二重积分的变量变换公式
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第8题计算题
8．积分区域 $\displaystyle D$ 由 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=x+y$ 所围成，计算下列二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D}(x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。．
（2） $\displaystyle \iint_{D} x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$. ．
（3） $\displaystyle \iint_{D}(x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
（1） $\displaystyle \iint_{D}(x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。．
（2） $\displaystyle \iint_{D} x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$. ．
（3） $\displaystyle \iint_{D}(x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
第8题计算题
8．计算下列三重积分．
（1） $\displaystyle \iiint_{V} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 是由 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 与 $\displaystyle z=0$ 所围成的 $\displaystyle x y$ 面以上部分．
（2） $\displaystyle \iiint_{V} f\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 为椭球体 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} \leqslant 1 .(f(t)=\sqrt{1-t}$ ：郑州大学 2007；$\displaystyle f(t)=t$ ：河南师大 2013，湖北大学 2007，山东大学 2007，河海大学 2006，南京农大 2009，海南师大 2012，陕西师大1997，矿业大学2010，曲阜师大 2009（ $\displaystyle a=b=c=1$ ）；$\displaystyle f(t)=\ln t$ ：广西民大 2010）
（3） $\displaystyle \iiint_{V}\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 为椭球体 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} \leqslant 1$ 在第一卦限的部分．（华中科技
（4） $\displaystyle \iiint_{V}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 为椭球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 的内部区域．
（1） $\displaystyle \iiint_{V} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 是由 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 与 $\displaystyle z=0$ 所围成的 $\displaystyle x y$ 面以上部分．
（2） $\displaystyle \iiint_{V} f\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 为椭球体 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} \leqslant 1 .(f(t)=\sqrt{1-t}$ ：郑州大学 2007；$\displaystyle f(t)=t$ ：河南师大 2013，湖北大学 2007，山东大学 2007，河海大学 2006，南京农大 2009，海南师大 2012，陕西师大1997，矿业大学2010，曲阜师大 2009（ $\displaystyle a=b=c=1$ ）；$\displaystyle f(t)=\ln t$ ：广西民大 2010）
（3） $\displaystyle \iiint_{V}\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 为椭球体 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} \leqslant 1$ 在第一卦限的部分．（华中科技
（4） $\displaystyle \iiint_{V}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 为椭球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 的内部区域．
第9题计算题
9．计算下列二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D} \sqrt{1-x^{2}-y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D: x^{2}+y^{2} \leqslant x$ 。
（2） $\displaystyle \iint_{D} \sqrt{9-x^{2}-y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid y \geqslant 0, x^{2}+y^{2} \leqslant 3 x\right\}$ 。
（3） $\displaystyle \iint_{D} \frac{\mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}} \sqrt{4-x^{2}-y^{2}}}$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由圆 $\displaystyle x^{2}+(y+1)^{2}=1$ 与直线 $\displaystyle y=-x$ 围成的小部分区域．
（4） $\displaystyle \iint_{D} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由曲线 $\displaystyle (x-a)^{2}+y^{2}=a^{2}(y>0),(x-2 a)^{2}+y^{2}=4 a^{2}(y>0)$ 及 $\displaystyle y=x$ 所围成的区域．
（1） $\displaystyle \iint_{D} \sqrt{1-x^{2}-y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D: x^{2}+y^{2} \leqslant x$ 。
（2） $\displaystyle \iint_{D} \sqrt{9-x^{2}-y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid y \geqslant 0, x^{2}+y^{2} \leqslant 3 x\right\}$ 。
（3） $\displaystyle \iint_{D} \frac{\mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}} \sqrt{4-x^{2}-y^{2}}}$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由圆 $\displaystyle x^{2}+(y+1)^{2}=1$ 与直线 $\displaystyle y=-x$ 围成的小部分区域．
（4） $\displaystyle \iint_{D} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由曲线 $\displaystyle (x-a)^{2}+y^{2}=a^{2}(y>0),(x-2 a)^{2}+y^{2}=4 a^{2}(y>0)$ 及 $\displaystyle y=x$ 所围成的区域．
第10题计算题
10．计算下列二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} \leqslant 1$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是以 $\displaystyle y=x, y=x+a, y=a$ 和 $\displaystyle y=3 a$ 为边的平行四边形．．
