二重积分的性质
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第1题计算题
1．计算下列二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D} \frac{x^{2}}{y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由直线 $\displaystyle y=2, y=x$ 和曲线 $\displaystyle x y=1$ 所围成。
（2） $\displaystyle \iint_{D} \frac{x^{2}}{y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中区域 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid 1 \leqslant x \leqslant 2, \frac{1}{x} \leqslant y \leqslant x\right\}$ ．
（3） $\displaystyle \iint_{D} \ln \frac{x^{3}}{y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由 $\displaystyle x=y, y=1, x=2$ 围成的三角形．
（4） $\displaystyle \iint_{D} \ln \frac{y}{x^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由 $\displaystyle x=y, y=1, x=2$ 围成的三角形．
（5） $\displaystyle \iint_{D} \frac{1}{y^{2}+x} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由直线 $\displaystyle y=x, y=1$ 及 $\displaystyle x=0$ 围成。．
（6）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [-1,1]$ 上连续且为奇函数，区域 $\displaystyle D$ 由曲线 $\displaystyle y=4-x^{2}$ 与 $\displaystyle y=-3 x, x=1$ 所围成，求 $\displaystyle I=\iint_{D}\left(1+f(x) \ln \left(y+\sqrt{1+y^{2}}\right)\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（7） $\displaystyle \iint_{D} x\left(1+y f\left(x^{2}+y^{2}\right)\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中区域 $\displaystyle D$ 由曲线 $\displaystyle y=x^{3}$ 与 $\displaystyle x=-1, y=1$ 所围成，$\displaystyle f(x)$ 为实值连续函数．
（8） $\displaystyle \iint_{D}\left(x^{2} y+y^{3} \sqrt{x^{2}+y^{2}}+x \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D: x^{2}+y^{2} \leqslant a x$ 。挻安大学 2000）
（1） $\displaystyle \iint_{D} \frac{x^{2}}{y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由直线 $\displaystyle y=2, y=x$ 和曲线 $\displaystyle x y=1$ 所围成。
（2） $\displaystyle \iint_{D} \frac{x^{2}}{y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中区域 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid 1 \leqslant x \leqslant 2, \frac{1}{x} \leqslant y \leqslant x\right\}$ ．
（3） $\displaystyle \iint_{D} \ln \frac{x^{3}}{y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由 $\displaystyle x=y, y=1, x=2$ 围成的三角形．
（4） $\displaystyle \iint_{D} \ln \frac{y}{x^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由 $\displaystyle x=y, y=1, x=2$ 围成的三角形．
（5） $\displaystyle \iint_{D} \frac{1}{y^{2}+x} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由直线 $\displaystyle y=x, y=1$ 及 $\displaystyle x=0$ 围成。．
（6）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [-1,1]$ 上连续且为奇函数，区域 $\displaystyle D$ 由曲线 $\displaystyle y=4-x^{2}$ 与 $\displaystyle y=-3 x, x=1$ 所围成，求 $\displaystyle I=\iint_{D}\left(1+f(x) \ln \left(y+\sqrt{1+y^{2}}\right)\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（7） $\displaystyle \iint_{D} x\left(1+y f\left(x^{2}+y^{2}\right)\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中区域 $\displaystyle D$ 由曲线 $\displaystyle y=x^{3}$ 与 $\displaystyle x=-1, y=1$ 所围成，$\displaystyle f(x)$ 为实值连续函数．
（8） $\displaystyle \iint_{D}\left(x^{2} y+y^{3} \sqrt{x^{2}+y^{2}}+x \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D: x^{2}+y^{2} \leqslant a x$ 。挻安大学 2000）
第2题计算题
2．计算下列二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D} x^{2} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由直线 $\displaystyle x=0, y=1$ 及 $\displaystyle y=x$ 围成。曲阜师大 2007，矿业大学 2004，深圳大学 2006，东南大学 2008）
（2） $\displaystyle \iint_{D} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由直线 $\displaystyle y=x, x=0$ 及 $\displaystyle y=1$ 围成。
（3） $\displaystyle \iint_{D} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由平面上曲线 $\displaystyle y=x$ 与 $\displaystyle y=x^{\frac{1}{3}}$ 围成的有界闭区域。武汉大学1992）分析：由于被积函数 $\displaystyle \mathrm{e}^{-y^{2}}$ 的原函数不能用初等函数表示，所以应化为先 $\displaystyle x$ 后 $\displaystyle y$ 的二次积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D} x^{2} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由直线 $\displaystyle x=0, y=1$ 及 $\displaystyle y=x$ 围成。曲阜师大 2007，矿业大学 2004，深圳大学 2006，东南大学 2008）
（2） $\displaystyle \iint_{D} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由直线 $\displaystyle y=x, x=0$ 及 $\displaystyle y=1$ 围成。
（3） $\displaystyle \iint_{D} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由平面上曲线 $\displaystyle y=x$ 与 $\displaystyle y=x^{\frac{1}{3}}$ 围成的有界闭区域。武汉大学1992）分析：由于被积函数 $\displaystyle \mathrm{e}^{-y^{2}}$ 的原函数不能用初等函数表示，所以应化为先 $\displaystyle x$ 后 $\displaystyle y$ 的二次积分．
第3题计算题
3．计算下列二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D} \frac{\sin y}{y} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $\displaystyle D$ 由直线 $\displaystyle x=0, y=x$ 及 $\displaystyle y=\frac{\pi}{2}$ 所围成．
（2） $\displaystyle \iint_{D} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $\displaystyle D$ 由直线 $\displaystyle y=0, y=x$ 及 $\displaystyle x=\pi$ 所围成。．
（3） $\displaystyle \iint_{D} \frac{\sin y}{y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由 $\displaystyle y=x, y=1, x=0$ 围成的区域．
（4） $\displaystyle \iint_{D} \frac{\sin y}{y} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由直线 $\displaystyle y=x$ 及抛物线 $\displaystyle x=y^{2}$ 围成的区域。
（5） $\displaystyle \iint_{D} \frac{\sin y \cos y}{y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由直线 $\displaystyle y=x$ 与抛物线 $\displaystyle x=y^{2}$ 所围成的区域．
（6） $\displaystyle \iint_{D} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $\displaystyle D$ 由 $\displaystyle y=x^{2}, x=1$ 及 $\displaystyle x$ 轴围成。
