二重积分的定义及其存在性

18．设 $\displaystyle L$ 是 $\displaystyle x y$ 平面上的任意闭曲线，$\displaystyle L$ 所围成的面积为 $\displaystyle S$ ，且在曲线 $\displaystyle L$ 上满足条件 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=-\frac{\mathrm{e}^{y}+2 x+3 y}{\mathrm{e}^{x}+x+y}$ ．试求 $\displaystyle \int_{L} \mathrm{e}^{y} \mathrm{~d} x+\mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 取逆时针方向．

27．证明下列结论。
（1）设 $\displaystyle L$ 为正方形区域 $\displaystyle D: 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1$ 的正向边界，$\displaystyle f(x)$ 为正连续函数，证明：

$$
I=\oint_{L} x f(y) \mathrm{d} y-\frac{y}{f(x)} \mathrm{d} x \geqslant 2
$$

．
（2）设 $\displaystyle D$ 为由两条直线 $\displaystyle y=x, y=4 x$ 和两条双曲线 $\displaystyle x y=1, x y=4$ 在第一象限所围成的区域，$\displaystyle F(u)$ 是具有连续导数的一元函数，记 $\displaystyle f(u)=F^{\prime}(u)$ ，证明： $\displaystyle \int_{\partial D} \frac{F(x y)}{y} \mathrm{~d} y=\ln 2 \int_{1}^{4} f(u) \mathrm{d} u$ 。其中 $\displaystyle \partial D$为区域 $\displaystyle D$ 的边界，逆时针方向．
（3）设区域 $\displaystyle D \subset \mathbf{R}^{2}$ 关于直线 $\displaystyle y=x$ 对称，面积为 2 ，函数 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上的连续正函数，$\displaystyle a-b=2011$ ，求 $\displaystyle \int_{\partial D}\left(\int_{0}^{y} \frac{b f(t)}{f(x)+f(t)} \mathrm{d} t\right) \mathrm{d} x+\left(\int_{0}^{x} \frac{a f(t)}{f(y)+f(t)} \mathrm{d} t\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle \partial D$ 为 $\displaystyle D$ 的边界，取逆时针方向．

43．设 $\displaystyle D$ 是平面上的有界单连通区域，简单光滑曲线 $\displaystyle L$ 为其边界曲线，$\displaystyle u(x, y)$ 在 $\displaystyle \bar{D}$ 上有二阶连续偏导数，且在 $\displaystyle D$ 内满足 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} \equiv 0 .\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为 $\displaystyle D$ 内任意一点，定义函数 $\displaystyle r=r(x, y)=\sqrt{\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}},(x, y) \in \bar{D}$ 。
（1）设 $\displaystyle L_{\varepsilon}$ 是以 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为圆心，$\displaystyle \varepsilon$ 为半径且含在 $\displaystyle D$ 内的正向圆周，$\displaystyle n$ 为 $\displaystyle L_{\varepsilon}$ 上点 $\displaystyle (x, y)$ 处的外法线向量，$\displaystyle I_{\varepsilon}=\frac{1}{2 \pi} \oint_{L_{\varepsilon}}\left(u(x, y) \frac{\partial \ln r}{\partial n}-\ln r \frac{\partial u}{\partial n}\right) \mathrm{d} s$ ，其中 $\displaystyle s$ 为 $\displaystyle L_{\varepsilon}$ 的弧长变量。证明： $\displaystyle \lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} I_{\varepsilon}=u\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ．
（2）证明：$\displaystyle u\left(x_{0}, y_{0}\right)=\frac{1}{2 \pi} \oint_{L}\left(u(x, y) \frac{\partial \ln r}{\partial n}-\ln r \frac{\partial u}{\partial n}\right) \mathrm{ds}$ ，其中 $\displaystyle n$ 为 $\displaystyle L$ 上点 $\displaystyle (x, y)$ 处的外法线向量， $\displaystyle s$ 为 $\displaystyle L$ 的弧长变量．

46．设 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D: x^{2}+y^{2} \leqslant 1$ 上二次连续可微，证明下列结论．
（1）若 $\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=\mathrm{e}^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}$ 。令 $\displaystyle x=r \cos \theta, y=r \sin \theta, n$ 为正向圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}$ 上任意一点的外法线方向， $\displaystyle 0<r<1$ ，求证： $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} \frac{\partial f}{\partial r} r \mathrm{~d} \theta=\oint_{x^{2}+y^{2}=r^{2}} \frac{\partial f}{\partial n} \mathrm{~d} s=\pi\left(1-\mathrm{e}^{-r^{2}}\right)$ ．
（2）若 $\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=\cos \left(\pi\left(x^{2}+y^{2}\right)\right)$ ，求证： $\displaystyle \iint_{D}\left(x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\frac{1}{\pi}$ ．若 $\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=\mathrm{e}^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}$ ，证明： $\displaystyle \iint_{D}^{1}\left(x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\frac{\pi}{2 \mathrm{e}}$ ．

53．设连续函数序列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x, y)\right\}$ 在有界闭区域 $\displaystyle D$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x, y)$ ，证明：

$$
\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\lim _{n \rightarrow \infty} \iint_{D} f_{n}(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y . \text { }
$$