（3） $\displaystyle \iint_{D} y\left(1+x \mathrm{e}^{\frac{1}{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由直线 $\displaystyle y=x, y=-1, x=1$ 所围成的平面区域．
（1） $\displaystyle \iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} \leqslant 1$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是以 $\displaystyle y=x, y=x+a, y=a$ 和 $\displaystyle y=3 a$ 为边的平行四边形．．
（3） $\displaystyle \iint_{D} y\left(1+x \mathrm{e}^{\frac{1}{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由直线 $\displaystyle y=x, y=-1, x=1$ 所围成的平面区域．
第10题计算题
10．计算下列第二型曲线积分．
（1） $\displaystyle \int_{c} x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x$ ，其中 $\displaystyle C$ 为椭圆 $\displaystyle (x+2 y)^{2}+(3 x+2 y)^{2}=1$ ，方向为逆时针方向．
（2）$\displaystyle \oint_{L}(x+y) \mathrm{d} x-(x-y) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 为椭圆周 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ ．
（3）$\displaystyle \oint_{L}\left(x^{2}-2 y\right) \mathrm{d} x+\left(3 x+y \mathrm{e}^{y}\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 为由直线 $\displaystyle y=0, x+2 y=2$ 及圆弧 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1 (x \leqslant 0, y \geqslant 0)$ 所围区域 $\displaystyle D$ 的边界，积分方向取关于区域 $\displaystyle D$ 的正向．
（4） $\displaystyle \int_{L} x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x$ ，其中 $\displaystyle L: x^{2 n+1}+y^{2 n+1}=a x^{n} y^{n}, x>0, y>0$ ，逆时针方向。
（1） $\displaystyle \int_{c} x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x$ ，其中 $\displaystyle C$ 为椭圆 $\displaystyle (x+2 y)^{2}+(3 x+2 y)^{2}=1$ ，方向为逆时针方向．
（2）$\displaystyle \oint_{L}(x+y) \mathrm{d} x-(x-y) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 为椭圆周 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ ．
（3）$\displaystyle \oint_{L}\left(x^{2}-2 y\right) \mathrm{d} x+\left(3 x+y \mathrm{e}^{y}\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 为由直线 $\displaystyle y=0, x+2 y=2$ 及圆弧 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1 (x \leqslant 0, y \geqslant 0)$ 所围区域 $\displaystyle D$ 的边界，积分方向取关于区域 $\displaystyle D$ 的正向．
（4） $\displaystyle \int_{L} x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x$ ，其中 $\displaystyle L: x^{2 n+1}+y^{2 n+1}=a x^{n} y^{n}, x>0, y>0$ ，逆时针方向。
第11题证明题
11．设一元函数 $\displaystyle f(u)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上连续，证明：
$\displaystyle \iint_{D} f(x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\int_{-1}^{1} f(u) \mathrm{d} u$ ，其中 $\displaystyle D:|x|+|y| \leqslant 1$ 。南京财大 2009 ，重庆大学 2006 ，南京财大 2009 ，广西师大 2009，湖北大学 2009／2004／2003（ $\displaystyle f(t)=t^{2}$ ））
$\displaystyle \iint_{D} f(x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\int_{-1}^{1} f(u) \mathrm{d} u$ ，其中 $\displaystyle D:|x|+|y| \leqslant 1$ 。南京财大 2009 ，重庆大学 2006 ，南京财大 2009 ，广西师大 2009，湖北大学 2009／2004／2003（ $\displaystyle f(t)=t^{2}$ ））
第12题计算题
12．积分区域 $\displaystyle D$ 为 $\displaystyle \{(x, y) \| x|+|y| \leqslant 1\}$ ，计算下列二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D} \frac{x^{2}-y^{2}}{\sqrt{x+y+3}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{D} \frac{x^{2}-2 x y+y^{2}}{\sqrt{x+y+2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．（3） $\displaystyle \iint_{D}\left(x^{2}-y^{2}\right)^{p} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, p$ 是正整数．
（4） $\displaystyle \iint_{D} x^{2} y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
（5） $\displaystyle \iint_{D}\left(x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{e}^{(-x+y)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。．
（6） $\displaystyle \iint_{D}(2 x-y+1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（1） $\displaystyle \iint_{D} \frac{x^{2}-y^{2}}{\sqrt{x+y+3}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{D} \frac{x^{2}-2 x y+y^{2}}{\sqrt{x+y+2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．（3） $\displaystyle \iint_{D}\left(x^{2}-y^{2}\right)^{p} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, p$ 是正整数．
（4） $\displaystyle \iint_{D} x^{2} y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
