二元函数的极限（重极限）
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第1题计算题
1．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{x^{2} y^{2}}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{x^{2}+y^{2}}$ 。
（3） $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}}(x+y) \ln \left(x^{2}+y^{2}\right)$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ x \rightarrow 0}}\left(|x|^{\alpha}+|y|^{\alpha}\right) \ln \left(x^{2}+y^{2}\right), 0<\alpha<1$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{\sin \left(x^{3}+y^{3}\right)}{x^{2}+y^{2}}$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow \infty \\ y \rightarrow a}} \frac{\sqrt{|x-y|}}{x^{2}+y^{2}} \sin \left(x^{2}+y^{2}\right)$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{x^{2}+y^{2}}{|x|+|y|}$ ．（南京师大2007，广西师大2013（用定义））
（8） $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow \infty \\ y \rightarrow a}}\left(\cos \frac{y}{x}\right)^{\frac{x^{3}}{x+y^{3}}}$ ．
（9） $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow+\infty \\ y \rightarrow 0^{-}}}\left(x^{2}+\frac{1}{y^{2}}\right) \mathrm{e}^{-\sqrt{x+\frac{1}{y}}}$ ．
（10） $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow+\infty \\ y \rightarrow a}}\left(1+\frac{1}{x y}\right)^{\frac{x^{2}}{x+y}},(a>0)$ ．
（11） $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow+\infty \\ y \rightarrow+\infty}}\left(\frac{x y}{x^{2}+y^{2}}\right)^{x^{2}}$ ．
（1） $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{x^{2} y^{2}}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{x^{2}+y^{2}}$ 。
（3） $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}}(x+y) \ln \left(x^{2}+y^{2}\right)$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ x \rightarrow 0}}\left(|x|^{\alpha}+|y|^{\alpha}\right) \ln \left(x^{2}+y^{2}\right), 0<\alpha<1$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{\sin \left(x^{3}+y^{3}\right)}{x^{2}+y^{2}}$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow \infty \\ y \rightarrow a}} \frac{\sqrt{|x-y|}}{x^{2}+y^{2}} \sin \left(x^{2}+y^{2}\right)$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{x^{2}+y^{2}}{|x|+|y|}$ ．（南京师大2007，广西师大2013（用定义））
（8） $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow \infty \\ y \rightarrow a}}\left(\cos \frac{y}{x}\right)^{\frac{x^{3}}{x+y^{3}}}$ ．
（9） $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow+\infty \\ y \rightarrow 0^{-}}}\left(x^{2}+\frac{1}{y^{2}}\right) \mathrm{e}^{-\sqrt{x+\frac{1}{y}}}$ ．
（10） $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow+\infty \\ y \rightarrow a}}\left(1+\frac{1}{x y}\right)^{\frac{x^{2}}{x+y}},(a>0)$ ．
（11） $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow+\infty \\ y \rightarrow+\infty}}\left(\frac{x y}{x^{2}+y^{2}}\right)^{x^{2}}$ ．
第2题未分类
2．设二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}1,(x, y) \in\left\{(x, y) \in \mathbf{R}^{2} \mid 0<y<x^{2}\right\}, \\ 0,(x, y) \in \mathbf{R}^{2}-\left\{(x, y) \in \mathbf{R}^{2} \mid 0<y<x^{2}\right\},\end{array}\right.$ 证明：$\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 极限不存在。
第4题证明题
4．证明下列结论．
（1）证明：函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2} y}{x^{4}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ 分别对每一个变量 $\displaystyle x$ 和 $\displaystyle y$ 是连续的，但不是关于二变量的连续函数．
（2）证明二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{2 x y}{x^{2}+y^{2}},(x, y) \neq(0,0) \\ 0,(x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ 分别对每一个变量连续，但关于二元变量不连续．
（1）证明：函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2} y}{x^{4}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ 分别对每一个变量 $\displaystyle x$ 和 $\displaystyle y$ 是连续的，但不是关于二变量的连续函数．
（2）证明二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{2 x y}{x^{2}+y^{2}},(x, y) \neq(0,0) \\ 0,(x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ 分别对每一个变量连续，但关于二元变量不连续．
第10题讨论/判定题
10．讨论下列函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在原点 $\displaystyle (0,0)$ 处的可微性．
（1）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（2）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{3}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（1）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（2）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{3}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$