三重积分的概念
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第3题计算题
3．计算下列三重积分．
（1） $\displaystyle \iiint_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 是锥面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}$ 与上半球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=3 a^{2}$ 所围成的区域．
（2） $\displaystyle \iiint_{V}(x+z) \mathrm{d} V$ ，其中 $\displaystyle V$ 由锥面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 与 $\displaystyle z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ 所围成。计量学院 2008，武汉科技 2007，东华大学 2003）
（3） $\displaystyle \iiint_{V} z \mathrm{~d} V$ ，其中 $\displaystyle V$ 由锥面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 与 $\displaystyle z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ 所围成．
（4） $\displaystyle \iiint_{\Omega}\left[(x-1)^{2}+y^{2}+z^{2}\right] \mathrm{d} V$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1$ ．
（5） $\displaystyle \iiint_{V} \mathrm{e}^{|z|} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ 。其中 $\displaystyle V: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1$ ．
（6） $\displaystyle \iiint_{V}\left(x+|y|+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z, ~ V$ 是实心球 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1$ ．
（7） $\displaystyle \iiint_{\Omega}(x-a)^{2} \mathrm{~d} V$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant R^{2}$ ．
（8） $\displaystyle \iiint_{\Omega} z \cos \left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega=\left\{(x, y, z) \mid z \geqslant 0, x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant R^{2}\right\}$ 。电子科技 2005 ，兰州大学2007（ $\displaystyle R=1$ ））
（9） $\displaystyle \iiint_{V}\left(x^{2}-x^{2} y+x y+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 是区域 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1$ ．
分析：由于 $\displaystyle \Omega$ 是球体，被积函数形如 $\displaystyle f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)$ ，故选用球坐标计算，此时 $\displaystyle \mathrm{d} V=r^{2} \sin \varphi \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \varphi \mathrm{~d} \theta$ ，
$$
\iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} V=\iiint_{\Omega} f(r \sin \varphi \cos \theta, r \sin \varphi \sin \theta, r \cos \varphi) r^{2} \sin \varphi \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \varphi \mathrm{~d} \theta
$$
（1） $\displaystyle \iiint_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 是锥面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}$ 与上半球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=3 a^{2}$ 所围成的区域．
（2） $\displaystyle \iiint_{V}(x+z) \mathrm{d} V$ ，其中 $\displaystyle V$ 由锥面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 与 $\displaystyle z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ 所围成。计量学院 2008，武汉科技 2007，东华大学 2003）
（3） $\displaystyle \iiint_{V} z \mathrm{~d} V$ ，其中 $\displaystyle V$ 由锥面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 与 $\displaystyle z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ 所围成．
（4） $\displaystyle \iiint_{\Omega}\left[(x-1)^{2}+y^{2}+z^{2}\right] \mathrm{d} V$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1$ ．
（5） $\displaystyle \iiint_{V} \mathrm{e}^{|z|} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ 。其中 $\displaystyle V: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1$ ．
（6） $\displaystyle \iiint_{V}\left(x+|y|+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z, ~ V$ 是实心球 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1$ ．
（7） $\displaystyle \iiint_{\Omega}(x-a)^{2} \mathrm{~d} V$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant R^{2}$ ．
（8） $\displaystyle \iiint_{\Omega} z \cos \left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega=\left\{(x, y, z) \mid z \geqslant 0, x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant R^{2}\right\}$ 。电子科技 2005 ，兰州大学2007（ $\displaystyle R=1$ ））
