrm{~d} V$ ，其中 $\displaystyle V: x^{2}+y^{2} \leqslant 1,|z| \leqslant 1$ ．•
（5） $\displaystyle \iiint_{V} z \sqrt{1-y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 由曲面 $\displaystyle z=-\sqrt{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2}=1, z=1$ 所围成。
（6） $\displaystyle \iiint_{V} \frac{\mathrm{~d} V}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$ ，其中 $\displaystyle V: \sqrt{x^{2}+y^{2}} \leqslant z \leqslant 1$ ．
（7） $\displaystyle \iiint_{V} \frac{z}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 是由柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 和锥面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}(z>0)$ 以及平面 $\displaystyle z=h(h>1)$ 所围成的立体。
（8） $\displaystyle \iiint_{V} \frac{1}{x^{2}+y^{2}+1} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 是由抛物面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=4 z$ 与平面 $\displaystyle z=h>0$ 所围成的空间区域。
（9） $\displaystyle \iiint_{V} \frac{(b-x) \mathrm{d} V}{\sqrt{(b-x)^{2}+y^{2}+z^{2}}}$ ，其中 $\displaystyle V: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant a^{2}, \quad b>a>0$ ．
（10） $\displaystyle \iiint_{V} z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 为介于 $\displaystyle \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{4}+z^{2}=1$ 与 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 之间的部分。．
第8题计算题
8．计算下列三重积分．
（1） $\displaystyle \iiint_{V} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 是由 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 与 $\displaystyle z=0$ 所围成的 $\displaystyle x y$ 面以上部分．
（2） $\displaystyle \iiint_{V} f\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 为椭球体 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} \leqslant 1 .(f(t)=\sqrt{1-t}$ ：郑州大学 2007；$\displaystyle f(t)=t$ ：河南师大 2013，湖北大学 2007，山东大学 2007，河海大学 2006，南京农大 2009，海南师大 2012，陕西师大1997，矿业大学2010，曲阜师大 2009（ $\displaystyle a=b=c=1$ ）；$\displaystyle f(t)=\ln t$ ：广西民大 2010）
（3） $\displaystyle \iiint_{V}\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 为椭球体 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} \leqslant 1$ 在第一卦限的部分．（华中科技
（4） $\displaystyle \iiint_{V}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 为椭球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 的内部区域．
（1） $\displaystyle \iiint_{V} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 是由 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 与 $\displaystyle z=0$ 所围成的 $\displaystyle x y$ 面以上部分．
（2） $\displaystyle \iiint_{V} f\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 为椭球体 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} \leqslant 1 .(f(t)=\sqrt{1-t}$ ：郑州大学 2007；$\displaystyle f(t)=t$ ：河南师大 2013，湖北大学 2007，山东大学 2007，河海大学 2006，南京农大 2009，海南师大 2012，陕西师大1997，矿业大学2010，曲阜师大 2009（ $\displaystyle a=b=c=1$ ）；$\displaystyle f(t)=\ln t$ ：广西民大 2010）
（3） $\displaystyle \iiint_{V}\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 为椭球体 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} \leqslant 1$ 在第一卦限的部分．（华中科技
（4） $\displaystyle \iiint_{V}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 为椭球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 的内部区域．
第9题计算题
9．设 $\displaystyle V$ 是由曲面 $\displaystyle x^{2}+\frac{1}{2}(y-z)^{2}=R^{2}, z=0, z=h$ 所围成的区域，计算下列三重积分．
（1） $\displaystyle \iiint_{V}(y-z) \arctan z \mathrm{~d} V$ 。
（2） $\displaystyle \iiint_{\Omega}(y-z)^{3} \arctan z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ 。
（1） $\displaystyle \iiint_{V}(y-z) \arctan z \mathrm{~d} V$ 。
（2） $\displaystyle \iiint_{\Omega}(y-z)^{3} \arctan z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ 。
第10题计算题
10．计算下列三重积分．
（1） $\displaystyle \iiint_{V} \frac{2 z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} V$ ，其中 $\displaystyle V$ 由平面图形 $\displaystyle D:\left\{(x, y, z) \mid x=0, y \geqslant 0, z \geqslant 0, z^{2}+y^{2} \leqslant 1,2 y-z \leqslant 1\right\}$绕 $\displaystyle z$ 轴旋转一周所生成的立体．
（2） $\displaystyle \iiint_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 由平面曲线 $\displaystyle D:\left\{\begin{array}{l}y^{2}=2 z \\ x=0\end{array}\right.$ 绕 $\displaystyle z$ 轴旋转一周所得的曲面与平面 $\displaystyle z=2, z=8$ 所围成的区域．
（3） $\displaystyle \iiint_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 由平面曲线 $\displaystyle D:\left\{\begin{array}{l}x=0 \\ y^{2}=2 z\end{array}\right.$ 绕 $\displaystyle z$ 轴旋转一周所得的曲面与 $\displaystyle z=4$ 所围成的区域．
（1） $\displaystyle \iiint_{V} \frac{2 z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} V$ ，其中 $\displaystyle V$ 由平面图形 $\displaystyle D:\left\{(x, y, z) \mid x=0, y \geqslant 0, z \geqslant 0, z^{2}+y^{2} \leqslant 1,2 y-z \leqslant 1\right\}$绕 $\displaystyle z$ 轴旋转一周所生成的立体．
