二元函数的连续性概念
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第3题证明题
3．证明或讨论下列函数的连续性．
（1）设二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\sin (x y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0,\end{array}\right.$ 讨论 $\displaystyle f(x, y)$ 的连续性．
（2）设二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{3}-y^{3}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0,\end{array}\right.$ 讨论 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处的连续性．
（3）设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\ln (1+x y)}{x}, x \neq 0, \\ y, x=0,\end{array}\right.$ 证明：$\displaystyle f(x, y)$ 在其定义域上是连续的．
（4）设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{e}^{-x y} \frac{\sin x}{x}, x \neq 0, \\ 1, x=0,\end{array}\right.$ 证明：$\displaystyle f(x, y)$ 在其定义域上是连续的．
（1）设二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\sin (x y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0,\end{array}\right.$ 讨论 $\displaystyle f(x, y)$ 的连续性．
（2）设二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{3}-y^{3}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0,\end{array}\right.$ 讨论 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处的连续性．
（3）设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\ln (1+x y)}{x}, x \neq 0, \\ y, x=0,\end{array}\right.$ 证明：$\displaystyle f(x, y)$ 在其定义域上是连续的．
（4）设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{e}^{-x y} \frac{\sin x}{x}, x \neq 0, \\ 1, x=0,\end{array}\right.$ 证明：$\displaystyle f(x, y)$ 在其定义域上是连续的．
第4题证明题
4．证明下列结论．
（1）证明：函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2} y}{x^{4}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ 分别对每一个变量 $\displaystyle x$ 和 $\displaystyle y$ 是连续的，但不是关于二变量的连续函数．
（2）证明二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{2 x y}{x^{2}+y^{2}},(x, y) \neq(0,0) \\ 0,(x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ 分别对每一个变量连续，但关于二元变量不连续．
（1）证明：函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2} y}{x^{4}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ 分别对每一个变量 $\displaystyle x$ 和 $\displaystyle y$ 是连续的，但不是关于二变量的连续函数．
（2）证明二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{2 x y}{x^{2}+y^{2}},(x, y) \neq(0,0) \\ 0,(x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ 分别对每一个变量连续，但关于二元变量不连续．
第5题证明题
5．设 $\displaystyle f(x, y)$ 是定义在 $\displaystyle D=[a, b] \times[c, d]$ 上的实值连续函数，试证明：$\displaystyle g(x)=\sup \{f(x, y): c \leqslant y \leqslant d\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续．
第6题证明题
6．证明下列各题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在半平面 $\displaystyle x>0$ 内连续，对任意固定的 $\displaystyle y=y_{0}$ ，极限 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0^{+} \\ y \rightarrow y_{0}}} f(x, y)=\varphi\left(y_{0}\right)$ 存在，现补充定义 $\displaystyle f(0, y)=\varphi(y)$ 。证明：$\displaystyle f(x, y)$ 在半平面 $\displaystyle x \geqslant 0$ 上连续．
（2）设函数 $\displaystyle z=f(x, y)$ 在矩形闭域 $\displaystyle [a, b] \times[c, d]$ 上连续，$\displaystyle x=\varphi(t)$ 为定义在 $\displaystyle [\alpha, \beta]$ 上其值含于 $\displaystyle [a, b]$ 内的可微函数。令 $\displaystyle F(t, y)=\int_{a}^{\varphi(t)} f(x, y) \mathrm{d} x,(t, y) \in[\alpha, \beta] \times[c, d]$ ．证明：$\displaystyle F$ 在 $\displaystyle [\alpha, \beta] \times[c, d]$ 上连续．
（1）设函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在半平面 $\displaystyle x>0$ 内连续，对任意固定的 $\displaystyle y=y_{0}$ ，极限 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0^{+} \\ y \rightarrow y_{0}}} f(x, y)=\varphi\left(y_{0}\right)$ 存在，现补充定义 $\displaystyle f(0, y)=\varphi(y)$ 。证明：$\displaystyle f(x, y)$ 在半平面 $\displaystyle x \geqslant 0$ 上连续．
（2）设函数 $\displaystyle z=f(x, y)$ 在矩形闭域 $\displaystyle [a, b] \times[c, d]$ 上连续，$\displaystyle x=\varphi(t)$ 为定义在 $\displaystyle [\alpha, \beta]$ 上其值含于 $\displaystyle [a, b]$ 内的可微函数。令 $\displaystyle F(t, y)=\int_{a}^{\varphi(t)} f(x, y) \mathrm{d} x,(t, y) \in[\alpha, \beta] \times[c, d]$ ．证明：$\displaystyle F$ 在 $\displaystyle [\alpha, \beta] \times[c, d]$ 上连续．
第6题讨论/判定题
6．讨论下列函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在原点 $\displaystyle (0,0)$ 处的连续性、偏导数的存在性以及可微性．