（9） $\displaystyle \iiint_{V}\left(x^{2}-x^{2} y+x y+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 是区域 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1$ ．
分析：由于 $\displaystyle \Omega$ 是球体，被积函数形如 $\displaystyle f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)$ ，故选用球坐标计算，此时 $\displaystyle \mathrm{d} V=r^{2} \sin \varphi \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \varphi \mathrm{~d} \theta$ ，
$$
\iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} V=\iiint_{\Omega} f(r \sin \varphi \cos \theta, r \sin \varphi \sin \theta, r \cos \varphi) r^{2} \sin \varphi \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \varphi \mathrm{~d} \theta
$$
第6题计算题
6．计算下列三重积分．
（1） $\displaystyle \iiint_{V}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 是由 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=z$ 与平面 $\displaystyle z=4$ 所围成的区域．
（2） $\displaystyle \iiint_{V}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} V$ ，其中 $\displaystyle V$ 由 $\displaystyle z=\frac{1}{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)$ 与 $\displaystyle z=4$ 围成。
（3） $\displaystyle \iiint_{V} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} V$ ，其中 $\displaystyle V: \sqrt{x^{2}+y^{2}} \leqslant z \leqslant 1$ ．
（4） $\displaystyle \iiint_{V}\left(x^{2}+y^{2}+2 z\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 由 $\displaystyle \sqrt{x^{2}+y^{2}} \leqslant z \leqslant 1$ 表示。
（5） $\displaystyle \iiint_{V}\left[(z-y)^{2}+(y-x)^{2}+(x-z)^{2}\right] \mathrm{d} V$ ，其中 $\displaystyle V$ 由 $\displaystyle \sqrt{x^{2}+y^{2}} \leqslant z \leqslant 1$ 表示．
（1） $\displaystyle \iiint_{V}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 是由 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=z$ 与平面 $\displaystyle z=4$ 所围成的区域．
（2） $\displaystyle \iiint_{V}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} V$ ，其中 $\displaystyle V$ 由 $\displaystyle z=\frac{1}{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)$ 与 $\displaystyle z=4$ 围成。
（3） $\displaystyle \iiint_{V} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} V$ ，其中 $\displaystyle V: \sqrt{x^{2}+y^{2}} \leqslant z \leqslant 1$ ．
（4） $\displaystyle \iiint_{V}\left(x^{2}+y^{2}+2 z\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 由 $\displaystyle \sqrt{x^{2}+y^{2}} \leqslant z \leqslant 1$ 表示。
（5） $\displaystyle \iiint_{V}\left[(z-y)^{2}+(y-x)^{2}+(x-z)^{2}\right] \mathrm{d} V$ ，其中 $\displaystyle V$ 由 $\displaystyle \sqrt{x^{2}+y^{2}} \leqslant z \leqslant 1$ 表示．
第7题计算题
7．计算下列三重积分．
（1） $\displaystyle \iiint_{V} x^{2} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} V$ ，其中 $\displaystyle V$ 是由锥面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 与 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}$ 所围成的区域．
（2） $\displaystyle \iiint_{V} \frac{\ln \left(1+\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 是由 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}$ 与 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 所围成的区域．
（3） $\displaystyle \iiint_{V}(x+y+z)^{2} \mathrm{~d} V$ ，其中 $\displaystyle V$ 是由柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 与平面图 $\displaystyle z=-1, z=1$ 所围成的区域．
（4） $\displaystyle \iiint_{V}(x+2 y+3 z)^{2} \mathrm{~d} V$ ，其中 $\displaystyle V: x^{2}+y^{2} \leqslant 1,|z| \leqslant 1$ ．•
（5） $\displaystyle \iiint_{V} z \sqrt{1-y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 由曲面 $\displaystyle z=-\sqrt{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2}=1, z=1$ 所围成。
（6） $\displaystyle \iiint_{V} \frac{\mathrm{~d} V}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$ ，其中 $\displaystyle V: \sqrt{x^{2}+y^{2}} \leqslant z \leqslant 1$ ．