分析：由于被积函数 $\displaystyle \frac{\sin y}{y}$ 的原函数不能用初等函数表示，所以应化为先对 $\displaystyle x$ 后对 $\displaystyle y$ 的二次积分．同理被积函数 $\displaystyle \frac{\sin x}{x}$ 的原函数也不能用初等函数表示，应化为先对 $\displaystyle y$ 后对 $\displaystyle x$ 的二次积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D} \frac{\sin y}{y} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $\displaystyle D$ 由直线 $\displaystyle x=0, y=x$ 及 $\displaystyle y=\frac{\pi}{2}$ 所围成．
（2） $\displaystyle \iint_{D} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $\displaystyle D$ 由直线 $\displaystyle y=0, y=x$ 及 $\displaystyle x=\pi$ 所围成。．
（3） $\displaystyle \iint_{D} \frac{\sin y}{y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由 $\displaystyle y=x, y=1, x=0$ 围成的区域．
（4） $\displaystyle \iint_{D} \frac{\sin y}{y} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由直线 $\displaystyle y=x$ 及抛物线 $\displaystyle x=y^{2}$ 围成的区域。
（5） $\displaystyle \iint_{D} \frac{\sin y \cos y}{y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由直线 $\displaystyle y=x$ 与抛物线 $\displaystyle x=y^{2}$ 所围成的区域．
（6） $\displaystyle \iint_{D} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $\displaystyle D$ 由 $\displaystyle y=x^{2}, x=1$ 及 $\displaystyle x$ 轴围成。
分析：由于被积函数 $\displaystyle \frac{\sin y}{y}$ 的原函数不能用初等函数表示，所以应化为先对 $\displaystyle x$ 后对 $\displaystyle y$ 的二次积分．同理被积函数 $\displaystyle \frac{\sin x}{x}$ 的原函数也不能用初等函数表示，应化为先对 $\displaystyle y$ 后对 $\displaystyle x$ 的二次积分．
第5题计算题
5．计算下列二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D} \frac{1+x y}{1+x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，区域 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1, x \geqslant 0\right\}$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{D} \frac{x y}{1+x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D: x^{2}+y^{2} \leqslant 1, x \geqslant 0$ ．
（3） $\displaystyle \iint_{D} \frac{1+x y}{\sqrt{1+x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1, y \geqslant 0\right\}$ ．
（4） $\displaystyle \iint_{D} \sqrt{x^{9} y^{7}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D: x^{2}+y^{2} \leqslant 1, x \geqslant 0, y \geqslant 0$ ．
（5） $\displaystyle \iint_{D} x y \mathrm{e}^{-x^{2}-y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D: x^{2}+y^{2} \leqslant 1$ 在第一象限的区域．
（6） $\displaystyle \iint_{D} \frac{x^{2}}{y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由曲线 $\displaystyle y=|x|, x^{2}+y^{2}=1$ 及 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=4$ 围成且 $\displaystyle D$ 在 $\displaystyle x$ 轴上方。
（7） $\displaystyle \iint_{D} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, a<b$ 其中 $\displaystyle D: a^{2} \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant b^{2}$ ．
（8） $\displaystyle \iint_{D} \sin \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D: \pi^{2} \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 4 \pi^{2}$ ．
（9） $\displaystyle \iint_{D} \frac{\sin \left(\pi \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid 1 \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 4\right\}$ ．
（10） $\displaystyle \iint_{D} \mathrm{e}^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D: \pi^{2} \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 4 \pi^{2}$ ．
（11） $\displaystyle \iint_{D} \sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}}{4 a^{2}-x^{2}-y^{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+2 a y=0$ 与 $\displaystyle y \geqslant-x$ 围成 $\displaystyle (a>0)$ ．
分析：由于积分区域 $\displaystyle D$ 关于 $\displaystyle x$ 轴对称，故可先利用二重积分的对称性结论简化所求积分．又积分区域为圆域的一部分，则将其化为极坐标系下累次积分即可。
（1） $\displaystyle \iint_{D} \frac{1+x y}{1+x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，区域 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1, x \geqslant 0\right\}$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{D} \frac{x y}{1+x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D: x^{2}+y^{2} \leqslant 1, x \geqslant 0$ ．
（3） $\displaystyle \iint_{D} \frac{1+x y}{\sqrt{1+x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1, y \geqslant 0\right\}$ ．
（4） $\displaystyle \iint_{D} \sqrt{x^{9} y^{7}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D: x^{2}+y^{2} \leqslant 1, x \geqslant 0, y \geqslant 0$ ．
（5） $\displaystyle \iint_{D} x y \mathrm{e}^{-x^{2}-y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D: x^{2}+y^{2} \leqslant 1$ 在第一象限的区域．
（6） $\displaystyle \iint_{D} \frac{x^{2}}{y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由曲线 $\displaystyle y=|x|, x^{2}+y^{2}=1$ 及 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=4$ 围成且 $\displaystyle D$ 在 $\displaystyle x$ 轴上方。
（7） $\displaystyle \iint_{D} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, a<b$ 其中 $\displaystyle D: a^{2} \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant b^{2}$ ．
（8） $\displaystyle \iint_{D} \sin \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D: \pi^{2} \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 4 \pi^{2}$ ．
（9） $\displaystyle \iint_{D} \frac{\sin \left(\pi \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid 1 \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 4\right\}$ ．
（10） $\displaystyle \iint_{D} \mathrm{e}^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D: \pi^{2} \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 4 \pi^{2}$ ．
（11） $\displaystyle \iint_{D} \sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}}{4 a^{2}-x^{2}-y^{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+2 a y=0$ 与 $\displaystyle y \geqslant-x$ 围成 $\displaystyle (a>0)$ ．