（2） $\displaystyle \iiint_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 由平面曲线 $\displaystyle D:\left\{\begin{array}{l}y^{2}=2 z \\ x=0\end{array}\right.$ 绕 $\displaystyle z$ 轴旋转一周所得的曲面与平面 $\displaystyle z=2, z=8$ 所围成的区域．
（3） $\displaystyle \iiint_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 由平面曲线 $\displaystyle D:\left\{\begin{array}{l}x=0 \\ y^{2}=2 z\end{array}\right.$ 绕 $\displaystyle z$ 轴旋转一周所得的曲面与 $\displaystyle z=4$ 所围成的区域．
第11题计算题
11．计算下列三重积分．
（1） $\displaystyle \iiint_{V} x^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 由曲面 $\displaystyle z=a y^{2}, z=b y^{2}, y>0,0<a<b, z=\alpha x, z=\beta x, 0<\alpha<\beta$ ， $\displaystyle z=h(h>0)$ 所围成。
（2） $\displaystyle \iiint_{\Omega} x y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 位于第一象限且由曲面 $\displaystyle z=p\left(x^{2}+y^{2}\right), z=q\left(x^{2}+y^{2}\right), x y=a$ ， $\displaystyle x y=b, y=\alpha x, y=\beta x$ 所围成。这里 $\displaystyle 0<p<q, 0<a<b, 0<\alpha<\beta$ ．
（3） $\displaystyle \iiint_{\Omega}(x+y-z)(x-y+z)(y+z-x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega=\{(x, y, z) \mid 0 \leqslant x+y-z \leqslant 10,0 \leqslant x-y+z \leqslant 10$ ， $\displaystyle 0 \leqslant y+z-x \leqslant 10\}$ ．
（1） $\displaystyle \iiint_{V} x^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 由曲面 $\displaystyle z=a y^{2}, z=b y^{2}, y>0,0<a<b, z=\alpha x, z=\beta x, 0<\alpha<\beta$ ， $\displaystyle z=h(h>0)$ 所围成。
（2） $\displaystyle \iiint_{\Omega} x y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 位于第一象限且由曲面 $\displaystyle z=p\left(x^{2}+y^{2}\right), z=q\left(x^{2}+y^{2}\right), x y=a$ ， $\displaystyle x y=b, y=\alpha x, y=\beta x$ 所围成。这里 $\displaystyle 0<p<q, 0<a<b, 0<\alpha<\beta$ ．
（3） $\displaystyle \iiint_{\Omega}(x+y-z)(x-y+z)(y+z-x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega=\{(x, y, z) \mid 0 \leqslant x+y-z \leqslant 10,0 \leqslant x-y+z \leqslant 10$ ， $\displaystyle 0 \leqslant y+z-x \leqslant 10\}$ ．
第13题未分类
13．化下列积分为累次积分．
（1）将积分 $\displaystyle \iiint_{V} f(x, y, z) \mathrm{d} V$ 分别用直角坐标、柱面坐标和球面坐标表示为一个逐次积分，其中 $\displaystyle V$ 是由 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}, z=0$ 与 $\displaystyle z=1$ 所围成的区域．
（2）将积分 $\displaystyle \iiint_{\Omega} f\left(x^{2}+y^{2}, z\right) \mathrm{d} V$ 化为：（1）直角坐标，（2）柱面坐标，（3）球面坐标下的三次积分，其中 $\displaystyle \Omega$ 是由 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 2 a z(a>0)$ 所围成的立体。
（1）将积分 $\displaystyle \iiint_{V} f(x, y, z) \mathrm{d} V$ 分别用直角坐标、柱面坐标和球面坐标表示为一个逐次积分，其中 $\displaystyle V$ 是由 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}, z=0$ 与 $\displaystyle z=1$ 所围成的区域．
（2）将积分 $\displaystyle \iiint_{\Omega} f\left(x^{2}+y^{2}, z\right) \mathrm{d} V$ 化为：（1）直角坐标，（2）柱面坐标，（3）球面坐标下的三次积分，其中 $\displaystyle \Omega$ 是由 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 2 a z(a>0)$ 所围成的立体。
第16题求解题
16．设 $\displaystyle S$ 为锥 面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 介于 $\displaystyle z=1$ 和 $\displaystyle z=2$ 之 间 外 侧 表 面，求 曲 面 积 分 $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
第19题求解题
19．设 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=z$ 介于 $\displaystyle z=0$ 和 $\displaystyle z=1$ 之间的曲面的外侧，求下列第二型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S}\left(z^{2}+x\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(x^{2}+y\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(y^{2}+z\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{S} 2 x y \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x-x^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。
（3） $\displaystyle \iint_{S} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。
（4） $\displaystyle \iint_{S} y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+(y+z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（1） $\displaystyle \iint_{S}\left(z^{2}+x\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(x^{2}+y\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(y^{2}+z\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{S} 2 x y \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x-x^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。
（3） $\displaystyle \iint_{S} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。
（4） $\displaystyle \iint_{S} y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+(y+z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
第20题求解题
20．求下列第二型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S}(2 x+z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为曲面 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2},(0 \leqslant z \leqslant 1)$ 取上侧。华东师大 2004 ，四川大学 2010，太原科技 2008，东南大学 2007，西安电子科技 2003／2006）
（2） $\displaystyle \iint_{S} 4 z x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-2 z y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(1-z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}(0 \leqslant z \leqslant 2)$ 上侧。中山大学 2014）