（7） $\displaystyle \iiint_{V} \frac{z}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 是由柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 和锥面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}(z>0)$ 以及平面 $\displaystyle z=h(h>1)$ 所围成的立体。
（8） $\displaystyle \iiint_{V} \frac{1}{x^{2}+y^{2}+1} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 是由抛物面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=4 z$ 与平面 $\displaystyle z=h>0$ 所围成的空间区域。
（9） $\displaystyle \iiint_{V} \frac{(b-x) \mathrm{d} V}{\sqrt{(b-x)^{2}+y^{2}+z^{2}}}$ ，其中 $\displaystyle V: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant a^{2}, \quad b>a>0$ ．
（10） $\displaystyle \iiint_{V} z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 为介于 $\displaystyle \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{4}+z^{2}=1$ 与 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 之间的部分。．
（1） $\displaystyle \iiint_{V} x^{2} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} V$ ，其中 $\displaystyle V$ 是由锥面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 与 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}$ 所围成的区域．
（2） $\displaystyle \iiint_{V} \frac{\ln \left(1+\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 是由 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}$ 与 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 所围成的区域．
（3） $\displaystyle \iiint_{V}(x+y+z)^{2} \mathrm{~d} V$ ，其中 $\displaystyle V$ 是由柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 与平面图 $\displaystyle z=-1, z=1$ 所围成的区域．
（4） $\displaystyle \iiint_{V}(x+2 y+3 z)^{2} \mathrm{~d} V$ ，其中 $\displaystyle V: x^{2}+y^{2} \leqslant 1,|z| \leqslant 1$ ．•
（5） $\displaystyle \iiint_{V} z \sqrt{1-y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 由曲面 $\displaystyle z=-\sqrt{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2}=1, z=1$ 所围成。
（6） $\displaystyle \iiint_{V} \frac{\mathrm{~d} V}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$ ，其中 $\displaystyle V: \sqrt{x^{2}+y^{2}} \leqslant z \leqslant 1$ ．
（7） $\displaystyle \iiint_{V} \frac{z}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 是由柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 和锥面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}(z>0)$ 以及平面 $\displaystyle z=h(h>1)$ 所围成的立体。
（8） $\displaystyle \iiint_{V} \frac{1}{x^{2}+y^{2}+1} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 是由抛物面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=4 z$ 与平面 $\displaystyle z=h>0$ 所围成的空间区域。
（9） $\displaystyle \iiint_{V} \frac{(b-x) \mathrm{d} V}{\sqrt{(b-x)^{2}+y^{2}+z^{2}}}$ ，其中 $\displaystyle V: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant a^{2}, \quad b>a>0$ ．
（10） $\displaystyle \iiint_{V} z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 为介于 $\displaystyle \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{4}+z^{2}=1$ 与 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 之间的部分。．
第9题计算题
9．设 $\displaystyle V$ 是由曲面 $\displaystyle x^{2}+\frac{1}{2}(y-z)^{2}=R^{2}, z=0, z=h$ 所围成的区域，计算下列三重积分．
（1） $\displaystyle \iiint_{V}(y-z) \arctan z \mathrm{~d} V$ 。
（2） $\displaystyle \iiint_{\Omega}(y-z)^{3} \arctan z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ 。
（1） $\displaystyle \iiint_{V}(y-z) \arctan z \mathrm{~d} V$ 。
（2） $\displaystyle \iiint_{\Omega}(y-z)^{3} \arctan z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ 。
第10题计算题
10．计算下列三重积分．
（1） $\displaystyle \iiint_{V} \frac{2 z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} V$ ，其中 $\displaystyle V$ 由平面图形 $\displaystyle D:\left\{(x, y, z) \mid x=0, y \geqslant 0, z \geqslant 0, z^{2}+y^{2} \leqslant 1,2 y-z \leqslant 1\right\}$绕 $\displaystyle z$ 轴旋转一周所生成的立体．