分析：由于积分区域 $\displaystyle D$ 关于 $\displaystyle x$ 轴对称，故可先利用二重积分的对称性结论简化所求积分．又积分区域为圆域的一部分，则将其化为极坐标系下累次积分即可。
第7题计算题
7．积分区域 $\displaystyle D$ 为 $\displaystyle \left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}\right\}$ ，计算下列二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D}\left(x^{3}+y^{3}\right) \mathrm{e}^{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y .(a=1:$ 华中师大 2007）
（2） $\displaystyle \iint_{D} x^{2} y^{2} \ln \left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \cdot(a=1$ ：南开大学 2004）
（3） $\displaystyle \iint_{D}\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y .(a=1$ ：中山大学 2008）
（4） $\displaystyle \iint_{D}|x y| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y .(a=2$ ：南昌大学 2003，东华大学 2010）
（1） $\displaystyle \iint_{D}\left(x^{3}+y^{3}\right) \mathrm{e}^{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y .(a=1:$ 华中师大 2007）
（2） $\displaystyle \iint_{D} x^{2} y^{2} \ln \left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \cdot(a=1$ ：南开大学 2004）
（3） $\displaystyle \iint_{D}\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y .(a=1$ ：中山大学 2008）
（4） $\displaystyle \iint_{D}|x y| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y .(a=2$ ：南昌大学 2003，东华大学 2010）
第12题证明题
12．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f$ 是 $\displaystyle [-1,1]$ 上的可积函数，则有 $\displaystyle \iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2}<1} f(z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\pi \int_{-1}^{1} f(u)\left(1-u^{2}\right) \mathrm{d} u$ ．
（2）设 $\displaystyle f(t)$ 是 $\displaystyle [-k, k]$ 上的连续函数．试证：
$$
\iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2}<1} f(a x+b y+c z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\pi \int_{-1}^{1}\left(1-u^{2}\right) f(k u) \mathrm{d} u \text {, 其中 } k=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}>0 \text {. (浙江大学 } 2008 \text {, }
$$
南京大学 2007，厦门大学 2006 ，广州大学 $\displaystyle 2010 ; f(t)=\cos t$ ：浙江大学 2006 ，上海交大 2006 ，南开大学 1985 ，厦门大学 2008／2012）
（3）记 函数 $\displaystyle F(a, b, c)=\iiint_{V} f(a x+b y+c z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其 中 $\displaystyle V: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1$ ，试 证 明：球 面 $\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$ 为函数 $\displaystyle F(a, b, c)$ 的等值面，即 $\displaystyle F(a, b, c)$ 在球面 $\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$ 上恒为常数，并求出此常数．
提示：采用＂先二后一＂的方法
（1）设 $\displaystyle f$ 是 $\displaystyle [-1,1]$ 上的可积函数，则有 $\displaystyle \iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2}<1} f(z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\pi \int_{-1}^{1} f(u)\left(1-u^{2}\right) \mathrm{d} u$ ．
（2）设 $\displaystyle f(t)$ 是 $\displaystyle [-k, k]$ 上的连续函数．试证：
$$
\iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2}<1} f(a x+b y+c z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\pi \int_{-1}^{1}\left(1-u^{2}\right) f(k u) \mathrm{d} u \text {, 其中 } k=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}>0 \text {. (浙江大学 } 2008 \text {, }
$$
南京大学 2007，厦门大学 2006 ，广州大学 $\displaystyle 2010 ; f(t)=\cos t$ ：浙江大学 2006 ，上海交大 2006 ，南开大学 1985 ，厦门大学 2008／2012）
（3）记 函数 $\displaystyle F(a, b, c)=\iiint_{V} f(a x+b y+c z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其 中 $\displaystyle V: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1$ ，试 证 明：球 面 $\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$ 为函数 $\displaystyle F(a, b, c)$ 的等值面，即 $\displaystyle F(a, b, c)$ 在球面 $\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$ 上恒为常数，并求出此常数．
提示：采用＂先二后一＂的方法
第17题证明题
17．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续且单调减少（增加），证明
$\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x \leqslant(b-a) \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x$ ．
（2）若 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续递增函数，则 $\displaystyle \int_{a}^{b} x f(x) \mathrm{d} x \geqslant \frac{a+b}{2} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ ．
（1）设函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续且单调减少（增加），证明
$\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x \leqslant(b-a) \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x$ ．
（2）若 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续递增函数，则 $\displaystyle \int_{a}^{b} x f(x) \mathrm{d} x \geqslant \frac{a+b}{2} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ ．
第19题计算题
19．计算下列二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D} \operatorname{sgn}\left(x^{2}+y^{2}-2\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 4\right\}$ 。
（2） $\displaystyle \iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}+\operatorname{sgn}\left(x^{2}+y^{2}-1\right)\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 4\right\}$ ．
（3） $\displaystyle \iint_{D} \operatorname{sgn}\left(y \pm \sqrt{3} x^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 4\right\}$ ．
（4） $\displaystyle \iint_{D}(x+y) \operatorname{sgn}(x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=[0,1] \times[0,1]$ ．
（5） $\displaystyle \iint_{D} \operatorname{sgn}\left(y-x^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=[0,1] \times[0,1]$ ．
（6）设 $\displaystyle D=\{(x, y): 0 \leqslant x+y \leqslant 1,0 \leqslant x \leqslant 1\}$ ，求函数 $\displaystyle f(t)=\iint_{D} \operatorname{sgn}(x+y-t) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（7） $\displaystyle \iint_{D} \operatorname{sgn}(x y-1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=[0,2] \times[0,2]$ ．
