三重积分的计算
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第1题计算题
1．计算下列第二型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle S$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 在第一卦限曲面的上侧．
（2） $\displaystyle \iint_{S} x y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 在第一卦限曲面的上侧．
（3） $\displaystyle \iint_{S} x y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为椭球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 在 $\displaystyle x \geqslant 0, y \geqslant 0$ 部分的外侧，$\displaystyle a>0, b>0, c>0$ ．
（4） $\displaystyle \iint_{S} \frac{1}{x} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\frac{1}{y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+\frac{1}{z} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为椭球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 的外侧．
（5） $\displaystyle \iint_{S} \frac{\mathrm{e}^{z}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为由锥面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 和 $\displaystyle z=1, z=2$ 所围立体整个表面的外侧．
（6） $\displaystyle \iint_{S} \frac{\mathrm{e}^{\sqrt{y}}}{\sqrt{x^{2}+z^{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle S$ 为由曲面 $\displaystyle y=x^{2}+z^{2}$ 和 $\displaystyle y=1, y=2$ 所围立体整个表面的外侧．
（7） $\displaystyle \iint_{S} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{x^{2}+2 y^{2}+z^{2}}$ ，其中 $\displaystyle S$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 的内侧．
（1） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle S$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 在第一卦限曲面的上侧．
（2） $\displaystyle \iint_{S} x y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 在第一卦限曲面的上侧．
（3） $\displaystyle \iint_{S} x y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为椭球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 在 $\displaystyle x \geqslant 0, y \geqslant 0$ 部分的外侧，$\displaystyle a>0, b>0, c>0$ ．
（4） $\displaystyle \iint_{S} \frac{1}{x} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\frac{1}{y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+\frac{1}{z} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为椭球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 的外侧．
（5） $\displaystyle \iint_{S} \frac{\mathrm{e}^{z}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为由锥面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 和 $\displaystyle z=1, z=2$ 所围立体整个表面的外侧．
（6） $\displaystyle \iint_{S} \frac{\mathrm{e}^{\sqrt{y}}}{\sqrt{x^{2}+z^{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle S$ 为由曲面 $\displaystyle y=x^{2}+z^{2}$ 和 $\displaystyle y=1, y=2$ 所围立体整个表面的外侧．
（7） $\displaystyle \iint_{S} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{x^{2}+2 y^{2}+z^{2}}$ ，其中 $\displaystyle S$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 的内侧．
第2题计算题
2．计算下列第二型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 在第一卦限曲面的上侧．
（2） $\displaystyle \iint_{S}(y-z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(z-x) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 R x$ 被圆柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=2 r x,(z>0,0<r<R)$ 所截得的部分，定向取外侧．
（3） $\displaystyle \iint_{S} x y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y+x z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+z^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle x^{2}+z^{2}=a^{2}$ 在 $\displaystyle x \geqslant 0$ 的一半被 $\displaystyle y=0$ 和 $\displaystyle y=h(h>0)$所截下部分的外侧．
（1） $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 在第一卦限曲面的上侧．
（2） $\displaystyle \iint_{S}(y-z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(z-x) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 R x$ 被圆柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=2 r x,(z>0,0<r<R)$ 所截得的部分，定向取外侧．
（3） $\displaystyle \iint_{S} x y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y+x z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+z^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle x^{2}+z^{2}=a^{2}$ 在 $\displaystyle x \geqslant 0$ 的一半被 $\displaystyle y=0$ 和 $\displaystyle y=h(h>0)$所截下部分的外侧．
第3题求解题
3．设 $\displaystyle S$ 为上半球面 $\displaystyle z=\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}$ 上侧，求下列第二型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。华侨大学 2014，首都师大 2008 ，湘潭大学 $\displaystyle 2006 ; \mathrm{a}=3$ 浙江理工 $\displaystyle 2010 ; \mathrm{a}=1$ ：山东科技 2013，山西师大 $\displaystyle 2010 / 2009$ ，上海理工 2007，北京理工 2008，武汉理工 2009）或 $\displaystyle \iint_{S} y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z$
（2） $\displaystyle \iint_{S}\left(x+y^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} z+\left(z+x^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．（a＝1）
（3） $\displaystyle \iint_{S} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。．
（4） $\displaystyle \iint_{S} y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z$ ．$\displaystyle (a=1)$
（5） $\displaystyle \iint_{S} y z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+\left(z^{2}+1\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．（湖南师大2004（ $\displaystyle a=1$ ））
（6） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．（燕山大学 2010／2013，青岛大学 2002，浙江师大 2009，东华大学 2001（a＝1））