（2） $\displaystyle \iiint_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 由平面曲线 $\displaystyle D:\left\{\begin{array}{l}y^{2}=2 z \\ x=0\end{array}\right.$ 绕 $\displaystyle z$ 轴旋转一周所得的曲面与平面 $\displaystyle z=2, z=8$ 所围成的区域．
（3） $\displaystyle \iiint_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 由平面曲线 $\displaystyle D:\left\{\begin{array}{l}x=0 \\ y^{2}=2 z\end{array}\right.$ 绕 $\displaystyle z$ 轴旋转一周所得的曲面与 $\displaystyle z=4$ 所围成的区域．
（1） $\displaystyle \iiint_{V} \frac{2 z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} V$ ，其中 $\displaystyle V$ 由平面图形 $\displaystyle D:\left\{(x, y, z) \mid x=0, y \geqslant 0, z \geqslant 0, z^{2}+y^{2} \leqslant 1,2 y-z \leqslant 1\right\}$绕 $\displaystyle z$ 轴旋转一周所生成的立体．
（2） $\displaystyle \iiint_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 由平面曲线 $\displaystyle D:\left\{\begin{array}{l}y^{2}=2 z \\ x=0\end{array}\right.$ 绕 $\displaystyle z$ 轴旋转一周所得的曲面与平面 $\displaystyle z=2, z=8$ 所围成的区域．
（3） $\displaystyle \iiint_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 由平面曲线 $\displaystyle D:\left\{\begin{array}{l}x=0 \\ y^{2}=2 z\end{array}\right.$ 绕 $\displaystyle z$ 轴旋转一周所得的曲面与 $\displaystyle z=4$ 所围成的区域．
第11题计算题
11．计算下列三重积分．
（1） $\displaystyle \iiint_{V} x^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 由曲面 $\displaystyle z=a y^{2}, z=b y^{2}, y>0,0<a<b, z=\alpha x, z=\beta x, 0<\alpha<\beta$ ， $\displaystyle z=h(h>0)$ 所围成。
（2） $\displaystyle \iiint_{\Omega} x y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 位于第一象限且由曲面 $\displaystyle z=p\left(x^{2}+y^{2}\right), z=q\left(x^{2}+y^{2}\right), x y=a$ ， $\displaystyle x y=b, y=\alpha x, y=\beta x$ 所围成。这里 $\displaystyle 0<p<q, 0<a<b, 0<\alpha<\beta$ ．
（3） $\displaystyle \iiint_{\Omega}(x+y-z)(x-y+z)(y+z-x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega=\{(x, y, z) \mid 0 \leqslant x+y-z \leqslant 10,0 \leqslant x-y+z \leqslant 10$ ， $\displaystyle 0 \leqslant y+z-x \leqslant 10\}$ ．
（1） $\displaystyle \iiint_{V} x^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 由曲面 $\displaystyle z=a y^{2}, z=b y^{2}, y>0,0<a<b, z=\alpha x, z=\beta x, 0<\alpha<\beta$ ， $\displaystyle z=h(h>0)$ 所围成。
（2） $\displaystyle \iiint_{\Omega} x y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 位于第一象限且由曲面 $\displaystyle z=p\left(x^{2}+y^{2}\right), z=q\left(x^{2}+y^{2}\right), x y=a$ ， $\displaystyle x y=b, y=\alpha x, y=\beta x$ 所围成。这里 $\displaystyle 0<p<q, 0<a<b, 0<\alpha<\beta$ ．
（3） $\displaystyle \iiint_{\Omega}(x+y-z)(x-y+z)(y+z-x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega=\{(x, y, z) \mid 0 \leqslant x+y-z \leqslant 10,0 \leqslant x-y+z \leqslant 10$ ， $\displaystyle 0 \leqslant y+z-x \leqslant 10\}$ ．
第12题证明题
12．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f$ 是 $\displaystyle [-1,1]$ 上的可积函数，则有 $\displaystyle \iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2}<1} f(z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\pi \int_{-1}^{1} f(u)\left(1-u^{2}\right) \mathrm{d} u$ ．
（2）设 $\displaystyle f(t)$ 是 $\displaystyle [-k, k]$ 上的连续函数．试证：
$$
\iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2}<1} f(a x+b y+c z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\pi \int_{-1}^{1}\left(1-u^{2}\right) f(k u) \mathrm{d} u \text {, 其中 } k=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}>0 \text {. (浙江大学 } 2008 \text {, }
$$
南京大学 2007，厦门大学 2006 ，广州大学 $\displaystyle 2010 ; f(t)=\cos t$ ：浙江大学 2006 ，上海交大 2006 ，南开大学 1985 ，厦门大学 2008／2012）
（3）记 函数 $\displaystyle F(a, b, c)=\iiint_{V} f(a x+b y+c z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其 中 $\displaystyle V: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1$ ，试 证 明：球 面 $\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$ 为函数 $\displaystyle F(a, b, c)$ 的等值面，即 $\displaystyle F(a, b, c)$ 在球面 $\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$ 上恒为常数，并求出此常数．