此类积分解题的一般思路：利用积分域内的分段线将积分域 $\displaystyle D$ 划分，把二重积分表示成几个分段域上的二重积分的和，求各个分段域上的二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D} \operatorname{sgn}\left(x^{2}+y^{2}-2\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 4\right\}$ 。
（2） $\displaystyle \iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}+\operatorname{sgn}\left(x^{2}+y^{2}-1\right)\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 4\right\}$ ．
（3） $\displaystyle \iint_{D} \operatorname{sgn}\left(y \pm \sqrt{3} x^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 4\right\}$ ．
（4） $\displaystyle \iint_{D}(x+y) \operatorname{sgn}(x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=[0,1] \times[0,1]$ ．
（5） $\displaystyle \iint_{D} \operatorname{sgn}\left(y-x^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=[0,1] \times[0,1]$ ．
（6）设 $\displaystyle D=\{(x, y): 0 \leqslant x+y \leqslant 1,0 \leqslant x \leqslant 1\}$ ，求函数 $\displaystyle f(t)=\iint_{D} \operatorname{sgn}(x+y-t) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（7） $\displaystyle \iint_{D} \operatorname{sgn}(x y-1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=[0,2] \times[0,2]$ ．
此类积分解题的一般思路：利用积分域内的分段线将积分域 $\displaystyle D$ 划分，把二重积分表示成几个分段域上的二重积分的和，求各个分段域上的二重积分．
第20题计算题
20．计算下列二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D}\left|x^{2}+y^{2}-4\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D: x^{2}+y^{2} \leqslant 9$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{D}\left|\frac{1}{4}-\left(x^{2}+y^{2}\right)\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D: x^{2}+y^{2} \leqslant 1$ ．
（3） $\displaystyle \iint_{D}\left|x^{2}+y^{2}-2\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 其中 $\displaystyle D: x^{2}+y^{2} \leqslant 3$ ．
（4） $\displaystyle \iint_{D}\left|x^{2}+y^{2}-1\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 其中 $\displaystyle D: x^{2}+y^{2} \leqslant 4$ ．
（5） $\displaystyle \iint_{D}\left|\frac{y+x}{\sqrt{2}}-x^{2}-y^{2}\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ ．
（1） $\displaystyle \iint_{D}\left|x^{2}+y^{2}-4\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D: x^{2}+y^{2} \leqslant 9$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{D}\left|\frac{1}{4}-\left(x^{2}+y^{2}\right)\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D: x^{2}+y^{2} \leqslant 1$ ．
（3） $\displaystyle \iint_{D}\left|x^{2}+y^{2}-2\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 其中 $\displaystyle D: x^{2}+y^{2} \leqslant 3$ ．
（4） $\displaystyle \iint_{D}\left|x^{2}+y^{2}-1\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 其中 $\displaystyle D: x^{2}+y^{2} \leqslant 4$ ．
（5） $\displaystyle \iint_{D}\left|\frac{y+x}{\sqrt{2}}-x^{2}-y^{2}\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ ．
第21题计算题
21．计算下列二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D}|x y| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\{(x, y):|x|+|y| \leqslant 1\}$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{D}\left|y-x^{2}\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ 。
（3） $\displaystyle \iint_{D}\left|y-x^{2}\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 为矩形区域 $\displaystyle \{(x, y) \mid-1 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
（4） $\displaystyle \iint_{D}\left|x-y^{2}\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D:\{(x, y) \mid-1 \leqslant x \leqslant 1,-1 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
（5） $\displaystyle \iint_{D}\left|x-y^{2}\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 为矩形区域 $\displaystyle \{(x, y) \mid-1 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
（6） $\displaystyle \iint_{D} \sqrt{\left|y-x^{2}\right|} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D:\{(x, y)| | x \mid \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 2\}$ 。
（7） $\displaystyle \iint_{D} \sqrt{\left|y-x^{2}\right|} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D:\{(x, y) \| x \mid \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
（8） $\displaystyle \iint_{D}|x+y| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D:\{(x, y) \mid-1 \leqslant x \leqslant 1,-1 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
（9） $\displaystyle \iint_{D}|3 x-4 y| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D:[0,1] \times[0,1]$ ．
（10） $\displaystyle \iint_{D}|x+2 y-1| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D:\{(x, y) \mid-1 \leqslant x \leqslant 1,-1 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
（11） $\displaystyle \iint_{D}\left|x^{2}+y^{2}-1\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
分析：绝对值函数，分段函数，取整函数， $\displaystyle \max (), \min ()$ 往往在积分区域的不同部分有不同的取值，应根据被积函数合理分割积分区域。
（1） $\displaystyle \iint_{D}|x y| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\{(x, y):|x|+|y| \leqslant 1\}$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{D}\left|y-x^{2}\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ 。
（3） $\displaystyle \iint_{D}\left|y-x^{2}\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 为矩形区域 $\displaystyle \{(x, y) \mid-1 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
（4） $\displaystyle \iint_{D}\left|x-y^{2}\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D:\{(x, y) \mid-1 \leqslant x \leqslant 1,-1 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
（5） $\displaystyle \iint_{D}\left|x-y^{2}\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 为矩形区域 $\displaystyle \{(x, y) \mid-1 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