（3） $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, S$ 为曲面 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}$ 在第一卦限部分 $\displaystyle (0 \leqslant z \leqslant 1)$ 的上侧。徐州师大 2010，安徽大学 2007）
（1） $\displaystyle \iint_{S}(2 x+z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为曲面 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2},(0 \leqslant z \leqslant 1)$ 取上侧。华东师大 2004 ，四川大学 2010，太原科技 2008，东南大学 2007，西安电子科技 2003／2006）
（2） $\displaystyle \iint_{S} 4 z x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-2 z y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(1-z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}(0 \leqslant z \leqslant 2)$ 上侧。中山大学 2014）
（3） $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, S$ 为曲面 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}$ 在第一卦限部分 $\displaystyle (0 \leqslant z \leqslant 1)$ 的上侧。徐州师大 2010，安徽大学 2007）
第21题求解题
21．由曲面 $\displaystyle z=\sqrt{2-x^{2}-y^{2}}$ 与 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 围成一立体，其体密度为 $\displaystyle \mu=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ ，求此立体的质量 $\displaystyle M$ ．
第21题求解题
21．求下列第二型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\left(x^{2} y-1\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(2 x-x^{2} z\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 是曲面 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}+1$ 被平面 $\displaystyle z=2$ 所截得的一块曲面的下侧．
（2） $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}-1$ 在 $\displaystyle z \leqslant 0$ 部分的下侧．
（3） $\displaystyle \iint_{S}(2 x-y) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(2 y-2 z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} z+(2 z-3 x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 是 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}, 0 \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 4$ ，方向取外侧。
（4） $\displaystyle \iint_{\Sigma} y z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\left(x^{2}+z^{2}\right) y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle \Sigma$ 为曲面 $\displaystyle 4-y=x^{2}+z^{2}$ 在 $\displaystyle x O z$ 平面的的右侧部分的外侧．
（5） $\displaystyle \iint_{S} x y^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y z^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z x^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 由曲面 $\displaystyle y=z^{2}+x^{2}$ 与平面图形 $\displaystyle y=1, y=2$ 围成的有界闭区域的边界外侧．
（6） $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle y=x^{2}+z^{2}\left(0 \leqslant y \leqslant h^{2}\right)$ 左侧．
（1） $\displaystyle \iint_{S} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\left(x^{2} y-1\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(2 x-x^{2} z\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 是曲面 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}+1$ 被平面 $\displaystyle z=2$ 所截得的一块曲面的下侧．
（2） $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}-1$ 在 $\displaystyle z \leqslant 0$ 部分的下侧．
（3） $\displaystyle \iint_{S}(2 x-y) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(2 y-2 z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} z+(2 z-3 x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 是 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}, 0 \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 4$ ，方向取外侧。
（4） $\displaystyle \iint_{\Sigma} y z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\left(x^{2}+z^{2}\right) y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle \Sigma$ 为曲面 $\displaystyle 4-y=x^{2}+z^{2}$ 在 $\displaystyle x O z$ 平面的的右侧部分的外侧．
（5） $\displaystyle \iint_{S} x y^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y z^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z x^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 由曲面 $\displaystyle y=z^{2}+x^{2}$ 与平面图形 $\displaystyle y=1, y=2$ 围成的有界闭区域的边界外侧．
（6） $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle y=x^{2}+z^{2}\left(0 \leqslant y \leqslant h^{2}\right)$ 左侧．
第22题求解题
22．设地球是半径为 $\displaystyle R$ 的圆球，地面上（即地球上空）距地球中心 $\displaystyle r(r \geqslant R)$ 处空气密度 $\displaystyle \rho(r)=\rho_{0} \mathrm{e}^{k\left(1-\frac{r}{R}\right)},\left(\rho_{0}, k\right.$ 为正常数），求地球上空空气质量。中科院 2007）
第23题证明题
23．设 $\displaystyle B_{r}\left(M_{0}\right)$ 是以 $\displaystyle M_{0}=\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 为心，$\displaystyle r$ 为半径的球，$\displaystyle \partial B_{r}\left(M_{0}\right)$ 是以 $\displaystyle M_{0}$ 为心，$\displaystyle r$ 为半径的球面，$\displaystyle f(x, y, z)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}^{3}$ 上连续，证明：$\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} r} \iiint_{B_{r}\left(M_{0}\right)} f(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\oiint_{\partial B_{r}\left(M_{0}\right)} f(x, y, z) \mathrm{d} S$ 。