（1）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（2）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2} y}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（3）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（1）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（2）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2} y}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（3）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
第7题证明题
7．证明下列结论．
（1）设二元函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D$ 上有定义，对 $\displaystyle y$ 连续，对 $\displaystyle x$ 关于 $\displaystyle y$ 一致连续，证明 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D$ 内连续．
（2）若二元函数 $\displaystyle z=f(x, y)$ 在 $\displaystyle D$ 上的两个偏导数 $\displaystyle f_{x}^{\prime}(x, y), f_{y}^{\prime}(x, y)$ 有界，则 $\displaystyle z=f(x, y)$ 在 $\displaystyle D$内连续．
（3）设二元函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2}<1\right\}$ 上有定义，对自变量 $\displaystyle x$ 连续，对 $\displaystyle y$ 有有界偏导数，且 $\displaystyle \left|f_{y}(x, y)\right| \leqslant 1$ ，证明 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D$ 内连续．
（4）设 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle G=\left\{(x, y): x^{2}+y^{2}<1\right\}$ 上有定义，若 $\displaystyle f(x, 0)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处连续，且 $\displaystyle f_{y}(x, y)$ 在 $\displaystyle G$上有界，证明 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 连续．
（5）设 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D \subset \mathbf{R}^{2}$ 上有定义，对自变量 $\displaystyle x$ 连续，对 $\displaystyle y$ 满足 lipschitz 条件，证明 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D$ 内连续．
（1）设二元函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D$ 上有定义，对 $\displaystyle y$ 连续，对 $\displaystyle x$ 关于 $\displaystyle y$ 一致连续，证明 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D$ 内连续．
（2）若二元函数 $\displaystyle z=f(x, y)$ 在 $\displaystyle D$ 上的两个偏导数 $\displaystyle f_{x}^{\prime}(x, y), f_{y}^{\prime}(x, y)$ 有界，则 $\displaystyle z=f(x, y)$ 在 $\displaystyle D$内连续．
（3）设二元函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2}<1\right\}$ 上有定义，对自变量 $\displaystyle x$ 连续，对 $\displaystyle y$ 有有界偏导数，且 $\displaystyle \left|f_{y}(x, y)\right| \leqslant 1$ ，证明 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D$ 内连续．
（4）设 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle G=\left\{(x, y): x^{2}+y^{2}<1\right\}$ 上有定义，若 $\displaystyle f(x, 0)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处连续，且 $\displaystyle f_{y}(x, y)$ 在 $\displaystyle G$上有界，证明 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 连续．
（5）设 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D \subset \mathbf{R}^{2}$ 上有定义，对自变量 $\displaystyle x$ 连续，对 $\displaystyle y$ 满足 lipschitz 条件，证明 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D$ 内连续．
第7题讨论/判定题
7．讨论下列函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在原点 $\displaystyle (0,0)$ 处的连续性、偏导数的存在性以及可微性．
（1）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}},(x, y) \neq(0,0), \\ 0,(x, y)=(0,0) .\end{array}(\right.$ 山东科技 2010／2011，上海理工 2005，温州大学 2012）
（2）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2} y-y^{3}}{x^{2}+y^{2}},(x, y) \neq(0,0), \\ 0,(x, y)=(0,0) .\end{array}\right.$
（1）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}},(x, y) \neq(0,0), \\ 0,(x, y)=(0,0) .\end{array}(\right.$ 山东科技 2010／2011，上海理工 2005，温州大学 2012）
（2）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2} y-y^{3}}{x^{2}+y^{2}},(x, y) \neq(0,0), \\ 0,(x, y)=(0,0) .\end{array}\right.$
第8题证明题
8．设 $\displaystyle f(x, y)$ 关于 $\displaystyle x, y$ 均是一元连续函数，举例说明 $\displaystyle f(x, y)$ 可以不是二元连续函数．证明：当 $\displaystyle f(x, y)$ 关于 $\displaystyle x$ 单调时，$\displaystyle f(x, y)$ 是二元连续函数．
第8题未分类
8．设二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{\alpha} y}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \alpha>0, \text { 试问 } \alpha \text { 为何值时函数 } f(x, y) \text { 在点 }(0,0) \\ 0, x^{2}+y^{2}=0,\end{array}\right.$处可微？
第9题证明题
9．设 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \in \mathbf{R}^{2} \mid x \geqslant 0, y \geqslant 0\right\}$ 上连续，当 $\displaystyle (x, y) \rightarrow+\infty$ 时，$\displaystyle f(x, y)$ 的极限存在．证明：$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D$ 上是一致连续的．
第9题计算题