（6） $\displaystyle \iint_{D} \sqrt{\left|y-x^{2}\right|} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D:\{(x, y)| | x \mid \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 2\}$ 。
（7） $\displaystyle \iint_{D} \sqrt{\left|y-x^{2}\right|} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D:\{(x, y) \| x \mid \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
（8） $\displaystyle \iint_{D}|x+y| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D:\{(x, y) \mid-1 \leqslant x \leqslant 1,-1 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
（9） $\displaystyle \iint_{D}|3 x-4 y| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D:[0,1] \times[0,1]$ ．
（10） $\displaystyle \iint_{D}|x+2 y-1| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D:\{(x, y) \mid-1 \leqslant x \leqslant 1,-1 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
（11） $\displaystyle \iint_{D}\left|x^{2}+y^{2}-1\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
分析：绝对值函数，分段函数，取整函数， $\displaystyle \max (), \min ()$ 往往在积分区域的不同部分有不同的取值，应根据被积函数合理分割积分区域。
第22题计算题
22．计算下列二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D}| | x+y|-2| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 2,-2 \leqslant y \leqslant 2\}$ 。延安大学 2001）
（2） $\displaystyle \iint_{D} \sqrt{|x-|y||} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\{(x, y): 0 \leqslant x \leqslant 2,-1 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
（3） $\displaystyle \iint_{D}|\cos (x+y)| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由 $\displaystyle y=x, y=0, x=\frac{\pi}{2}$ 围成．
（1） $\displaystyle \iint_{D}| | x+y|-2| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 2,-2 \leqslant y \leqslant 2\}$ 。延安大学 2001）
（2） $\displaystyle \iint_{D} \sqrt{|x-|y||} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\{(x, y): 0 \leqslant x \leqslant 2,-1 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
（3） $\displaystyle \iint_{D}|\cos (x+y)| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由 $\displaystyle y=x, y=0, x=\frac{\pi}{2}$ 围成．
第23题计算题
23．计算下列二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D} \sin |x-y| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left[0, \frac{\pi}{2}\right] \times\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{\substack{0<x<\pi \\ 0<y<\pi}}|\sin (x-y)| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（3） $\displaystyle \iint_{D}|\cos (x+y)| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=[0, \pi] \times[0, \pi]$ ．
（4） $\displaystyle \iint_{D} \operatorname{sgn}(x-y) \sin x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left[0, \frac{\pi}{2}\right] \times[0, \pi]$ ．
（5） $\displaystyle \iint_{0 \leqslant x<y \leqslant \pi}|\sin (x-y)| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
（1） $\displaystyle \iint_{D} \sin |x-y| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left[0, \frac{\pi}{2}\right] \times\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{\substack{0<x<\pi \\ 0<y<\pi}}|\sin (x-y)| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（3） $\displaystyle \iint_{D}|\cos (x+y)| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=[0, \pi] \times[0, \pi]$ ．
（4） $\displaystyle \iint_{D} \operatorname{sgn}(x-y) \sin x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left[0, \frac{\pi}{2}\right] \times[0, \pi]$ ．
（5） $\displaystyle \iint_{0 \leqslant x<y \leqslant \pi}|\sin (x-y)| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
第24题计算题
24．计算下列二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D} \mathrm{e}^{\max \left\{x^{2}, y^{2}\right\}} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 其中 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}1, y \leqslant \mathrm{e}^{x}, \\ 0, y>\mathrm{e}^{x}\end{array}, D=[0,1] \times[0, \mathrm{e}]\right.$ ．
（3）$\displaystyle I=\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}1-x-y, x+y \leqslant 1, \\ 0, x+y>1,\end{array} \quad D\right.$ 为 $\displaystyle \{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
（4）$\displaystyle I=\iint_{D} \min \left\{x^{2} y, 2\right\} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=[0,4] \times[0,3]$ ．
（5）$\displaystyle I=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{1} \max (x, y) \mathrm{d} y$ ．
（1） $\displaystyle \iint_{D} \mathrm{e}^{\max \left\{x^{2}, y^{2}\right\}} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 其中 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}1, y \leqslant \mathrm{e}^{x}, \\ 0, y>\mathrm{e}^{x}\end{array}, D=[0,1] \times[0, \mathrm{e}]\right.$ ．
（3）$\displaystyle I=\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}1-x-y, x+y \leqslant 1, \\ 0, x+y>1,\end{array} \quad D\right.$ 为 $\displaystyle \{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
（4）$\displaystyle I=\iint_{D} \min \left\{x^{2} y, 2\right\} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=[0,4] \times[0,3]$ ．
（5）$\displaystyle I=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{1} \max (x, y) \mathrm{d} y$ ．
第25题计算题
25．设 $\displaystyle [a]$ 表示 $\displaystyle a$ 的最大整数部分，计算下列二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D}[x+y] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由不等式 $\displaystyle 0 \leqslant x \leqslant 2,0 \leqslant y \leqslant 2$ 所确定的区域．
（2） $\displaystyle \iint_{x^{2}+y^{2}<16}\left[\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