第23题求解题
23．设 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle z=5-x^{2}-y^{2}$ 在 $\displaystyle z \geqslant 1$ 的部分取外侧，求第二型曲面积分
（1） $\displaystyle \iint_{S} y(x-z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+x^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(y^{2}+z x\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（2） $\displaystyle \iint_{S}(x-z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(y-x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} z+(z-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
（1） $\displaystyle \iint_{S} y(x-z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+x^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(y^{2}+z x\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（2） $\displaystyle \iint_{S}(x-z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(y-x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} z+(z-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
第24题求解题
24．求下列导数或极限．
（1）若 $\displaystyle F(t)=\iiint_{V} f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle f$ 是可微函数，积分区域 $\displaystyle V$ 由闭曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=t^{2}$ 所围成。（1）求 $\displaystyle F^{\prime}(t)$ ；（2）若 $\displaystyle f(0)=0$ ，求 $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0^{+}} t^{-5} F(t)$ ．
（2）求 $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{t^{4}} \iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2}<t^{2}} f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ 。其中 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，$\displaystyle f(0)=0, f^{\prime}(0)=1$ ．
（3）设函数 $\displaystyle f(r)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续可导，且 $\displaystyle f(0)=0$ ，积分区域 $\displaystyle V: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant r^{2}$ ．试求：
$$
\lim _{r \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{r^{3}} \iiint_{V} f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}, \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, \sin \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z . }
$$
（4）设 $\displaystyle F(t)=\iiint_{\Omega} f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 为空间区域 $\displaystyle x^{2}+y^{2} \leqslant z^{2} \leqslant t^{2}, f(t)$ 为连续函数，求 $\displaystyle F^{\prime}(t)$ ．
（5）设 $\displaystyle f(t)$ 为连续函数，$\displaystyle \Omega$ 为空间区域 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2} \leqslant t^{2}, \\ 0 \leqslant z \leqslant 1,\end{array} F(t)=\iiint_{\Omega}\left(z^{2}+f\left(x^{2}+y^{2}\right)\right) \mathrm{d} V\right.$ ，求 $\displaystyle F^{\prime}(t)$ ．
（6）设 $\displaystyle f(t)$ 为连续函数，$\displaystyle f(0)=0, \Omega: 0 \leqslant z \leqslant h, x^{2}+y^{2} \leqslant t^{2}(t>0), F(t)=\iiint_{\Omega}\left(z^{2}+f\left(x^{2}+y^{2}\right)\right) \mathrm{d} V$ ，求 $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{F(t)}{t^{2}}$ ．
（1）若 $\displaystyle F(t)=\iiint_{V} f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle f$ 是可微函数，积分区域 $\displaystyle V$ 由闭曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=t^{2}$ 所围成。（1）求 $\displaystyle F^{\prime}(t)$ ；（2）若 $\displaystyle f(0)=0$ ，求 $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0^{+}} t^{-5} F(t)$ ．
（2）求 $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{t^{4}} \iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2}<t^{2}} f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ 。其中 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，$\displaystyle f(0)=0, f^{\prime}(0)=1$ ．
（3）设函数 $\displaystyle f(r)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续可导，且 $\displaystyle f(0)=0$ ，积分区域 $\displaystyle V: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant r^{2}$ ．试求：
$$
\lim _{r \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{r^{3}} \iiint_{V} f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}, \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, \sin \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z . }
$$
（4）设 $\displaystyle F(t)=\iiint_{\Omega} f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 为空间区域 $\displaystyle x^{2}+y^{2} \leqslant z^{2} \leqslant t^{2}, f(t)$ 为连续函数，求 $\displaystyle F^{\prime}(t)$ ．
（5）设 $\displaystyle f(t)$ 为连续函数，$\displaystyle \Omega$ 为空间区域 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2} \leqslant t^{2}, \\ 0 \leqslant z \leqslant 1,\end{array} F(t)=\iiint_{\Omega}\left(z^{2}+f\left(x^{2}+y^{2}\right)\right) \mathrm{d} V\right.$ ，求 $\displaystyle F^{\prime}(t)$ ．