提示：采用＂先二后一＂的方法
（1）设 $\displaystyle f$ 是 $\displaystyle [-1,1]$ 上的可积函数，则有 $\displaystyle \iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2}<1} f(z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\pi \int_{-1}^{1} f(u)\left(1-u^{2}\right) \mathrm{d} u$ ．
（2）设 $\displaystyle f(t)$ 是 $\displaystyle [-k, k]$ 上的连续函数．试证：
$$
\iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2}<1} f(a x+b y+c z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\pi \int_{-1}^{1}\left(1-u^{2}\right) f(k u) \mathrm{d} u \text {, 其中 } k=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}>0 \text {. (浙江大学 } 2008 \text {, }
$$
南京大学 2007，厦门大学 2006 ，广州大学 $\displaystyle 2010 ; f(t)=\cos t$ ：浙江大学 2006 ，上海交大 2006 ，南开大学 1985 ，厦门大学 2008／2012）
（3）记 函数 $\displaystyle F(a, b, c)=\iiint_{V} f(a x+b y+c z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其 中 $\displaystyle V: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1$ ，试 证 明：球 面 $\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$ 为函数 $\displaystyle F(a, b, c)$ 的等值面，即 $\displaystyle F(a, b, c)$ 在球面 $\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$ 上恒为常数，并求出此常数．
提示：采用＂先二后一＂的方法
第13题未分类
13．化下列积分为累次积分．
（1）将积分 $\displaystyle \iiint_{V} f(x, y, z) \mathrm{d} V$ 分别用直角坐标、柱面坐标和球面坐标表示为一个逐次积分，其中 $\displaystyle V$ 是由 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}, z=0$ 与 $\displaystyle z=1$ 所围成的区域．
（2）将积分 $\displaystyle \iiint_{\Omega} f\left(x^{2}+y^{2}, z\right) \mathrm{d} V$ 化为：（1）直角坐标，（2）柱面坐标，（3）球面坐标下的三次积分，其中 $\displaystyle \Omega$ 是由 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 2 a z(a>0)$ 所围成的立体。
（1）将积分 $\displaystyle \iiint_{V} f(x, y, z) \mathrm{d} V$ 分别用直角坐标、柱面坐标和球面坐标表示为一个逐次积分，其中 $\displaystyle V$ 是由 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}, z=0$ 与 $\displaystyle z=1$ 所围成的区域．
（2）将积分 $\displaystyle \iiint_{\Omega} f\left(x^{2}+y^{2}, z\right) \mathrm{d} V$ 化为：（1）直角坐标，（2）柱面坐标，（3）球面坐标下的三次积分，其中 $\displaystyle \Omega$ 是由 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 2 a z(a>0)$ 所围成的立体。
第14题未分类
14．交换积分顺序．
（1）将积分 $\displaystyle J=\int_{-1}^{1} \mathrm{~d} x \int_{-\sqrt{1-x^{2}}}^{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} y \int_{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}^{1} f(x, y, z) \mathrm{d} z$ 化为先对 $\displaystyle x$ 再对 $\displaystyle y$ ，最后对 $\displaystyle z$ 的积分．
（2）将 $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{1-x} \mathrm{~d} y \int_{0}^{x+y} f(x, y, z) \mathrm{d} z$ 化为先对 $\displaystyle x$ 再对 $\displaystyle z$ ，最后对 $\displaystyle y$ 的累次积分；先对 $\displaystyle y$ 再对 $\displaystyle z$ ，最后对 $\displaystyle x$ 的累次积分；先对 $\displaystyle y$ 再对 $\displaystyle x$ ，最后对 $\displaystyle z$ 的累次积分．
（1）将积分 $\displaystyle J=\int_{-1}^{1} \mathrm{~d} x \int_{-\sqrt{1-x^{2}}}^{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} y \int_{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}^{1} f(x, y, z) \mathrm{d} z$ 化为先对 $\displaystyle x$ 再对 $\displaystyle y$ ，最后对 $\displaystyle z$ 的积分．
（2）将 $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{1-x} \mathrm{~d} y \int_{0}^{x+y} f(x, y, z) \mathrm{d} z$ 化为先对 $\displaystyle x$ 再对 $\displaystyle z$ ，最后对 $\displaystyle y$ 的累次积分；先对 $\displaystyle y$ 再对 $\displaystyle z$ ，最后对 $\displaystyle x$ 的累次积分；先对 $\displaystyle y$ 再对 $\displaystyle x$ ，最后对 $\displaystyle z$ 的累次积分．
第15题计算题
15．计算累次积分．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{1} \mathrm{~d} y \int_{y}^{1} y \sqrt{1+z^{4}} \mathrm{~d} z$ ．（电子科大 2007）