（3） $\displaystyle \iint_{D} \sqrt{\left[y-3 x^{2}\right]} \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid 3 x^{2} \leqslant y \leqslant 3\right\}$ ．
（4） $\displaystyle \iint_{x^{2}<y<3} \sqrt{\left[y-x^{2}\right]} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
（5） $\displaystyle \iint_{D}\left[x^{2}-y\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=[0,1] \times[0,1]$ ．
（6） $\displaystyle \iint_{D} x y\left[1+x^{2}+y^{2}\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant \sqrt{3}, x \geqslant 0, y \geqslant 0\right\}$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2}} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n}\left[\frac{2 i}{n}+\frac{j}{n}\right]$ ．
（1） $\displaystyle \iint_{D}[x+y] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由不等式 $\displaystyle 0 \leqslant x \leqslant 2,0 \leqslant y \leqslant 2$ 所确定的区域．
（2） $\displaystyle \iint_{x^{2}+y^{2}<16}\left[\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
（3） $\displaystyle \iint_{D} \sqrt{\left[y-3 x^{2}\right]} \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid 3 x^{2} \leqslant y \leqslant 3\right\}$ ．
（4） $\displaystyle \iint_{x^{2}<y<3} \sqrt{\left[y-x^{2}\right]} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
（5） $\displaystyle \iint_{D}\left[x^{2}-y\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=[0,1] \times[0,1]$ ．
（6） $\displaystyle \iint_{D} x y\left[1+x^{2}+y^{2}\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant \sqrt{3}, x \geqslant 0, y \geqslant 0\right\}$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2}} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n}\left[\frac{2 i}{n}+\frac{j}{n}\right]$ ．
第27题计算题
27．计算下列各题．
（1）设 $\displaystyle D: x^{2}+y^{2} \leqslant y, x \geqslant 0, f(x, y)$ 连续，$\displaystyle f(x, y)=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}-\frac{8}{\pi} \iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ ，求 $\displaystyle f(x, y)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x, y)$ 连续，$\displaystyle D$ 是由 $\displaystyle y=0, y=x^{2}, x=1$ 所围成的平面区域，且 $\displaystyle f(x, y)=x y+\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，求 $\displaystyle \iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 的值．
（3）设函数 $\displaystyle f(t)$ 满足 $\displaystyle f(t)=1+\iint_{D} f\left(\frac{1}{2} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 为圆环 $\displaystyle 4 a^{2} \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 4 t^{2}, a>0$为常数，求 $\displaystyle f(t)$ ．
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上连续，且满足 $\displaystyle f(t)=2 \iint_{x^{2}+y^{2}<t^{2}}\left(x^{2}+y^{2}\right) f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y+t^{4}$ ，试求 $\displaystyle f(t)$ ．
（1）设 $\displaystyle D: x^{2}+y^{2} \leqslant y, x \geqslant 0, f(x, y)$ 连续，$\displaystyle f(x, y)=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}-\frac{8}{\pi} \iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ ，求 $\displaystyle f(x, y)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x, y)$ 连续，$\displaystyle D$ 是由 $\displaystyle y=0, y=x^{2}, x=1$ 所围成的平面区域，且 $\displaystyle f(x, y)=x y+\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，求 $\displaystyle \iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 的值．
（3）设函数 $\displaystyle f(t)$ 满足 $\displaystyle f(t)=1+\iint_{D} f\left(\frac{1}{2} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 为圆环 $\displaystyle 4 a^{2} \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 4 t^{2}, a>0$为常数，求 $\displaystyle f(t)$ ．
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上连续，且满足 $\displaystyle f(t)=2 \iint_{x^{2}+y^{2}<t^{2}}\left(x^{2}+y^{2}\right) f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y+t^{4}$ ，试求 $\displaystyle f(t)$ ．
第30题计算题
30．求下列极限．
（1）设 $\displaystyle f(x, y)$ 为连续函数，求 $\displaystyle \lim _{\rho \rightarrow 0} \frac{1}{\pi \rho^{2}} \iint_{x^{2}+y^{2}<\rho^{2}} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（2）求 $\displaystyle \lim _{r \rightarrow 0} \frac{1}{\pi r^{2}} \iint_{x^{2}+y^{2}<r^{2}} \mathrm{e}^{2 x y} \cos \left(x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（3）求 $\displaystyle \lim _{r \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{\pi r^{2}} \iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant 2 r^{2}} \mathrm{e}^{x y^{2}} \cos \left(x^{2}-y\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（4）设 $\displaystyle D_{r}=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant r^{2}\right\}, r>0$ ，求 $\displaystyle \lim _{r \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{\pi r^{2}} \iint_{D_{r}} \mathrm{e}^{x^{2}-y^{2}} \cos (x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
（5）求 $\displaystyle \lim _{\rho \rightarrow 0} \frac{1}{\pi \rho^{2}} \iint_{x^{2}+y^{2}<\rho^{2}} \mathrm{e}^{-x y} \cos (x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。曲阜师大 2008）
（1）设 $\displaystyle f(x, y)$ 为连续函数，求 $\displaystyle \lim _{\rho \rightarrow 0} \frac{1}{\pi \rho^{2}} \iint_{x^{2}+y^{2}<\rho^{2}} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（2）求 $\displaystyle \lim _{r \rightarrow 0} \frac{1}{\pi r^{2}} \iint_{x^{2}+y^{2}<r^{2}} \mathrm{e}^{2 x y} \cos \left(x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（3）求 $\displaystyle \lim _{r \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{\pi r^{2}} \iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant 2 r^{2}} \mathrm{e}^{x y^{2}} \cos \left(x^{2}-y\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（4）设 $\displaystyle D_{r}=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant r^{2}\right\}, r>0$ ，求 $\displaystyle \lim _{r \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{\pi r^{2}} \iint_{D_{r}} \mathrm{e}^{x^{2}-y^{2}} \cos (x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