（5） $\displaystyle \iint_{D}\left(x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{e}^{(-x+y)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。．
（6） $\displaystyle \iint_{D}(2 x-y+1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
第13题计算题
13．计算下列二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D}(x+y) \sin (x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x+y \leqslant \pi, 0 \leqslant x-y \leqslant \pi\}$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{D}(x+y) \cos (x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid 0 \leqslant x+y \leqslant \pi, 0 \leqslant x-y \leqslant \frac{\pi}{2}\right\}$ ．
（3） $\displaystyle \iint_{D} \mathrm{e}^{\frac{x-y}{x+y}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由直线 $\displaystyle x+y=a, x=0$ 及 $\displaystyle y=0$ 所围成的区域．$\displaystyle (a=1$ ：湖北大学 2005 ，华南理工 2011，北京科技 2009，青岛理工 2007，沈阳工大 2011，浙江大学，山西师大 2010 ，天津大学 $\displaystyle 2000 ; a=2$ ：南航 2007，燕山大学 2011，广州大学 2009）
（4） $\displaystyle \iint_{D} \cos \left(\frac{x-y}{x+y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由直线 $\displaystyle x+y=1, x=0$ 及 $\displaystyle y=0$ 所围成的区域．
（1） $\displaystyle \iint_{D}(x+y) \sin (x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x+y \leqslant \pi, 0 \leqslant x-y \leqslant \pi\}$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{D}(x+y) \cos (x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid 0 \leqslant x+y \leqslant \pi, 0 \leqslant x-y \leqslant \frac{\pi}{2}\right\}$ ．
（3） $\displaystyle \iint_{D} \mathrm{e}^{\frac{x-y}{x+y}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由直线 $\displaystyle x+y=a, x=0$ 及 $\displaystyle y=0$ 所围成的区域．$\displaystyle (a=1$ ：湖北大学 2005 ，华南理工 2011，北京科技 2009，青岛理工 2007，沈阳工大 2011，浙江大学，山西师大 2010 ，天津大学 $\displaystyle 2000 ; a=2$ ：南航 2007，燕山大学 2011，广州大学 2009）
（4） $\displaystyle \iint_{D} \cos \left(\frac{x-y}{x+y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由直线 $\displaystyle x+y=1, x=0$ 及 $\displaystyle y=0$ 所围成的区域．
第14题计算题
14．计算下列二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D} \mathrm{e}^{\frac{x}{x+y}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\{(x, y) \mid x+y \leqslant 1, x \geqslant 0, y \geqslant 0\}$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{D} \frac{(x+y) \ln \left(1+\frac{y}{x}\right)}{\sqrt{1-x-y}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由直线 $\displaystyle x+y=1$ 及两坐标轴围成的三角形区域．
（3） $\displaystyle \iint_{D} \mathrm{e}^{-(x+y)^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由直线 $\displaystyle x+y=1, x=0$ 及 $\displaystyle y=x$ 所围成的区域．
（4） $\displaystyle \iint_{D} \frac{(x+y)((\ln (x+y)-\ln y)}{\sqrt{2-x-y}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中区域 $\displaystyle D$ 为直线 $\displaystyle x=0, x+y=1, y=x$ 所围成的三角形
区域．
（1） $\displaystyle \iint_{D} \mathrm{e}^{\frac{x}{x+y}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\{(x, y) \mid x+y \leqslant 1, x \geqslant 0, y \geqslant 0\}$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{D} \frac{(x+y) \ln \left(1+\frac{y}{x}\right)}{\sqrt{1-x-y}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由直线 $\displaystyle x+y=1$ 及两坐标轴围成的三角形区域．
（3） $\displaystyle \iint_{D} \mathrm{e}^{-(x+y)^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由直线 $\displaystyle x+y=1, x=0$ 及 $\displaystyle y=x$ 所围成的区域．
（4） $\displaystyle \iint_{D} \frac{(x+y)((\ln (x+y)-\ln y)}{\sqrt{2-x-y}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中区域 $\displaystyle D$ 为直线 $\displaystyle x=0, x+y=1, y=x$ 所围成的三角形
区域．
第15题计算题
15．计算二重积分 $\displaystyle \iint_{D}\left[a_{1} a_{2} x^{2}+\left(a_{1} b_{2}+a_{2} b_{1}\right) x y+b_{1} b_{2} x^{2}\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 为
$\displaystyle \left(a_{1} x+b_{1} y+c_{1}\right)^{2}+\left(a_{2} x+b_{2} y+c_{2}\right)^{2} \leqslant h, a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2}, c_{1}, c_{2}$ 为常数，$\displaystyle a_{1} b_{2} \neq a_{2} b_{1}$ ，常数 $\displaystyle h>0$ ．
$\displaystyle \left(a_{1} x+b_{1} y+c_{1}\right)^{2}+\left(a_{2} x+b_{2} y+c_{2}\right)^{2} \leqslant h, a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2}, c_{1}, c_{2}$ 为常数，$\displaystyle a_{1} b_{2} \neq a_{2} b_{1}$ ，常数 $\displaystyle h>0$ ．