（2） $\displaystyle \int_{-1}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} y \int_{1}^{1+\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}} \frac{\mathrm{~d} z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} y \int_{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}^{\sqrt{2-x^{2}-y^{2}}} z^{2} \mathrm{~d} z$ ．
（4）$\displaystyle I=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{1-x} \mathrm{~d} y \int_{0}^{\frac{y}{2}} \frac{\cos z}{(2 z-1)^{2}} \mathrm{~d} z$ ．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{1} \mathrm{~d} y \int_{y}^{1} y \sqrt{1+z^{4}} \mathrm{~d} z$ ．（电子科大 2007）
（2） $\displaystyle \int_{-1}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} y \int_{1}^{1+\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}} \frac{\mathrm{~d} z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} y \int_{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}^{\sqrt{2-x^{2}-y^{2}}} z^{2} \mathrm{~d} z$ ．
（4）$\displaystyle I=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{1-x} \mathrm{~d} y \int_{0}^{\frac{y}{2}} \frac{\cos z}{(2 z-1)^{2}} \mathrm{~d} z$ ．
第15题求解题
15．求下列曲面积分 $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{2}-y z\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y^{2}-z x\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+2 z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle z=1-\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 介于 $\displaystyle z=0$ 和 $\displaystyle z=1$ 之间曲面的上侧．
第16题求解题
16．求立体的体积．
（1）求由曲面 $\displaystyle a z=x^{2}+y^{2}(a>0)$ 和 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 所围成的立体的体积．（中南大学 2002，桂林电子科技 2013（ $\displaystyle a=2$ ））
（2）求由圆柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}$ 与 $\displaystyle x^{2}+z^{2}=a^{2}(a>0)$ 所围立体的体积．
（3）求由曲面 $\displaystyle z=6-\left(2 x^{2}+y^{2}\right)$ 与 $\displaystyle z=x^{2}+2 y^{2}$ 所围立体的体积．（桂林电子科大 2010）
（4）求由锥面 $\displaystyle z=\frac{h}{R} \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ ，平面 $\displaystyle z=0$ 及圆柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}$ 所围立体的体积．
（5）求球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 R^{2}$ 的内部被柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=2 R x$ 所划出的部分的体积．（太原理工 2008（ $\displaystyle a=2 R, z>0$ ），福建师大 2004）
（6）计算曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 和 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=\frac{a^{2}}{4}$ 所围成的空间区域的体积．
（7）求由半径为 $\displaystyle a$ 的球面与顶点在球心，顶角为 $\displaystyle 2 \alpha$ 的圆锥面所围成的区域的体积 $\displaystyle \left(0<\alpha<\frac{\pi}{2}\right)$ ．
（8）求由圆锥体 $\displaystyle z \geqslant \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 和球体 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+(z-a)^{2} \leqslant a^{2}$ 所围成的立体的体积 $\displaystyle (a>0)$ ．
（9）求由曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+a z=4 a^{2}$ 将球体 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 4 a z$ 分成两部分的体积之比．
（1）求由曲面 $\displaystyle a z=x^{2}+y^{2}(a>0)$ 和 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 所围成的立体的体积．（中南大学 2002，桂林电子科技 2013（ $\displaystyle a=2$ ））
（2）求由圆柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}$ 与 $\displaystyle x^{2}+z^{2}=a^{2}(a>0)$ 所围立体的体积．
（3）求由曲面 $\displaystyle z=6-\left(2 x^{2}+y^{2}\right)$ 与 $\displaystyle z=x^{2}+2 y^{2}$ 所围立体的体积．（桂林电子科大 2010）
（4）求由锥面 $\displaystyle z=\frac{h}{R} \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ ，平面 $\displaystyle z=0$ 及圆柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}$ 所围立体的体积．
（5）求球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 R^{2}$ 的内部被柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=2 R x$ 所划出的部分的体积．（太原理工 2008（ $\displaystyle a=2 R, z>0$ ），福建师大 2004）
（6）计算曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 和 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=\frac{a^{2}}{4}$ 所围成的空间区域的体积．