（5）求 $\displaystyle \lim _{\rho \rightarrow 0} \frac{1}{\pi \rho^{2}} \iint_{x^{2}+y^{2}<\rho^{2}} \mathrm{e}^{-x y} \cos (x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。曲阜师大 2008）
第32题证明题
32．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x, y)$ 在平面上有界，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2}} \iint_{x^{2}+y^{2}<n^{2}} \frac{f(x, y)}{x^{2}+y^{2}+1} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=0$ 。
（2）设 $\displaystyle f(u)$ 具有连续的导函数，且 $\displaystyle \lim _{u \rightarrow+\infty} f^{\prime}(u)=A>0$ ，区域 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant R^{2}, x, y \geqslant 0\right\}$ ， $\displaystyle R>0$ ．（1）证明： $\displaystyle \lim _{u \rightarrow+\infty} f(u)=+\infty$ ；（2）求 $\displaystyle I_{R}=\iint_{D} f^{\prime}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ；（3）求 $\displaystyle \lim _{R \rightarrow+\infty} \frac{I_{R}}{R^{2}}$ ．（西北大学 2013，南开大
（3）设 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D=[0,1] \times[0,1]$ 上连续，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\iint_{D}\left|f^{n}(x, y)\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y\right)^{\frac{1}{n}}$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x, y)$ 在平面上有界，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2}} \iint_{x^{2}+y^{2}<n^{2}} \frac{f(x, y)}{x^{2}+y^{2}+1} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=0$ 。
（2）设 $\displaystyle f(u)$ 具有连续的导函数，且 $\displaystyle \lim _{u \rightarrow+\infty} f^{\prime}(u)=A>0$ ，区域 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant R^{2}, x, y \geqslant 0\right\}$ ， $\displaystyle R>0$ ．（1）证明： $\displaystyle \lim _{u \rightarrow+\infty} f(u)=+\infty$ ；（2）求 $\displaystyle I_{R}=\iint_{D} f^{\prime}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ；（3）求 $\displaystyle \lim _{R \rightarrow+\infty} \frac{I_{R}}{R^{2}}$ ．（西北大学 2013，南开大
（3）设 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D=[0,1] \times[0,1]$ 上连续，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\iint_{D}\left|f^{n}(x, y)\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y\right)^{\frac{1}{n}}$ ．
第41题证明题
41．证明下列各题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，证明 $\displaystyle \iint_{D} f(1-y) f(x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\frac{1}{2}\left(\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right)^{2}$ ，其中 $\displaystyle D$ 为三角形区域 $\displaystyle O(0,0), A(0,1), B(1,0)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(u)$ 为连续偶函数，试证明 $\displaystyle \iint_{D} f(x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=2 \int_{0}^{2 a}(2 a-u) f(u) \mathrm{d} u$ ，其中 $\displaystyle D$ 为正方形： $\displaystyle |x| \leqslant a,|y| \leqslant a$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 为连续偶函数，利用对 $\displaystyle \int_{0}^{a} \mathrm{~d} x \int_{-a}^{a} f(x-y) \mathrm{d} y$ 首先设 $\displaystyle u=x-y$ 再交换累次积分顺序的方法证明： $\displaystyle \int_{0}^{a} \mathrm{~d} x \int_{-a}^{a} f(x-y) \mathrm{d} y=\int_{0}^{2 a}(2 a-u) f(u) \mathrm{d} u$ 。
（4）设函数 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle [0,1] \times[0,1]$ 上连续，且 $\displaystyle f(x, y)=f(y, x), \forall x, y \in[0,1]$ ，证明：
$$
\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{x} f(x, y) \mathrm{d} y=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{x} f(1-x, 1-y) \mathrm{d} y \text { 。 }
$$
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，证明 $\displaystyle \iint_{D} f(1-y) f(x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\frac{1}{2}\left(\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right)^{2}$ ，其中 $\displaystyle D$ 为三角形区域 $\displaystyle O(0,0), A(0,1), B(1,0)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(u)$ 为连续偶函数，试证明 $\displaystyle \iint_{D} f(x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=2 \int_{0}^{2 a}(2 a-u) f(u) \mathrm{d} u$ ，其中 $\displaystyle D$ 为正方形： $\displaystyle |x| \leqslant a,|y| \leqslant a$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 为连续偶函数，利用对 $\displaystyle \int_{0}^{a} \mathrm{~d} x \int_{-a}^{a} f(x-y) \mathrm{d} y$ 首先设 $\displaystyle u=x-y$ 再交换累次积分顺序的方法证明： $\displaystyle \int_{0}^{a} \mathrm{~d} x \int_{-a}^{a} f(x-y) \mathrm{d} y=\int_{0}^{2 a}(2 a-u) f(u) \mathrm{d} u$ 。
（4）设函数 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle [0,1] \times[0,1]$ 上连续，且 $\displaystyle f(x, y)=f(y, x), \forall x, y \in[0,1]$ ，证明：
$$
\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{x} f(x, y) \mathrm{d} y=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{x} f(1-x, 1-y) \mathrm{d} y \text { 。 }
$$
第41题证明题
41．证明下列结论．
（1）设函数 $\displaystyle u(x, y)$ 在光滑闭合曲线 $\displaystyle L$ 所围成的区域 $\displaystyle D$ 上有二阶连续偏导数，试证明：
$\displaystyle \iint_{D}\left(\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=-\iint_{D} u \Delta u \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y+\oint_{L} u \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} s$ ，其中 $\displaystyle \Delta u=\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}, \frac{\partial u}{\partial n}$ 是 $\displaystyle u(x, y)$ 沿曲线 $\displaystyle L$ 的外法线 $\displaystyle \boldsymbol{n}$ 的方向导数。
（2）设函数 $\displaystyle u(x, y)$ 在由封闭的光滑曲线 $\displaystyle L$ 所围的区域 $\displaystyle D$ 上具有二阶连续偏导