9．设二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}x y \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0,\end{array}\right.$ 讨论 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处的连续性，并计算 $\displaystyle f_{x}^{\prime}(0,0), f_{x y}^{\prime \prime}(0,0)$ ．
第10题证明题
10．证明 $\displaystyle f(x, y, z)=\frac{1}{1-x y z}$ 在 $\displaystyle [0,1) \times[0,1) \times[0,1)$ 上是不一致连续的．
第10题讨论/判定题
10．讨论下列函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在原点 $\displaystyle (0,0)$ 处的可微性．
（1）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（2）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{3}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（1）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（2）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{3}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
第11题证明题
11．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle \mathbf{R}^{2}$ 上的函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2}<1\right\}$ 内连续，且 $\displaystyle \forall(u, v) \in \partial D$ ，存在 $\displaystyle \delta>0$ ，使得 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \left\{(x, y) \mid(x-u)^{2}+(y-v)^{2}<\delta^{2}\right\}$ 内有界。证明：$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \bar{D}=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ 上是有界的．
（2）设 $\displaystyle f(x, y)$ 在闭矩形 $\displaystyle [0,1 ; 0,1]$ 上有意义，若对于 $\displaystyle \forall x_{0} \in[0,1], f(x, y)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, 0\right)$ 连续，证明 $\displaystyle \exists \delta>0$ ，使 $\displaystyle f(x, y)$ 在矩形 $\displaystyle [0,1 ; 0, \delta]$ 上有界．
（1）设 $\displaystyle \mathbf{R}^{2}$ 上的函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2}<1\right\}$ 内连续，且 $\displaystyle \forall(u, v) \in \partial D$ ，存在 $\displaystyle \delta>0$ ，使得 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \left\{(x, y) \mid(x-u)^{2}+(y-v)^{2}<\delta^{2}\right\}$ 内有界。证明：$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \bar{D}=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ 上是有界的．
（2）设 $\displaystyle f(x, y)$ 在闭矩形 $\displaystyle [0,1 ; 0,1]$ 上有意义，若对于 $\displaystyle \forall x_{0} \in[0,1], f(x, y)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, 0\right)$ 连续，证明 $\displaystyle \exists \delta>0$ ，使 $\displaystyle f(x, y)$ 在矩形 $\displaystyle [0,1 ; 0, \delta]$ 上有界．
第11题证明题
11．设二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},(x, y) \neq(0,0) \text { ，证明：（1）} f(x, y) \text { 在点 }(0,0) \text { 连续；（2）} f_{x}(x, y) \text { ，} \\ 0,(x, y)=(0,0),\end{array}\right. f_{y}(x, y)$ 在全平面有界；（3）$\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 不可微．
第12题证明题
12．证明：$\displaystyle f(x, y)$ 在有界开区域 $\displaystyle D$ 内一致连续，则它在 $\displaystyle D$ 内有界．（郑州大学2011（ $\displaystyle D$ 为单位圆），广西民大2007）
第12题证明题
12．证明下列 $\displaystyle f(x, y)$ 在原点 $\displaystyle (0,0)$ 处连续，但不可微．
（1）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2} y^{2}}{\sqrt{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}}},(x, y) \neq(0,0), \\ 0,(x, y)=(0,0) .\end{array}\right.$
（2）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}x-y+\frac{x^{2} y^{2}}{\sqrt{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}}},(x, y) \neq(0,0), \\ 0,(x, y)=(0,0) .\end{array}\right.$
（1）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2} y^{2}}{\sqrt{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}}},(x, y) \neq(0,0), \\ 0,(x, y)=(0,0) .\end{array}\right.$
（2）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}x-y+\frac{x^{2} y^{2}}{\sqrt{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}}},(x, y) \neq(0,0), \\ 0,(x, y)=(0,0) .\end{array}\right.$
第13题讨论/判定题
13．讨论下列函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}^{2}$ 的连续性及可微性．
（1）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\tan (x y)}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\mu}},(x, y) \neq(0,0), \\ 0,(x, y)=(0,0),\end{array} \quad \mu>\frac{1}{2}\right.$ ．
（2）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2} y}{\sqrt{x^{4}+y^{2}}},(x, y) \neq(0,0), \\ 0,(x, y)=(0,0) .\end{array}\right.$
（1）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\tan (x y)}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\mu}},(x, y) \neq(0,0), \\ 0,(x, y)=(0,0),\end{array} \quad \mu>\frac{1}{2}\right.$ ．