（7）求由半径为 $\displaystyle a$ 的球面与顶点在球心，顶角为 $\displaystyle 2 \alpha$ 的圆锥面所围成的区域的体积 $\displaystyle \left(0<\alpha<\frac{\pi}{2}\right)$ ．
（8）求由圆锥体 $\displaystyle z \geqslant \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 和球体 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+(z-a)^{2} \leqslant a^{2}$ 所围成的立体的体积 $\displaystyle (a>0)$ ．
（9）求由曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+a z=4 a^{2}$ 将球体 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 4 a z$ 分成两部分的体积之比．
第18题求解题
18．求立体的体积．
（1）求由椭圆抛物面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{12}+\frac{y^{2}}{36} \leqslant 2 z$ 和 $\displaystyle \frac{x^{2}}{6}+\frac{y^{2}}{12} \leqslant 2(2-z)$ 所围成的区域的体积．
（2）求由椭球 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 与锥面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=0(z \geqslant 0)$ 所围成的立体的体积．
（3）用两种方法求椭球 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} \leqslant 1$ 的体积．（扬州大学 2005 ，中科大－中科院 2006，南京大学 1998（ $\displaystyle a=1 / 2, b=c=1$ ），矿业大学 2006）
（4）求由曲面 $\displaystyle \left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\right)^{2}=\frac{x}{h}(a>0, b>0, c>0, h>0)$ 所围成的区域的体积．
（5）计算由曲面 $\displaystyle \left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\right)^{2}=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}$ 所围成的立体的体积．（华南理 $\displaystyle I ~ 2008$ ，太原科技 $\displaystyle 2007 / 2010$ ，重庆大学 2005，湖南农大 2010，电子科技 2001，重庆师大 2004（ $\displaystyle a=b=c=1$ ））
（6）求由曲面 $\displaystyle \left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\right)^{3}=\frac{x y z}{a b c}$ 所围成的立体的体积。
（7）求由曲面 $\displaystyle \left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\right)^{2}+\left(\frac{z}{c}\right)^{2}=1(x \geqslant 0, y \geqslant 0, z \geqslant 0, a>0, b>0, c>0)$ 所围成的几何体的体积，其中 $\displaystyle a, b, c$ 均为正常数
（8）求由曲面 $\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}+z^{4}=y$ 所围成的几何体的体积．
（9）求由曲面 $\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}=a^{2}\left(x^{2}+y^{2}-z^{2}\right)(a>0)$ 所围成的立体的体积．
（1）求由椭圆抛物面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{12}+\frac{y^{2}}{36} \leqslant 2 z$ 和 $\displaystyle \frac{x^{2}}{6}+\frac{y^{2}}{12} \leqslant 2(2-z)$ 所围成的区域的体积．
（2）求由椭球 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 与锥面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=0(z \geqslant 0)$ 所围成的立体的体积．
（3）用两种方法求椭球 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} \leqslant 1$ 的体积．（扬州大学 2005 ，中科大－中科院 2006，南京大学 1998（ $\displaystyle a=1 / 2, b=c=1$ ），矿业大学 2006）
（4）求由曲面 $\displaystyle \left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\right)^{2}=\frac{x}{h}(a>0, b>0, c>0, h>0)$ 所围成的区域的体积．
（5）计算由曲面 $\displaystyle \left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\right)^{2}=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}$ 所围成的立体的体积．（华南理 $\displaystyle I ~ 2008$ ，太原科技 $\displaystyle 2007 / 2010$ ，重庆大学 2005，湖南农大 2010，电子科技 2001，重庆师大 2004（ $\displaystyle a=b=c=1$ ））
（6）求由曲面 $\displaystyle \left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\right)^{3}=\frac{x y z}{a b c}$ 所围成的立体的体积。
（7）求由曲面 $\displaystyle \left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\right)^{2}+\left(\frac{z}{c}\right)^{2}=1(x \geqslant 0, y \geqslant 0, z \geqslant 0, a>0, b>0, c>0)$ 所围成的几何体的体积，其中 $\displaystyle a, b, c$ 均为正常数
（8）求由曲面 $\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}+z^{4}=y$ 所围成的几何体的体积．
（9）求由曲面 $\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}=a^{2}\left(x^{2}+y^{2}-z^{2}\right)(a>0)$ 所围成的立体的体积．
第18题求解题
18．设 $\displaystyle S$ 是抛物面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2} z$ 介于平面 $\displaystyle z=0$ 和 $\displaystyle z=b$ 之间部分的下侧，求下列第二型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S} x z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\left(x^{2}-z\right) y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x-x^{2} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．$\displaystyle b=1$