（6）设 $\displaystyle f(t)$ 为连续函数，$\displaystyle f(0)=0, \Omega: 0 \leqslant z \leqslant h, x^{2}+y^{2} \leqslant t^{2}(t>0), F(t)=\iiint_{\Omega}\left(z^{2}+f\left(x^{2}+y^{2}\right)\right) \mathrm{d} V$ ，求 $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{F(t)}{t^{2}}$ ．
第24题求解题
24．求下列第二型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} y+(z+1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle z=2-x^{2}-y^{2}(z \geqslant 0)$ 部分的上侧．
（2） $\displaystyle \iint_{S} 2 x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+2 y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+3\left(z^{2}-1\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为曲面 $\displaystyle z=1-x^{2}-y^{2}(z \geqslant 0)$ 的上侧．
（3） $\displaystyle \iint_{S}\left(y^{2}-x\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(z^{2}-y\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(x^{2}-z\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle z=2-x^{2}-y^{2}$ 上 $\displaystyle 1 \leqslant z \leqslant 2$ 部分的上侧．
（4） $\displaystyle \iint_{S} y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y+x z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y x \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle z=2-x^{2}-y^{2}$ 与平面 $\displaystyle z=0$ 所围成的闭曲面的外侧．
（5） $\displaystyle \iint_{S} y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y+z x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+x y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x$ ，其中 $\displaystyle S$ 为由 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ ，三个坐标面及 $\displaystyle z=2-x^{2}-y^{2}(z \geqslant 0)$ 所围立体在第一卦限部分的外侧．
（1） $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} y+(z+1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle z=2-x^{2}-y^{2}(z \geqslant 0)$ 部分的上侧．
（2） $\displaystyle \iint_{S} 2 x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+2 y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+3\left(z^{2}-1\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为曲面 $\displaystyle z=1-x^{2}-y^{2}(z \geqslant 0)$ 的上侧．
（3） $\displaystyle \iint_{S}\left(y^{2}-x\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(z^{2}-y\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(x^{2}-z\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle z=2-x^{2}-y^{2}$ 上 $\displaystyle 1 \leqslant z \leqslant 2$ 部分的上侧．
（4） $\displaystyle \iint_{S} y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y+x z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y x \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle z=2-x^{2}-y^{2}$ 与平面 $\displaystyle z=0$ 所围成的闭曲面的外侧．
（5） $\displaystyle \iint_{S} y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y+z x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+x y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x$ ，其中 $\displaystyle S$ 为由 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ ，三个坐标面及 $\displaystyle z=2-x^{2}-y^{2}(z \geqslant 0)$ 所围立体在第一卦限部分的外侧．
第25题证明题
25．证明下列各题．
（1）设连续函数 $\displaystyle f(x)$ 满足 $\displaystyle f(1)=1$ ，记 $\displaystyle F(t)=\iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant t^{2}} f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，证明：$\displaystyle F^{\prime}(1)=4 \pi$ ．
（2）设 $\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle [0, \infty)$ 上有连续导数，并且 $\displaystyle \varphi(0)=1$ ，令 $\displaystyle f(r)=\iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2}<r^{2}} \varphi\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ， $\displaystyle (r \geqslant 0)$ ，证明 $\displaystyle f(r)$ 在 $\displaystyle r=0$ 处三次可微，并求 $\displaystyle f^{\prime \prime \prime}(0)$ 的右导数．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 连续且恒大于 $\displaystyle 0, F(t)=\frac{\iiint_{\Omega(t)} f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} V}{\iint_{D(t)} f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma}$ ，其中 $\displaystyle \Omega(t)=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant t^{2}\right\}$ ， $\displaystyle D(t)=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant t^{2}\right\}$ ．证明：（1） $\displaystyle \iiint_{\Omega} f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} V=4 \pi \int_{0}^{t} f\left(r^{2}\right) r^{2} \mathrm{~d} r$ ；（2）$\displaystyle F(t)$ 是区间 $\displaystyle (0,+\infty)$上的单调函数．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上的正值连续函数，$\displaystyle \varphi(t)=\frac{\iint_{x^{2}+y^{2}=t^{2}} f(z) \mathrm{d} S}{\iint_{x^{2}+y^{2}<t^{2}} f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y}$ ．证明：$\displaystyle \varphi(t)$ 是区间 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上严格单调增加的连续函数．
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 是连续正值函数，$\displaystyle F(t)=\frac{\iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2}<t^{2}} f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z}{\iint_{x^{2}+y^{2}<t^{2}}\left(x^{2}+y^{2}\right) f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y}$ ．证明：$\displaystyle F(t)(t>0)$ 是严格单调减函数．