（7） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(z^{3}-a^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。（湖北大学 2006 ，浙江师大 2009，重庆大学 2008（ $\displaystyle a=1$ ），沈阳 工大2010，宁波大学2007）
（8） $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{3}+a z^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y^{3}+a x^{2}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(z^{3}+a y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
（9） $\displaystyle \iint_{S} x z^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\left(x^{2} y-z^{3}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(2 x y+y^{2} z\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（10） $\displaystyle \iint_{S}\left(x y^{2}-z^{3}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y z^{2}-z^{3}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(z x^{2}+a^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（11） $\displaystyle \iint_{S} x\left(x^{2}+1\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+y\left(y^{2}+2\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+z\left(z^{2}+3\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．$\displaystyle (a=1)$
（12） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(x^{2}+y^{2}+z^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
（13） $\displaystyle \iint_{S}\left(x y^{2}+\frac{1}{3} x^{3}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+y z^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+a^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
（1） $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。华侨大学 2014，首都师大 2008 ，湘潭大学 $\displaystyle 2006 ; \mathrm{a}=3$ 浙江理工 $\displaystyle 2010 ; \mathrm{a}=1$ ：山东科技 2013，山西师大 $\displaystyle 2010 / 2009$ ，上海理工 2007，北京理工 2008，武汉理工 2009）或 $\displaystyle \iint_{S} y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z$
（2） $\displaystyle \iint_{S}\left(x+y^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} z+\left(z+x^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．（a＝1）
（3） $\displaystyle \iint_{S} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。．
（4） $\displaystyle \iint_{S} y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z$ ．$\displaystyle (a=1)$
（5） $\displaystyle \iint_{S} y z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+\left(z^{2}+1\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．（湖南师大2004（ $\displaystyle a=1$ ））
（6） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．（燕山大学 2010／2013，青岛大学 2002，浙江师大 2009，东华大学 2001（a＝1））
（7） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(z^{3}-a^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。（湖北大学 2006 ，浙江师大 2009，重庆大学 2008（ $\displaystyle a=1$ ），沈阳 工大2010，宁波大学2007）
（8） $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{3}+a z^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y^{3}+a x^{2}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(z^{3}+a y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
（9） $\displaystyle \iint_{S} x z^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\left(x^{2} y-z^{3}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(2 x y+y^{2} z\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（10） $\displaystyle \iint_{S}\left(x y^{2}-z^{3}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y z^{2}-z^{3}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(z x^{2}+a^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（11） $\displaystyle \iint_{S} x\left(x^{2}+1\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+y\left(y^{2}+2\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+z\left(z^{2}+3\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．$\displaystyle (a=1)$
（12） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(x^{2}+y^{2}+z^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
（13） $\displaystyle \iint_{S}\left(x y^{2}+\frac{1}{3} x^{3}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+y z^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+a^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
第4题求解题
4．设 $\displaystyle S$ 为上半球面 $\displaystyle z=\sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}}$ 的下侧，求下列第二型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。
（2） $\displaystyle \iint_{S}\left(x-y^{2}-z^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y-z^{2}-x^{2}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(z-x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．（吉林大学2001（ $\displaystyle R=1$ ））
（3） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。（浙江大学 2014，南京大学 2004（ $\displaystyle R=1$ ））
（1） $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。
（2） $\displaystyle \iint_{S}\left(x-y^{2}-z^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y-z^{2}-x^{2}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(z-x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．（吉林大学2001（ $\displaystyle R=1$ ））
（3） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。（浙江大学 2014，南京大学 2004（ $\displaystyle R=1$ ））
第5题求解题
5．求下列第二型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle z=-\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}(a>0)$ 的上侧。．