（2） $\displaystyle \iint_{S}\left(x+z^{4}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(z+x^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．$\displaystyle a^{2}=2, b=2$
（3） $\displaystyle \iint_{S} 2 x z^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y\left(z^{2}+1\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(9-z^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．$\displaystyle a^{2}=1, b=2$
（4） $\displaystyle \iint_{S}\left(z^{2}+x\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z-z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。$\displaystyle a^{2}=2, b=2$
（5） $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{3}+3\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y^{3}+z\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(3 z+1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．$\displaystyle a^{2}=1, b=h^{2}$
（1） $\displaystyle \iint_{S} x z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\left(x^{2}-z\right) y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x-x^{2} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．$\displaystyle b=1$
（2） $\displaystyle \iint_{S}\left(x+z^{4}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(z+x^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．$\displaystyle a^{2}=2, b=2$
（3） $\displaystyle \iint_{S} 2 x z^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y\left(z^{2}+1\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(9-z^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．$\displaystyle a^{2}=1, b=2$
（4） $\displaystyle \iint_{S}\left(z^{2}+x\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z-z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。$\displaystyle a^{2}=2, b=2$
（5） $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{3}+3\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y^{3}+z\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(3 z+1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．$\displaystyle a^{2}=1, b=h^{2}$
第21题求解题
21．由曲面 $\displaystyle z=\sqrt{2-x^{2}-y^{2}}$ 与 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 围成一立体，其体密度为 $\displaystyle \mu=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ ，求此立体的质量 $\displaystyle M$ ．
第22题求解题
22．设地球是半径为 $\displaystyle R$ 的圆球，地面上（即地球上空）距地球中心 $\displaystyle r(r \geqslant R)$ 处空气密度 $\displaystyle \rho(r)=\rho_{0} \mathrm{e}^{k\left(1-\frac{r}{R}\right)},\left(\rho_{0}, k\right.$ 为正常数），求地球上空空气质量。中科院 2007）
第26题求解题
26．求下列导数或极限．
（1）设 $\displaystyle F(t)=\iiint_{V} f(x y z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z, f(u)$ 有一阶连续导数，积分区域 $\displaystyle V$ 由 $\displaystyle 0 \leqslant x \leqslant t, 0 \leqslant y \leqslant t$ ， $\displaystyle 0 \leqslant z \leqslant t$ 所围成．求 $\displaystyle F^{\prime}(t)$ ．
（2）计算 $\displaystyle f(t)=\iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq t^{2}}(x y z)^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z(t>0)$ 的导数 $\displaystyle f^{\prime}(t)$（只需写出 $\displaystyle f^{\prime}(t)$ 的积分表达式）．
（1）设 $\displaystyle F(t)=\iiint_{V} f(x y z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z, f(u)$ 有一阶连续导数，积分区域 $\displaystyle V$ 由 $\displaystyle 0 \leqslant x \leqslant t, 0 \leqslant y \leqslant t$ ， $\displaystyle 0 \leqslant z \leqslant t$ 所围成．求 $\displaystyle F^{\prime}(t)$ ．
（2）计算 $\displaystyle f(t)=\iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq t^{2}}(x y z)^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z(t>0)$ 的导数 $\displaystyle f^{\prime}(t)$（只需写出 $\displaystyle f^{\prime}(t)$ 的积分表达式）．