（2）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2} y}{\sqrt{x^{4}+y^{2}}},(x, y) \neq(0,0), \\ 0,(x, y)=(0,0) .\end{array}\right.$
第14题证明题
14．设二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{4}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0,\end{array}\right.$ 证明：（1）$\displaystyle f(x, y)$ 对每个变量 $\displaystyle x, y$ 连续，但是关于二元函数不连续；（2）$\displaystyle f(x, y)$ 在原点处任何方向导数都存在；（3）在原点不可微．
第15题未分类
15．构造符合条件的函数。
（1）构造一个二元函数，使它在原点处可微但偏导数不连续，并加以说明．
（2）构造一个二元函数 $\displaystyle f(x, y)$ ，使得它在原点 $\displaystyle (0,0)$ 的两个偏导数都存在，但在原点不可微．
（3）试作出定义在 $\displaystyle \mathbf{R}^{2}$ 中的一个函数 $\displaystyle f(x, y)$ ，使得它在原点处任何方向的导数都存在，但在原点不可微．
（4）试作出定义在 $\displaystyle \mathbf{R}^{2}$ 中的一个函数 $\displaystyle f(x, y)$ ，使得它在原点处同时满足以下三个条件： （1）$\displaystyle f(x, y)$ 的两个偏导数都存在；（2）任何方向的极限都存在；（3）在原点不连续．
（5）讨论偏导数存在能否推出可微？若能，请给出证明，若不能，请举出反例并加以说明．
（1）构造一个二元函数，使它在原点处可微但偏导数不连续，并加以说明．
（2）构造一个二元函数 $\displaystyle f(x, y)$ ，使得它在原点 $\displaystyle (0,0)$ 的两个偏导数都存在，但在原点不可微．
（3）试作出定义在 $\displaystyle \mathbf{R}^{2}$ 中的一个函数 $\displaystyle f(x, y)$ ，使得它在原点处任何方向的导数都存在，但在原点不可微．
（4）试作出定义在 $\displaystyle \mathbf{R}^{2}$ 中的一个函数 $\displaystyle f(x, y)$ ，使得它在原点处同时满足以下三个条件： （1）$\displaystyle f(x, y)$ 的两个偏导数都存在；（2）任何方向的极限都存在；（3）在原点不连续．
（5）讨论偏导数存在能否推出可微？若能，请给出证明，若不能，请举出反例并加以说明．
第17题讨论/判定题
17．讨论下列函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在原点 $\displaystyle (0,0)$ 处的连续性、偏导数的存在性以及可微性．
（1）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}x y \ln \left(x^{2}+y^{2}\right), x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（2）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2} y}{x^{2}+y^{2}} \sin \sqrt{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（3）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\sin \left(x^{2}+y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 1, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（4）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\sqrt{|x y|} \frac{\sin \left(x^{2}+y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}},(x, y) \neq(0,0), \\ 0,(x, y)=(0,0) .\end{array}\right.$
（1）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}x y \ln \left(x^{2}+y^{2}\right), x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（2）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2} y}{x^{2}+y^{2}} \sin \sqrt{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（3）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\sin \left(x^{2}+y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 1, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（4）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\sqrt{|x y|} \frac{\sin \left(x^{2}+y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}},(x, y) \neq(0,0), \\ 0,(x, y)=(0,0) .\end{array}\right.$
第18题证明题
18．证明下列 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处连续，但不可微．
（1）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{(x+y) \sin (x y)}{x^{2}+y^{2}},(x, y) \neq(0,0), \\ 0,(x, y)=(0,0) .\end{array}\right.$
（2）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{y^{3}}{x^{2}+y^{2}} \sin \frac{y}{x}, x \neq 0, \\ 0, x=0 .\end{array}(\right.$ 华东师大 2009）
（3）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}y \sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（1）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{(x+y) \sin (x y)}{x^{2}+y^{2}},(x, y) \neq(0,0), \\ 0,(x, y)=(0,0) .\end{array}\right.$
（2）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{y^{3}}{x^{2}+y^{2}} \sin \frac{y}{x}, x \neq 0, \\ 0, x=0 .\end{array}(\right.$ 华东师大 2009）
（3）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}y \sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
第19题讨论/判定题
19．讨论下列函数的可微性．
（1）设二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}x^{\frac{4}{3}} \sin \frac{y}{x}, x \neq 0, \\ 0, x=0 .\end{array}\right.$ 确定 $\displaystyle f(x, y)$ 在平面中所有可微的点及不可微的点，并说明理由．
（2）讨论 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\left(1-\cos \frac{x^{2}}{y}\right) \sqrt{x^{2}+y^{2}}, y \neq 0 \\ 0, y=0\end{array}\right.$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处的可微性．