（2） $\displaystyle \iint_{S}(x-\sin y z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(y-\sin z x) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(z-x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 下半部分的下侧．
（1） $\displaystyle \iint_{S} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle z=-\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}(a>0)$ 的上侧。．
（2） $\displaystyle \iint_{S}(x-\sin y z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(y-\sin z x) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(z-x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 下半部分的下侧．
第6题求解题
6．设 $\displaystyle S$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}(a>0)$ 外侧，求下列第二型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ 。
（2） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x$ 。$\displaystyle (a=1)$
（3） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。
（4） $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{3}-y^{3}-z^{3}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y^{3}-z^{3}-x^{3}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(z^{3}-x^{3}-y^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。（上海师大2006（a＝1））
（5） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+2 y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+3 z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。．
（6）$\displaystyle \oiint_{S} x\left(x^{2}+a^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+y\left(y^{2}+a^{2}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+z\left(z^{2}+a^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（7） $\displaystyle \iint_{S} \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} S$ ，其中 $\displaystyle u=x^{4}+y^{4}+z^{4}, n=(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)$ 为球面的单位向量，
$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial n}=\frac{\partial u}{\partial x} \cos \alpha+\frac{\partial u}{\partial y} \cos \beta+\frac{\partial u}{\partial z} \cos \gamma$ ．
（8） $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+f(y) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+g(z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle f(y), g(z)$ 分别为 $\displaystyle y, z$ 的偶函数．（安徽大学 2005$\displaystyle )(a=1)$
（9） $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。
（1） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ 。
（2） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x$ 。$\displaystyle (a=1)$
（3） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。
（4） $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{3}-y^{3}-z^{3}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y^{3}-z^{3}-x^{3}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(z^{3}-x^{3}-y^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。（上海师大2006（a＝1））
（5） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+2 y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+3 z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。．
（6）$\displaystyle \oiint_{S} x\left(x^{2}+a^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+y\left(y^{2}+a^{2}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+z\left(z^{2}+a^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（7） $\displaystyle \iint_{S} \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} S$ ，其中 $\displaystyle u=x^{4}+y^{4}+z^{4}, n=(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)$ 为球面的单位向量，
$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial n}=\frac{\partial u}{\partial x} \cos \alpha+\frac{\partial u}{\partial y} \cos \beta+\frac{\partial u}{\partial z} \cos \gamma$ ．
（8） $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+f(y) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+g(z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle f(y), g(z)$ 分别为 $\displaystyle y, z$ 的偶函数．（安徽大学 2005$\displaystyle )(a=1)$
（9） $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。
第7题求解题
7．设 $\displaystyle S$ 为曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 的内侧，求下列第二型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。（上海交大 2000，浙江师大 2011（半径为 1），安徽工大 2008）
（2） $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y\right)$ ．
（1） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。（上海交大 2000，浙江师大 2011（半径为 1），安徽工大 2008）
（2） $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y\right)$ ．
第8题求解题
8．求下列第二型曲面积分．
（1）设 $\displaystyle S$ 为球面 $\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=R^{2}$ 外侧，求
（1） $\displaystyle \iint_{S} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。苏州科技2008／2009，东北师大 2006，上海大学 2005，青岛大学 2010，河北大学 2011，北京科技 2011，武汉大学 2000 ，中南大学 2000 ，地质大学 2003 ，南京大学 2000 ，大连理工 2002，首都师大 2010，西北大学 2009）
（2） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．（3） $\displaystyle \iint_{S}\left(\frac{1}{2} x^{2}+x y+x z\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{S} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a(x+y+z)$ 的外侧。
（3） $\displaystyle \iint_{S} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 是球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a z(a>0)$ 的外侧．
（4） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 a x(a>0)$ 的外侧．
（1）设 $\displaystyle S$ 为球面 $\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=R^{2}$ 外侧，求