（6）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty, \infty)$ 上连续且恒大于零，$\displaystyle F(t)=\frac{\iiint_{\Omega(t)} f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} V}{\iint_{D(t)} f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma}$ ， $\displaystyle G(t)=\frac{\iint_{D(t)} f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma}{\int_{-t}^{t} f\left(x^{2}\right) \mathrm{d} x}$ ，其中 $\displaystyle \Omega(t)=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant t^{2}\right\}, D(t)=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant t^{2}\right\}$ ．讨论 $\displaystyle F(t)$ 在区间 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内的单调性，并证明当 $\displaystyle t>0$ 时，$\displaystyle F(t)>\frac{2}{\pi} G(t)$ ．
（1）设连续函数 $\displaystyle f(x)$ 满足 $\displaystyle f(1)=1$ ，记 $\displaystyle F(t)=\iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant t^{2}} f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，证明：$\displaystyle F^{\prime}(1)=4 \pi$ ．
（2）设 $\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle [0, \infty)$ 上有连续导数，并且 $\displaystyle \varphi(0)=1$ ，令 $\displaystyle f(r)=\iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2}<r^{2}} \varphi\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ， $\displaystyle (r \geqslant 0)$ ，证明 $\displaystyle f(r)$ 在 $\displaystyle r=0$ 处三次可微，并求 $\displaystyle f^{\prime \prime \prime}(0)$ 的右导数．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 连续且恒大于 $\displaystyle 0, F(t)=\frac{\iiint_{\Omega(t)} f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} V}{\iint_{D(t)} f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma}$ ，其中 $\displaystyle \Omega(t)=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant t^{2}\right\}$ ， $\displaystyle D(t)=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant t^{2}\right\}$ ．证明：（1） $\displaystyle \iiint_{\Omega} f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} V=4 \pi \int_{0}^{t} f\left(r^{2}\right) r^{2} \mathrm{~d} r$ ；（2）$\displaystyle F(t)$ 是区间 $\displaystyle (0,+\infty)$上的单调函数．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上的正值连续函数，$\displaystyle \varphi(t)=\frac{\iint_{x^{2}+y^{2}=t^{2}} f(z) \mathrm{d} S}{\iint_{x^{2}+y^{2}<t^{2}} f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y}$ ．证明：$\displaystyle \varphi(t)$ 是区间 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上严格单调增加的连续函数．
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 是连续正值函数，$\displaystyle F(t)=\frac{\iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2}<t^{2}} f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z}{\iint_{x^{2}+y^{2}<t^{2}}\left(x^{2}+y^{2}\right) f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y}$ ．证明：$\displaystyle F(t)(t>0)$ 是严格单调减函数．
（6）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty, \infty)$ 上连续且恒大于零，$\displaystyle F(t)=\frac{\iiint_{\Omega(t)} f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} V}{\iint_{D(t)} f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma}$ ， $\displaystyle G(t)=\frac{\iint_{D(t)} f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma}{\int_{-t}^{t} f\left(x^{2}\right) \mathrm{d} x}$ ，其中 $\displaystyle \Omega(t)=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant t^{2}\right\}, D(t)=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant t^{2}\right\}$ ．讨论 $\displaystyle F(t)$ 在区间 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内的单调性，并证明当 $\displaystyle t>0$ 时，$\displaystyle F(t)>\frac{2}{\pi} G(t)$ ．
第25题求解题
25．求下列第二型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S} x z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y z \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 和 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 a^{2}$ ，锥
面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 所围成的立体表面的外侧．
（2） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\left(\frac{y}{z^{2}}+y^{3}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(\frac{1}{z}+z^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 由 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ ，球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 及 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$ 围成立体的表面外侧．
（3） $\displaystyle \iint_{S} y^{2} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y+x z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+x^{2} y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}, x^{2}+y^{2}=1$ 和坐标面在第一挂限所围成曲面的外侧．