第16题计算题
16．设 $\displaystyle D$ 由 $\displaystyle x y=1, x y=2, x=y$ 及 $\displaystyle 4 x=y, x>0, y>0$ 围成，计算下列二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D} f(x y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{D} f(\sqrt{x y}) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
（1） $\displaystyle \iint_{D} f(x y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{D} f(\sqrt{x y}) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
第17题计算题
17．计算下列二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D} \ln \frac{y^{2}}{x} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由曲线 $\displaystyle y^{2}=b x, y^{2}=a x, x y=c, x y=d(0<a<b, 0<c<d)$ 围成的三角形．
（2） $\displaystyle \iint_{D} \frac{3 x}{y^{2}+x y^{3}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由 $\displaystyle x y=1, x y=3, y^{2}=x$ 及 $\displaystyle y^{2}=3 x$ 围成．
（3） $\displaystyle \iint_{D} \frac{y+x y^{3}}{x} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由 $\displaystyle x y=1, x y=3, y^{2}=x$ 及 $\displaystyle y^{2}=3 x$ 围成．
（4） $\displaystyle \iint_{D} \frac{1}{x y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由 $\displaystyle y^{2}=p x, y^{2}=q x, a y=x^{2}$ 及 $\displaystyle b y=x^{2}(0<a<b, 0<p<q)$ 围成．
（5） $\displaystyle \iint_{D} x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由 $\displaystyle x>0, y>0, y \leqslant x^{2} \leqslant 2 y, x \leqslant y^{2} \leqslant 2 x$ 围成．
（1） $\displaystyle \iint_{D} \ln \frac{y^{2}}{x} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由曲线 $\displaystyle y^{2}=b x, y^{2}=a x, x y=c, x y=d(0<a<b, 0<c<d)$ 围成的三角形．
（2） $\displaystyle \iint_{D} \frac{3 x}{y^{2}+x y^{3}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由 $\displaystyle x y=1, x y=3, y^{2}=x$ 及 $\displaystyle y^{2}=3 x$ 围成．
（3） $\displaystyle \iint_{D} \frac{y+x y^{3}}{x} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由 $\displaystyle x y=1, x y=3, y^{2}=x$ 及 $\displaystyle y^{2}=3 x$ 围成．
（4） $\displaystyle \iint_{D} \frac{1}{x y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由 $\displaystyle y^{2}=p x, y^{2}=q x, a y=x^{2}$ 及 $\displaystyle b y=x^{2}(0<a<b, 0<p<q)$ 围成．
（5） $\displaystyle \iint_{D} x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由 $\displaystyle x>0, y>0, y \leqslant x^{2} \leqslant 2 y, x \leqslant y^{2} \leqslant 2 x$ 围成．
第18题计算题
18．计算下列二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D} \frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^{4}}{x^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由 $\displaystyle x$ 轴，$\displaystyle y=x, \sqrt{x}+\sqrt{y}=1$ 及 $\displaystyle \sqrt{x}+\sqrt{y}=2$ 围成的有界闭区域．
（2） $\displaystyle \iint_{D}\left(\sqrt{\frac{x-c}{a}}+\sqrt{\frac{y-c}{b}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由 $\displaystyle \sqrt{\frac{x-c}{a}}+\sqrt{\frac{y-c}{b}}=1$ 和 $\displaystyle x=c, y=c$ 围成，$\displaystyle a, b, c>0$ ．
（3） $\displaystyle \iint_{D}(\sqrt{x}+\sqrt{y}) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由 $\displaystyle x=0, y=0, \sqrt{x}+\sqrt{y}=1$ 围成．
（4） $\displaystyle \iint_{D} \sqrt{\sqrt{x}+\sqrt{y}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由 $\displaystyle \sqrt{x}+\sqrt{y}=1, x=0, y=0$ 围成．
（1） $\displaystyle \iint_{D} \frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^{4}}{x^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由 $\displaystyle x$ 轴，$\displaystyle y=x, \sqrt{x}+\sqrt{y}=1$ 及 $\displaystyle \sqrt{x}+\sqrt{y}=2$ 围成的有界闭区域．
（2） $\displaystyle \iint_{D}\left(\sqrt{\frac{x-c}{a}}+\sqrt{\frac{y-c}{b}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由 $\displaystyle \sqrt{\frac{x-c}{a}}+\sqrt{\frac{y-c}{b}}=1$ 和 $\displaystyle x=c, y=c$ 围成，$\displaystyle a, b, c>0$ ．
（3） $\displaystyle \iint_{D}(\sqrt{x}+\sqrt{y}) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由 $\displaystyle x=0, y=0, \sqrt{x}+\sqrt{y}=1$ 围成．
（4） $\displaystyle \iint_{D} \sqrt{\sqrt{x}+\sqrt{y}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由 $\displaystyle \sqrt{x}+\sqrt{y}=1, x=0, y=0$ 围成．