（1） $\displaystyle \iint_{S} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。苏州科技2008／2009，东北师大 2006，上海大学 2005，青岛大学 2010，河北大学 2011，北京科技 2011，武汉大学 2000 ，中南大学 2000 ，地质大学 2003 ，南京大学 2000 ，大连理工 2002，首都师大 2010，西北大学 2009）
（2） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．（3） $\displaystyle \iint_{S}\left(\frac{1}{2} x^{2}+x y+x z\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{S} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a(x+y+z)$ 的外侧。
（3） $\displaystyle \iint_{S} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 是球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a z(a>0)$ 的外侧．
（4） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 a x(a>0)$ 的外侧．
第9题求解题
9．求下列第二型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S}(x+b+c)^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+(y+c+a)^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+(z+a+b)^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为半球面 $\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}+ (z-c)^{2}=R^{2}, z \geqslant c$ 的上侧．
（2） $\displaystyle \iint_{S} y z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+x z \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+(x+y+z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为半球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+(z-a)^{2}=a^{2}(0 \leqslant z \leqslant a)$ 的下侧．
（3） $\displaystyle \iint_{S} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为半球面 $\displaystyle z=1+\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ 的上侧．
（1） $\displaystyle \iint_{S}(x+b+c)^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+(y+c+a)^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+(z+a+b)^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为半球面 $\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}+ (z-c)^{2}=R^{2}, z \geqslant c$ 的上侧．
（2） $\displaystyle \iint_{S} y z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+x z \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+(x+y+z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为半球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+(z-a)^{2}=a^{2}(0 \leqslant z \leqslant a)$ 的下侧．
（3） $\displaystyle \iint_{S} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为半球面 $\displaystyle z=1+\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ 的上侧．
第10题求解题
10．设 $\displaystyle S$ 为上半椭球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1(z \geqslant 0)$ 外侧，求下列第二型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。
（3） $\displaystyle \iint_{S} \frac{x z^{2}}{c^{2}} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\frac{x^{2} y-z^{2}}{a^{2}} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\frac{2 \sin \left(x^{2} y\right)+y^{2} z}{b^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
（4） $\displaystyle \iint_{S} y z \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x$ 。
（5） $\displaystyle \iint_{S}\left(\lambda \frac{x^{2}}{a^{2}}+\mu \frac{y^{2}}{b^{2}}+v \frac{z^{2}}{c^{2}}\right) \mathrm{d} s,(\lambda, \mu, v)$ 为 $\displaystyle S$ 外法向的方向余弦．
（1） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。
（3） $\displaystyle \iint_{S} \frac{x z^{2}}{c^{2}} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\frac{x^{2} y-z^{2}}{a^{2}} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\frac{2 \sin \left(x^{2} y\right)+y^{2} z}{b^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
（4） $\displaystyle \iint_{S} y z \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x$ 。
（5） $\displaystyle \iint_{S}\left(\lambda \frac{x^{2}}{a^{2}}+\mu \frac{y^{2}}{b^{2}}+v \frac{z^{2}}{c^{2}}\right) \mathrm{d} s,(\lambda, \mu, v)$ 为 $\displaystyle S$ 外法向的方向余弦．
第11题求解题
11．设 $\displaystyle S$ 为椭球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 的上半部分，其定向为下侧，求第二型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{S}(x+2 y) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(y+z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} z+(z+2) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
（1） $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{S}(x+2 y) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(y+z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} z+(z+2) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
第12题求解题
12．设 $\displaystyle S$ 为椭球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 的下半部分（其中 $\displaystyle a, b, c>0$ ），积分正向取椭球外侧，求下列第二型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{S} x y^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y z^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z x^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
（1） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{S} x y^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y z^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z x^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
第13题求解题
13．设 $\displaystyle S$ 为椭球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 外侧，求下列第二型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S}\left(x+x^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。重庆大学 2009）
（2） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。