（1）设二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}x^{\frac{4}{3}} \sin \frac{y}{x}, x \neq 0, \\ 0, x=0 .\end{array}\right.$ 确定 $\displaystyle f(x, y)$ 在平面中所有可微的点及不可微的点，并说明理由．
（2）讨论 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\left(1-\cos \frac{x^{2}}{y}\right) \sqrt{x^{2}+y^{2}}, y \neq 0 \\ 0, y=0\end{array}\right.$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处的可微性．
第20题讨论/判定题
20．讨论下列函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在原点 $\displaystyle (0,0)$ 处的连续性、偏导数的存在性以及可微性．
（1）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}x y \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（2）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}(x y)^{p} \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}(\right.$ 湖南师大 2009）
（3）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}x y \cos \frac{1}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（1）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}x y \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（2）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}(x y)^{p} \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}(\right.$ 湖南师大 2009）
（3）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}x y \cos \frac{1}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
第21题讨论/判定题
21．讨论下列函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在原点 $\displaystyle (0,0)$ 处的连续性、偏导数在原点 $\displaystyle (0,0)$ 处的连续性以及函数在原点 $\displaystyle (0,0)$ 处的可微性．
（1）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\left(x^{2}+y^{2}\right) \sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（2）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\left(x^{2}+y^{2}\right) \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（3）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\left(x^{2}+y^{2}\right) \cos \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（4）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}(x+y)^{2} \sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（1）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\left(x^{2}+y^{2}\right) \sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（2）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\left(x^{2}+y^{2}\right) \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（3）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\left(x^{2}+y^{2}\right) \cos \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（4）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}(x+y)^{2} \sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
第22题未分类
22．设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}(x+y)^{p} \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0,\end{array}\right.$ 证 明 ：（1）$\displaystyle p>0$ 时，$\displaystyle f(x, y)$ 在 点 $\displaystyle (0,0)$ 连续；（2）$\displaystyle p>1$ 时，$\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 可微；（3）$\displaystyle p>2$ 时，$\displaystyle f(x, y)$ 的偏导数在点 $\displaystyle (0,0)$ 连续．
第23题讨论/判定题
23．讨论下列问题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{p} \sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0,\end{array}\right.$ 试分别确定 $\displaystyle p$ 的值，使以下结论成立：
（1）$\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 连续；（2）$\displaystyle f_{x}(0,0), f_{y}(0,0)$ 存在；（3）$\displaystyle f_{x}(x, y), f_{y}(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 连续．
（2）设函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{p}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0,\end{array}\right.$ 试分别确定 $\displaystyle p$ 的值，使以下结论成立： （1）$\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 连续；（2）$\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 可微；（3）$\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 的方向导数存在．（折江大学 2014，沈阳工大 2014（ $\displaystyle p=2^{-1}$ ），长安大学 2007，江苏大学 2004）
（3）确定 $\displaystyle \beta$ 的值，使函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\beta} \sin \frac{1}{x^{4}+y^{4}}, x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 可微．
（1）设函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{p} \sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0,\end{array}\right.$ 试分别确定 $\displaystyle p$ 的值，使以下结论成立：