第18题求解题
18．求立体的体积．
（1）求由椭圆抛物面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{12}+\frac{y^{2}}{36} \leqslant 2 z$ 和 $\displaystyle \frac{x^{2}}{6}+\frac{y^{2}}{12} \leqslant 2(2-z)$ 所围成的区域的体积．
（2）求由椭球 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 与锥面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=0(z \geqslant 0)$ 所围成的立体的体积．
（3）用两种方法求椭球 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} \leqslant 1$ 的体积．（扬州大学 2005 ，中科大－中科院 2006，南京大学 1998（ $\displaystyle a=1 / 2, b=c=1$ ），矿业大学 2006）
（4）求由曲面 $\displaystyle \left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\right)^{2}=\frac{x}{h}(a>0, b>0, c>0, h>0)$ 所围成的区域的体积．
（5）计算由曲面 $\displaystyle \left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\right)^{2}=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}$ 所围成的立体的体积．（华南理 $\displaystyle I ~ 2008$ ，太原科技 $\displaystyle 2007 / 2010$ ，重庆大学 2005，湖南农大 2010，电子科技 2001，重庆师大 2004（ $\displaystyle a=b=c=1$ ））
（6）求由曲面 $\displaystyle \left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\right)^{3}=\frac{x y z}{a b c}$ 所围成的立体的体积。
（7）求由曲面 $\displaystyle \left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\right)^{2}+\left(\frac{z}{c}\right)^{2}=1(x \geqslant 0, y \geqslant 0, z \geqslant 0, a>0, b>0, c>0)$ 所围成的几何体的体积，其中 $\displaystyle a, b, c$ 均为正常数
（8）求由曲面 $\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}+z^{4}=y$ 所围成的几何体的体积．
（9）求由曲面 $\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}=a^{2}\left(x^{2}+y^{2}-z^{2}\right)(a>0)$ 所围成的立体的体积．
（1）求由椭圆抛物面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{12}+\frac{y^{2}}{36} \leqslant 2 z$ 和 $\displaystyle \frac{x^{2}}{6}+\frac{y^{2}}{12} \leqslant 2(2-z)$ 所围成的区域的体积．
（2）求由椭球 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 与锥面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=0(z \geqslant 0)$ 所围成的立体的体积．
（3）用两种方法求椭球 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} \leqslant 1$ 的体积．（扬州大学 2005 ，中科大－中科院 2006，南京大学 1998（ $\displaystyle a=1 / 2, b=c=1$ ），矿业大学 2006）
（4）求由曲面 $\displaystyle \left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\right)^{2}=\frac{x}{h}(a>0, b>0, c>0, h>0)$ 所围成的区域的体积．
（5）计算由曲面 $\displaystyle \left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\right)^{2}=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}$ 所围成的立体的体积．（华南理 $\displaystyle I ~ 2008$ ，太原科技 $\displaystyle 2007 / 2010$ ，重庆大学 2005，湖南农大 2010，电子科技 2001，重庆师大 2004（ $\displaystyle a=b=c=1$ ））
（6）求由曲面 $\displaystyle \left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\right)^{3}=\frac{x y z}{a b c}$ 所围成的立体的体积。
（7）求由曲面 $\displaystyle \left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\right)^{2}+\left(\frac{z}{c}\right)^{2}=1(x \geqslant 0, y \geqslant 0, z \geqslant 0, a>0, b>0, c>0)$ 所围成的几何体的体积，其中 $\displaystyle a, b, c$ 均为正常数
（8）求由曲面 $\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}+z^{4}=y$ 所围成的几何体的体积．
（9）求由曲面 $\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}=a^{2}\left(x^{2}+y^{2}-z^{2}\right)(a>0)$ 所围成的立体的体积．
第26题证明题
26．证明下列命题，并计算二重积分．
（1）证明： $\displaystyle \iint_{S} f(a x+b y+c) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=2 \int_{-1}^{1} \sqrt{1-u^{2}} f\left(u \sqrt{a^{2}+b^{2}}+c\right) \mathrm{d} u$ ，其中 $\displaystyle S: x^{2}+y^{2} \leqslant 1, a^{2}+b^{2} \neq 0$ ． $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-3,3]$ 上连续．
（2）计算 $\displaystyle \iint_{D}|x-y| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}$ 。
（3）计算 $\displaystyle \iint_{D}|3 x+4 y| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ ．
（4）计算 $\displaystyle \iint_{D}|3 x+4 y| \mathrm{e}^{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ ．
（1）证明： $\displaystyle \iint_{S} f(a x+b y+c) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=2 \int_{-1}^{1} \sqrt{1-u^{2}} f\left(u \sqrt{a^{2}+b^{2}}+c\right) \mathrm{d} u$ ，其中 $\displaystyle S: x^{2}+y^{2} \leqslant 1, a^{2}+b^{2} \neq 0$ ． $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-3,3]$ 上连续．
（2）计算 $\displaystyle \iint_{D}|x-y| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}$ 。