（3） $\displaystyle \iint_{S} x z^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y x^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z y^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。
（4） $\displaystyle \iint_{S} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
（5） $\displaystyle \iint_{S} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。．
（1） $\displaystyle \iint_{S}\left(x+x^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。重庆大学 2009）
（2） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。
（3） $\displaystyle \iint_{S} x z^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y x^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z y^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。
（4） $\displaystyle \iint_{S} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
（5） $\displaystyle \iint_{S} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。．
第14题求解题
14．设 $\displaystyle S$ 为曲面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 被平面 $\displaystyle z=h(h>0)$ 所截部分的外侧，求下列曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，或 $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{2} \cos \alpha+y^{2} \cos \beta+z^{2} \cos \gamma\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle \cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ 为此曲面外法线的方向余弦．
（2） $\displaystyle \iint_{S} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．（北京工大 2009（h＝1））
（3） $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-2 y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z\right) \cdot($ 北京工大 2010）$\displaystyle (h=1)$
（4） $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(z^{2}-2 z\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．（ $\displaystyle h=1$ ）
（5） $\displaystyle \iint_{S} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-2 x y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。
（6） $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+2 y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+3(z-1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．$\displaystyle (h=1)$
（7） $\displaystyle \iint_{S}(x-y+z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(y-z+x) \mathrm{d} z \mathrm{~d} y+(z-x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．$\displaystyle (h=1)$
（1） $\displaystyle \iint_{S} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，或 $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{2} \cos \alpha+y^{2} \cos \beta+z^{2} \cos \gamma\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle \cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ 为此曲面外法线的方向余弦．
（2） $\displaystyle \iint_{S} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．（北京工大 2009（h＝1））
（3） $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-2 y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z\right) \cdot($ 北京工大 2010）$\displaystyle (h=1)$
（4） $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(z^{2}-2 z\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．（ $\displaystyle h=1$ ）
（5） $\displaystyle \iint_{S} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-2 x y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。
（6） $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+2 y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+3(z-1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．$\displaystyle (h=1)$
（7） $\displaystyle \iint_{S}(x-y+z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(y-z+x) \mathrm{d} z \mathrm{~d} y+(z-x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．$\displaystyle (h=1)$
第36题求解题
36．求下列第二型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S}(x+1) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+2 \cos y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+3 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 由曲面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 与 $\displaystyle z=3$ 围成的封闭曲面的外侧．
（2）$\displaystyle \oiint_{S}(x+y z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\cos ^{2} y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\cos z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$ 外侧。
（3）$\displaystyle \oiint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\cos y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 外侧．
（4） $\displaystyle \iint_{S} \sin ^{4} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\mathrm{e}^{-|y|} \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1(z>0)$ ，方向向上．
（1） $\displaystyle \iint_{S}(x+1) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+2 \cos y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+3 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 由曲面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 与 $\displaystyle z=3$ 围成的封闭曲面的外侧．
（2）$\displaystyle \oiint_{S}(x+y z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\cos ^{2} y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\cos z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$ 外侧。
（3）$\displaystyle \oiint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\cos y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 外侧．
（4） $\displaystyle \iint_{S} \sin ^{4} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\mathrm{e}^{-|y|} \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1(z>0)$ ，方向向上．