（1）$\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 连续；（2）$\displaystyle f_{x}(0,0), f_{y}(0,0)$ 存在；（3）$\displaystyle f_{x}(x, y), f_{y}(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 连续．
（2）设函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{p}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0,\end{array}\right.$ 试分别确定 $\displaystyle p$ 的值，使以下结论成立： （1）$\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 连续；（2）$\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 可微；（3）$\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 的方向导数存在．（折江大学 2014，沈阳工大 2014（ $\displaystyle p=2^{-1}$ ），长安大学 2007，江苏大学 2004）
（3）确定 $\displaystyle \beta$ 的值，使函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\beta} \sin \frac{1}{x^{4}+y^{4}}, x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 可微．
第24题未分类
24．设函数 $\displaystyle f(x ; y, z)=\left\{\begin{array}{l}\left(|x|^{\alpha}+|y|^{\beta}+|z|^{\gamma}\right) \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}, x^{2}+y^{2}+z^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}+z^{2}=0,\end{array}\right.$ 试证明：当 $\displaystyle \alpha>1$, $\displaystyle \beta>1, \gamma>1, f(x, y, z)$ 在点 $\displaystyle (0,0,0)$ 可微．
第28题证明题
28．研究或证明下列问题．
（1）设 $\displaystyle f(x, y)=|x-y| \varphi(x, y)$ ，其中 $\displaystyle \varphi(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 的某邻域内连续，证明：$\displaystyle \varphi(0,0)=0$ 是函
数 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处可微的充要条件，并求出函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处的全微分。
（2）设 $\displaystyle f(x, y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \varphi(x, y)$ ，其中 $\displaystyle \varphi(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 的某邻域内连续，证明：函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处可微的充要条件是 $\displaystyle \varphi(0,0)=0$ 。
（1）设 $\displaystyle f(x, y)=|x-y| \varphi(x, y)$ ，其中 $\displaystyle \varphi(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 的某邻域内连续，证明：$\displaystyle \varphi(0,0)=0$ 是函
数 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处可微的充要条件，并求出函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处的全微分。
（2）设 $\displaystyle f(x, y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \varphi(x, y)$ ，其中 $\displaystyle \varphi(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 的某邻域内连续，证明：函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处可微的充要条件是 $\displaystyle \varphi(0,0)=0$ 。
第29题证明题
29．设 $\displaystyle \varphi(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 连续，证明函数 $\displaystyle f(x, y)=(a x+b y) \varphi(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处可微，且 $\displaystyle d f(0,0)=\varphi(0,0)(a \Delta x+b \Delta y)$ ，其中 $\displaystyle a, b$ 为常数．
第45题证明题
45．证明下列各题．
（1）设 $\displaystyle D$ 为 $\displaystyle \mathbf{R}^{2}$ 上有光滑边界的闭区域，$\displaystyle f$ 是定义在 $\displaystyle D$ 上的实函数，试证明：若 $\displaystyle \iint_{D} f^{2}(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=0$ ，则 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle D$ 中的连续点的值为 0 ．
（2）$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}^{2}$ 上连续，$\displaystyle D_{r}\left(x_{0}, y_{0}\right)=\left\{(x, y) \mid\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2} \leqslant r^{2}\right\}$ ，若 $\displaystyle \forall\left(x_{0}, y_{0}\right), \forall r>0$ ， $\displaystyle \iint_{D_{r}} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=0$ ，则 $\displaystyle f(x, y)=0,(x, y) \in \mathbf{R}^{2}$ ．
（1）设 $\displaystyle D$ 为 $\displaystyle \mathbf{R}^{2}$ 上有光滑边界的闭区域，$\displaystyle f$ 是定义在 $\displaystyle D$ 上的实函数，试证明：若 $\displaystyle \iint_{D} f^{2}(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=0$ ，则 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle D$ 中的连续点的值为 0 ．
（2）$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}^{2}$ 上连续，$\displaystyle D_{r}\left(x_{0}, y_{0}\right)=\left\{(x, y) \mid\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2} \leqslant r^{2}\right\}$ ，若 $\displaystyle \forall\left(x_{0}, y_{0}\right), \forall r>0$ ， $\displaystyle \iint_{D_{r}} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=0$ ，则 $\displaystyle f(x, y)=0,(x, y) \in \mathbf{R}^{2}$ ．