（3）计算 $\displaystyle \iint_{D}|3 x+4 y| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ ．
（4）计算 $\displaystyle \iint_{D}|3 x+4 y| \mathrm{e}^{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ ．
第27题证明题
27．证明下列结论。
（1）设 $\displaystyle L$ 为正方形区域 $\displaystyle D: 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1$ 的正向边界，$\displaystyle f(x)$ 为正连续函数，证明：
$$
I=\oint_{L} x f(y) \mathrm{d} y-\frac{y}{f(x)} \mathrm{d} x \geqslant 2
$$
．
（2）设 $\displaystyle D$ 为由两条直线 $\displaystyle y=x, y=4 x$ 和两条双曲线 $\displaystyle x y=1, x y=4$ 在第一象限所围成的区域，$\displaystyle F(u)$ 是具有连续导数的一元函数，记 $\displaystyle f(u)=F^{\prime}(u)$ ，证明： $\displaystyle \int_{\partial D} \frac{F(x y)}{y} \mathrm{~d} y=\ln 2 \int_{1}^{4} f(u) \mathrm{d} u$ 。其中 $\displaystyle \partial D$为区域 $\displaystyle D$ 的边界，逆时针方向．
（3）设区域 $\displaystyle D \subset \mathbf{R}^{2}$ 关于直线 $\displaystyle y=x$ 对称，面积为 2 ，函数 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上的连续正函数，$\displaystyle a-b=2011$ ，求 $\displaystyle \int_{\partial D}\left(\int_{0}^{y} \frac{b f(t)}{f(x)+f(t)} \mathrm{d} t\right) \mathrm{d} x+\left(\int_{0}^{x} \frac{a f(t)}{f(y)+f(t)} \mathrm{d} t\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle \partial D$ 为 $\displaystyle D$ 的边界，取逆时针方向．
（1）设 $\displaystyle L$ 为正方形区域 $\displaystyle D: 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1$ 的正向边界，$\displaystyle f(x)$ 为正连续函数，证明：
$$
I=\oint_{L} x f(y) \mathrm{d} y-\frac{y}{f(x)} \mathrm{d} x \geqslant 2
$$
．
（2）设 $\displaystyle D$ 为由两条直线 $\displaystyle y=x, y=4 x$ 和两条双曲线 $\displaystyle x y=1, x y=4$ 在第一象限所围成的区域，$\displaystyle F(u)$ 是具有连续导数的一元函数，记 $\displaystyle f(u)=F^{\prime}(u)$ ，证明： $\displaystyle \int_{\partial D} \frac{F(x y)}{y} \mathrm{~d} y=\ln 2 \int_{1}^{4} f(u) \mathrm{d} u$ 。其中 $\displaystyle \partial D$为区域 $\displaystyle D$ 的边界，逆时针方向．
（3）设区域 $\displaystyle D \subset \mathbf{R}^{2}$ 关于直线 $\displaystyle y=x$ 对称，面积为 2 ，函数 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上的连续正函数，$\displaystyle a-b=2011$ ，求 $\displaystyle \int_{\partial D}\left(\int_{0}^{y} \frac{b f(t)}{f(x)+f(t)} \mathrm{d} t\right) \mathrm{d} x+\left(\int_{0}^{x} \frac{a f(t)}{f(y)+f(t)} \mathrm{d} t\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle \partial D$ 为 $\displaystyle D$ 的边界，取逆时针方向．
第29题证明题
29．证明下列命题（Schwarz 不等式的应用）．
（1）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle f(x)>0$ ．证明 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \int_{a}^{b} \frac{1}{f(x)} \mathrm{d} x \geqslant(b-a)^{2}$ ．（扬州大学 2005，北京理工 2005，浙江师大 2005，山东大学 2000／2002，浙江理工 2009，计量学院 2009，青岛大学 2010，广西大学 2007，中科院 1999，哈工大，北京科技 $\displaystyle 2003([a, b]=[0,1])$ ，北京工大 $\displaystyle 2004([a, b]=[0,1])$ ，上海理工 $\displaystyle \left.2003\left(f(x)=\mathrm{e}^{x^{2}}\right)\right) \quad$ 。
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，证明 $\displaystyle \left(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right)^{2} \leqslant(b-a) \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x$ 。
（3）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，证明 $\displaystyle \iint_{D} \frac{f(x)}{f(y)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \geqslant(b-a)^{2}$ ，其中 $\displaystyle D=[a, b] \times[a, b]$ ．
（4）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，证明 $\displaystyle \iint_{D} \mathrm{e}^{f(x)-f(y)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \geqslant(b-a)^{2}$ ，其中 $\displaystyle D=[a, b] \times[a, b]$ ．
（5）证明 $\displaystyle \int_{0}^{\pi} x \mathrm{e}^{\sin x} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{e}^{-\cos x} \mathrm{~d} x \geqslant \frac{\pi}{4}$ ．
（1）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle f(x)>0$ ．证明 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \int_{a}^{b} \frac{1}{f(x)} \mathrm{d} x \geqslant(b-a)^{2}$ ．（扬州大学 2005，北京理工 2005，浙江师大 2005，山东大学 2000／2002，浙江理工 2009，计量学院 2009，青岛大学 2010，广西大学 2007，中科院 1999，哈工大，北京科技 $\displaystyle 2003([a, b]=[0,1])$ ，北京工大 $\displaystyle 2004([a, b]=[0,1])$ ，上海理工 $\displaystyle \left.2003\left(f(x)=\mathrm{e}^{x^{2}}\right)\right) \quad$ 。