第45题求解题
45．求第二型曲面积分 $\displaystyle \oiint_{S} \frac{1}{y} f\left(\frac{x}{y}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\frac{1}{x} f\left(\frac{x}{y}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle f(u)$ 连续可导，其中
（1）$\displaystyle S$ 是 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}, z=8-x^{2}-y^{2}$ 所围立体的外侧．
（2）$\displaystyle S$ 是 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}+1, z=9-x^{2}-y^{2}$ 所围立体的外侧．
（3）$\displaystyle S$ 是由曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}, z=2 y^{2}, z=0$ 所围立体的表面，取内侧．
（1）$\displaystyle S$ 是 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}, z=8-x^{2}-y^{2}$ 所围立体的外侧．
（2）$\displaystyle S$ 是 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}+1, z=9-x^{2}-y^{2}$ 所围立体的外侧．
（3）$\displaystyle S$ 是由曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}, z=2 y^{2}, z=0$ 所围立体的表面，取内侧．
第46题求解题
46．求下列第二型曲面积分，其中 $\displaystyle f(u)$ 连续可导．
（1）$\displaystyle \oiint_{S} \frac{2}{y} f\left(\frac{x}{y^{2}}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\frac{1}{x} f\left(\frac{x}{y^{2}}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle f(u)$ 连续可导，$\displaystyle S$ 是 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}$ ， $\displaystyle z=8-x^{2}-y^{2}$ 所围立体的外侧．
（2） $\displaystyle \iint_{S} \frac{2}{y} f\left(x y^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z-\frac{1}{x} f\left(x y^{2}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(x^{2} z+y^{2} z+\frac{1}{3} z^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为下半球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1(z<0)$ 的内侧．
（3） $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{2}+x^{3}+x f\left(\frac{y}{x}\right)\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y^{3}+y f\left(\frac{y}{x}\right)\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(z^{3}-2 z f\left(\frac{y}{x}\right)\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ；其中 $\displaystyle S$ 为锥面 $\displaystyle x \geqslant \sqrt{y^{2}+z^{2}}$ 和球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1, x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$ 所围立体的外侧．
（4） $\displaystyle \iint_{S} \frac{1}{y+2} f\left(\frac{x+1}{y+2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(\frac{1}{x+1} f\left(\frac{x+1}{y+2}\right)+3 x^{2} y-y\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(z-x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle z=1+\sqrt{x^{2}+y^{2}}(1 \leqslant z \leqslant 2)$ 的外侧．
（1）$\displaystyle \oiint_{S} \frac{2}{y} f\left(\frac{x}{y^{2}}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\frac{1}{x} f\left(\frac{x}{y^{2}}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle f(u)$ 连续可导，$\displaystyle S$ 是 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}$ ， $\displaystyle z=8-x^{2}-y^{2}$ 所围立体的外侧．
（2） $\displaystyle \iint_{S} \frac{2}{y} f\left(x y^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z-\frac{1}{x} f\left(x y^{2}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(x^{2} z+y^{2} z+\frac{1}{3} z^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为下半球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1(z<0)$ 的内侧．
（3） $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{2}+x^{3}+x f\left(\frac{y}{x}\right)\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y^{3}+y f\left(\frac{y}{x}\right)\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(z^{3}-2 z f\left(\frac{y}{x}\right)\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ；其中 $\displaystyle S$ 为锥面 $\displaystyle x \geqslant \sqrt{y^{2}+z^{2}}$ 和球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1, x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$ 所围立体的外侧．
（4） $\displaystyle \iint_{S} \frac{1}{y+2} f\left(\frac{x+1}{y+2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(\frac{1}{x+1} f\left(\frac{x+1}{y+2}\right)+3 x^{2} y-y\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(z-x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle z=1+\sqrt{x^{2}+y^{2}}(1 \leqslant z \leqslant 2)$ 的外侧．
第49题求解题
49．求曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S} r \cos (r, n) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为椭球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1, n=n(x, y, z)$ 为 $\displaystyle S$ 上点 $\displaystyle P(x, y, z)$ 处的外法向量，$\displaystyle r=(x, y, z), r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, \cos (r, n)=\frac{1}{r}[x \cos (x, n)+y \cos (y, n)+z \cos (z, n)]($ 湖南师大 2007）
（2）求第二型曲面积分 $\displaystyle \iint_{S}(x \cos \alpha+y \cos \beta+z \cos \gamma) \mathrm{d} s$ ，其中 $\displaystyle S$ 为光滑闭曲面，其体积为 $\displaystyle V$ ．
（1） $\displaystyle \iint_{S} r \cos (r, n) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为椭球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1, n=n(x, y, z)$ 为 $\displaystyle S$ 上点 $\displaystyle P(x, y, z)$ 处的外法向量，$\displaystyle r=(x, y, z), r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, \cos (r, n)=\frac{1}{r}[x \cos (x, n)+y \cos (y, n)+z \cos (z, n)]($ 湖南师大 2007）
（2）求第二型曲面积分 $\displaystyle \iint_{S}(x \cos \alpha+y \cos \beta+z \cos \gamma) \mathrm{d} s$ ，其中 $\displaystyle S$ 为光滑闭曲面，其体积为 $\displaystyle V$ ．