（1） $\displaystyle \iint_{S} x z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y z \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 和 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 a^{2}$ ，锥
面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 所围成的立体表面的外侧．
（2） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\left(\frac{y}{z^{2}}+y^{3}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(\frac{1}{z}+z^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 由 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ ，球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 及 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$ 围成立体的表面外侧．
（3） $\displaystyle \iint_{S} y^{2} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y+x z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+x^{2} y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}, x^{2}+y^{2}=1$ 和坐标面在第一挂限所围成曲面的外侧．
第26题求解题
26．设 $\displaystyle S$ 是曲线 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}z=\mathrm{e}^{y} \\ x=0\end{array}(0<y<a)\right.$ 绕 $\displaystyle z$ 轴旋转而成的曲面的下侧，求下列第二型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S} 4 z x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-2 y z \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(z-z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（2） $\displaystyle \iint_{S} 4 z x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-2 z y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(1-z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
（3） $\displaystyle \iint_{S}\left(y^{2}-3 z x\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+z y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(z^{2}-1\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
（4） $\displaystyle \iint_{S} 4 z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-2 z y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(1-z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
（1） $\displaystyle \iint_{S} 4 z x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-2 y z \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(z-z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（2） $\displaystyle \iint_{S} 4 z x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-2 z y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(1-z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
（3） $\displaystyle \iint_{S}\left(y^{2}-3 z x\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+z y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(z^{2}-1\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
（4） $\displaystyle \iint_{S} 4 z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-2 z y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(1-z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
第37题求解题
37．求下列第二型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S} x z^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y z^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为两个球 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant R^{2}, x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 2 R x$ 的公共
部分表面的外侧。
（2） $\displaystyle \iint_{S} y^{2} z^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+z^{2} x^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+x^{2} y^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为一个光滑凸曲面的上侧，它的边界为平面 $\displaystyle z=0$ 上的椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ ．
（3） $\displaystyle \iint_{S}-y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+(z+1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 是圆柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=4$ 被平面 $\displaystyle x+z=2$ 和 $\displaystyle z=0$ 所截出的部分的外侧．
（1） $\displaystyle \iint_{S} x z^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y z^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为两个球 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant R^{2}, x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 2 R x$ 的公共
部分表面的外侧。
（2） $\displaystyle \iint_{S} y^{2} z^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+z^{2} x^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+x^{2} y^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为一个光滑凸曲面的上侧，它的边界为平面 $\displaystyle z=0$ 上的椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ ．
（3） $\displaystyle \iint_{S}-y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+(z+1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 是圆柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=4$ 被平面 $\displaystyle x+z=2$ 和 $\displaystyle z=0$ 所截出的部分的外侧．
第42题求解题
42．求第二型曲面积分 $\displaystyle \iint_{S} \frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\left(x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y\right)$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 的外侧．