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，证明 $\displaystyle \left(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right)^{2} \leqslant(b-a) \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x$ 。
（3）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，证明 $\displaystyle \iint_{D} \frac{f(x)}{f(y)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \geqslant(b-a)^{2}$ ，其中 $\displaystyle D=[a, b] \times[a, b]$ ．
（4）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，证明 $\displaystyle \iint_{D} \mathrm{e}^{f(x)-f(y)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \geqslant(b-a)^{2}$ ，其中 $\displaystyle D=[a, b] \times[a, b]$ ．
（5）证明 $\displaystyle \int_{0}^{\pi} x \mathrm{e}^{\sin x} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{e}^{-\cos x} \mathrm{~d} x \geqslant \frac{\pi}{4}$ ．
第35题计算题
35．计算下列曲线积分．
（1）$\displaystyle \oint_{L} \frac{-y \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y}{\left((\alpha x+\beta y)^{2}+(r x+\delta y)^{2}\right)^{a}},|\alpha \delta-\beta r| \neq 0$ ，其中 $\displaystyle L$ 为椭圆，$\displaystyle (\alpha x+\beta y)^{2}+(r x+\delta y)^{2}=1$ ，取逆时针方向．
（2） $\displaystyle \int_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{A x^{2}+2 B x y+C y^{2}}$ ，$\displaystyle L$ 为圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}$ 的逆时针方向．（哈工大 2003，重庆大学 2013（A＝1））
（3） $\displaystyle \int_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{(x+y)^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为单位圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 的正向．
（4） $\displaystyle \int_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^{2}+x y+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为逆时针方向的圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ ．
（5）$\displaystyle I=\frac{1}{2 \pi} \int_{L} \frac{X \mathrm{~d} Y-Y \mathrm{~d} X}{X^{2}+Y^{2}}$ ，其中：$\displaystyle X=a x+b y, Y=c x+e y, L$ 为包围原点的简单闭曲线 $\displaystyle (a e-c b \neq 0)$ ．
（1）$\displaystyle \oint_{L} \frac{-y \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y}{\left((\alpha x+\beta y)^{2}+(r x+\delta y)^{2}\right)^{a}},|\alpha \delta-\beta r| \neq 0$ ，其中 $\displaystyle L$ 为椭圆，$\displaystyle (\alpha x+\beta y)^{2}+(r x+\delta y)^{2}=1$ ，取逆时针方向．
（2） $\displaystyle \int_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{A x^{2}+2 B x y+C y^{2}}$ ，$\displaystyle L$ 为圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}$ 的逆时针方向．（哈工大 2003，重庆大学 2013（A＝1））
（3） $\displaystyle \int_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{(x+y)^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为单位圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 的正向．
（4） $\displaystyle \int_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^{2}+x y+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为逆时针方向的圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ ．
（5）$\displaystyle I=\frac{1}{2 \pi} \int_{L} \frac{X \mathrm{~d} Y-Y \mathrm{~d} X}{X^{2}+Y^{2}}$ ，其中：$\displaystyle X=a x+b y, Y=c x+e y, L$ 为包围原点的简单闭曲线 $\displaystyle (a e-c b \neq 0)$ ．
第39题求解题
39．求平面区域的面积．
（1）求由抛物线 $\displaystyle y^{2}=p x, y^{2}=q x(0<p<q)$ 及双曲线 $\displaystyle x y=a, x y=b(0<a<b)$ 所围成的平面区域 $\displaystyle D$ 的面积 $\displaystyle A$ ．
（2）求由曲线 $\displaystyle y^{2}=2 p x, y^{2}=2 q x, x^{2}=2 r y, x^{2}=2 s y$ 所围成的平面区域 $\displaystyle D$ 的面积 $\displaystyle (0<p<q, 0<r<s)$ ．
（3）求由曲线 $\displaystyle x y=4, x y=8, x y^{3}=5, x y^{3}=15$ 所围成的区域的面积．
（4）用二重积分变量替换公式计算抛物线 $\displaystyle y^{2}=m x, y^{2}=n x$ 及直线 $\displaystyle y=\alpha x, y=\beta x$ 所围成的区域的面积．其中 $\displaystyle 0<m<n, 0<\alpha<\beta$ ．
（5）已知 $\displaystyle 0<a<b, 0<p<q$ ，求由双曲线 $\displaystyle x y=p, x y=q$ 及直线 $\displaystyle y=a x, y=b x$ 在第一象限所围成的图形的面积．
（6）求由椭圆 $\displaystyle \left(a_{1} x+b_{1} y+c_{1}\right)^{2}+\left(a_{2} x+b_{2} y+c_{2}\right)^{2}=1$ 所围成的区域的面积，其中 $\displaystyle a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1} \neq 0$ ．
（7）求由椭圆 $\displaystyle A x^{2}+2 B x y+C y^{2}=1$ 所围成的面积 $\displaystyle S$ ，其中 $\displaystyle A, C>0, A C-B^{2}>0, A, B, C$ 均为常数．
（8）求由下列曲线所围成的面积：$\displaystyle \left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}\right)^{2}=\frac{x^{2} y}{c^{3}}$ ．
（9）求区域 $\displaystyle x^{2}+y^{2} \geqslant a^{2}$ 围于曲线 $\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=2 a^{2}\left(x^{2}-y^{2}\right)$ 内部之部分的面积．
（10）求由曲线 $\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=2 a^{2}\left(x^{2}-y^{2}\right)$ 所围成的区域的面积．
（1）求由抛物线 $\displaystyle y^{2}=p x, y^{2}=q x(0<p<q)$ 及双曲线 $\displaystyle x y=a, x y=b(0<a<b)$ 所围成的平面区域 $\displaystyle D$ 的面积 $\displaystyle A$ ．
（2）求由曲线 $\displaystyle y^{2}=2 p x, y^{2}=2 q x, x^{2}=2 r y, x^{2}=2 s y$ 所围成的平面区域 $\displaystyle D$ 的面积 $\displaystyle (0<p<q, 0<r<s)$ ．
（3）求由曲线 $\displaystyle x y=4, x y=8, x y^{3}=5, x y^{3}=15$ 所围成的区域的面积．
（4）用二重积分变量替换公式计算抛物线 $\displaystyle y^{2}=m x, y^{2}=n x$ 及直线 $\displaystyle y=\alpha x, y=\beta x$ 所围成的区域的面积．其中 $\displaystyle 0<m<n, 0<\alpha<\beta$ ．
（5）已知 $\displaystyle 0<a<b, 0<p<q$ ，求由双曲线 $\displaystyle x y=p, x y=q$ 及直线 $\displaystyle y=a x, y=b x$ 在第一象限所围成的图形的面积．
（6）求由椭圆 $\displaystyle \left(a_{1} x+b_{1} y+c_{1}\right)^{2}+\left(a_{2} x+b_{2} y+c_{2}\right)^{2}=1$ 所围成的区域的面积，其中 $\displaystyle a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1} \neq 0$ ．
（7）求由椭圆 $\displaystyle A x^{2}+2 B x y+C y^{2}=1$ 所围成的面积 $\displaystyle S$ ，其中 $\displaystyle A, C>0, A C-B^{2}>0, A, B, C$ 均为常数．
（8）求由下列曲线所围成的面积：$\displaystyle \left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}\right)^{2}=\frac{x^{2} y}{c^{3}}$ ．
（9）求区域 $\displaystyle x^{2}+y^{2} \geqslant a^{2}$ 围于曲线 $\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=2 a^{2}\left(x^{2}-y^{2}\right)$ 内部之部分的面积．
（10）求由曲线 $\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=2 a^{2}\left(x^{2}-y^{2}\right)$ 所围成的区域的面积．
第45题求解题
45．设 $\displaystyle f(x, y)$ 在圆盘 $\displaystyle x^{2}+y^{2} \leqslant 1$ 上有连续的偏导数，且 $\displaystyle f(x, y)$ 在其边界上为 0 ．求证：
$\displaystyle f(0,0)=-\lim _{\varepsilon \rightarrow 0} \frac{1}{2 \pi} \iint_{S_{c}} \frac{f_{x} x+f_{y} y}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S_{\varepsilon}=\left\{(x, y): \varepsilon^{2} \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ 。
$\displaystyle f(0,0)=-\lim _{\varepsilon \rightarrow 0} \frac{1}{2 \pi} \iint_{S_{c}} \frac{f_{x} x+f_{y} y}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S_{\varepsilon}=\left\{(x, y): \varepsilon^{2} \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ 。
第47题计算题
47．设函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在区域 $\displaystyle D: x^{2}+y^{2} \leqslant 1$ 上二次连续可微．试在下列条件下计算积分：
$$
\iint_{x^{2}+y^{2}<1}\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \frac{\partial f}{\partial x}+\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \frac{\partial f}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y .
$$
（1）$\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=x^{2}+y^{2}$ ．
（2）$\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}$ ．
（3）$\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=x^{2} y^{2}$ ．
$$
\iint_{x^{2}+y^{2}<1}\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \frac{\partial f}{\partial x}+\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \frac{\partial f}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y .
$$
（1）$\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=x^{2}+y^{2}$ ．
（2）$\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}$ ．
（3）$\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=x^{2} y^{2}$ ．
第49题计算题
49．计算下列积分．
（1） $\displaystyle \iint_{R^{2}} \mathrm{e}^{-\left(2 x^{2}+2 x y+y^{2}\right)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{R^{2}} \mathrm{e}^{-\left(x^{2}+x y+y^{2}\right)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
（3） $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-\left[x^{2}+(y-x)^{2}+y^{2}\right]} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
（1） $\displaystyle \iint_{R^{2}} \mathrm{e}^{-\left(2 x^{2}+2 x y+y^{2}\right)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{R^{2}} \mathrm{e}^{-\left(x^{2}+x y+y^{2}\right)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
（3） $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-\left[x^{2}+(y-x)^{2}+y^{2}\right]} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．