数，$\displaystyle \Delta u=\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0$ 。证明： $\displaystyle \iint_{D}\left[\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^{2}\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\oint_{L} u \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} s$ ，其中 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial n}$ 是沿 $\displaystyle L$ 的外法线的方向导数．
（3）设 $\displaystyle u(x, y), v(x, y)$ 是具有二阶连续偏导数的函数．证明：
$$
\iint_{D} v\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=-\iint_{D}\left(\frac{\partial u}{\partial x} \cdot \frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y} \cdot \frac{\partial v}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y+\oint_{L} v \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} s
$$
（4）设 $\displaystyle \Omega$ 为 $\displaystyle x y$ 平面上具有光滑边界 $\displaystyle \partial \Omega$ 的有界区域，$\displaystyle u \in C^{2}(\Omega) \cap C^{1}(\bar{\Omega})$ ，且 $\displaystyle u$ 为非常值函数及 $\displaystyle \left.u\right|_{\partial \Omega}=0$ ，证明： $\displaystyle \iint_{\Omega} u\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y<0$ ．
（1）设函数 $\displaystyle u(x, y)$ 在光滑闭合曲线 $\displaystyle L$ 所围成的区域 $\displaystyle D$ 上有二阶连续偏导数，试证明：
$\displaystyle \iint_{D}\left(\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=-\iint_{D} u \Delta u \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y+\oint_{L} u \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} s$ ，其中 $\displaystyle \Delta u=\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}, \frac{\partial u}{\partial n}$ 是 $\displaystyle u(x, y)$ 沿曲线 $\displaystyle L$ 的外法线 $\displaystyle \boldsymbol{n}$ 的方向导数。
（2）设函数 $\displaystyle u(x, y)$ 在由封闭的光滑曲线 $\displaystyle L$ 所围的区域 $\displaystyle D$ 上具有二阶连续偏导
数，$\displaystyle \Delta u=\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0$ 。证明： $\displaystyle \iint_{D}\left[\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^{2}\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\oint_{L} u \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} s$ ，其中 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial n}$ 是沿 $\displaystyle L$ 的外法线的方向导数．
（3）设 $\displaystyle u(x, y), v(x, y)$ 是具有二阶连续偏导数的函数．证明：
$$
\iint_{D} v\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=-\iint_{D}\left(\frac{\partial u}{\partial x} \cdot \frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y} \cdot \frac{\partial v}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y+\oint_{L} v \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} s
$$
（4）设 $\displaystyle \Omega$ 为 $\displaystyle x y$ 平面上具有光滑边界 $\displaystyle \partial \Omega$ 的有界区域，$\displaystyle u \in C^{2}(\Omega) \cap C^{1}(\bar{\Omega})$ ，且 $\displaystyle u$ 为非常值函数及 $\displaystyle \left.u\right|_{\partial \Omega}=0$ ，证明： $\displaystyle \iint_{\Omega} u\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y<0$ ．
第45题证明题
45．证明下列各题．
（1）设 $\displaystyle D$ 为 $\displaystyle \mathbf{R}^{2}$ 上有光滑边界的闭区域，$\displaystyle f$ 是定义在 $\displaystyle D$ 上的实函数，试证明：若 $\displaystyle \iint_{D} f^{2}(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=0$ ，则 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle D$ 中的连续点的值为 0 ．
（2）$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}^{2}$ 上连续，$\displaystyle D_{r}\left(x_{0}, y_{0}\right)=\left\{(x, y) \mid\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2} \leqslant r^{2}\right\}$ ，若 $\displaystyle \forall\left(x_{0}, y_{0}\right), \forall r>0$ ， $\displaystyle \iint_{D_{r}} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=0$ ，则 $\displaystyle f(x, y)=0,(x, y) \in \mathbf{R}^{2}$ ．
（1）设 $\displaystyle D$ 为 $\displaystyle \mathbf{R}^{2}$ 上有光滑边界的闭区域，$\displaystyle f$ 是定义在 $\displaystyle D$ 上的实函数，试证明：若 $\displaystyle \iint_{D} f^{2}(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=0$ ，则 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle D$ 中的连续点的值为 0 ．
（2）$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}^{2}$ 上连续，$\displaystyle D_{r}\left(x_{0}, y_{0}\right)=\left\{(x, y) \mid\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2} \leqslant r^{2}\right\}$ ，若 $\displaystyle \forall\left(x_{0}, y_{0}\right), \forall r>0$ ， $\displaystyle \iint_{D_{r}} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=0$ ，则 $\displaystyle f(x, y)=0,(x, y) \in \mathbf{R}^{2}$ ．
第47题证明题
47．证明下列各题．
（1）设 $\displaystyle D:[0,1] \times[0,1]$ ，证明： $\displaystyle 1 \leqslant \iint_{D}\left(\sin \left(x^{2}\right)+\cos \left(x^{2}\right)\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \leqslant \sqrt{2}$ 。电子科技 2010）
（2）证明不等式： $\displaystyle 2 \pi(\sqrt{17}-4) \leqslant \iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant 1} \frac{\mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{16+\sin ^{2} x+\sin ^{2} y}} \leqslant \frac{\pi}{4}$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x, y)$ 在区域 $\displaystyle C:|x-1| \leqslant 2,|y-1| \leqslant 2$ 上具有二阶连续偏导数，$\displaystyle f(1,1)=0$ ，且在点 $\displaystyle (1,1)$ 达到极值。又设 $\displaystyle \left|\frac{\partial^{2} f(x, y)}{\partial x^{l} \partial y^{2-1}}\right| \leqslant M,(x, y) \in G$ ，其中 $\displaystyle 0 \leqslant l \leqslant 2$ 。取区域 $\displaystyle D: 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1$ ，试证 $\displaystyle I=\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \leqslant \frac{7}{12} M$ ．
（1）设 $\displaystyle D:[0,1] \times[0,1]$ ，证明： $\displaystyle 1 \leqslant \iint_{D}\left(\sin \left(x^{2}\right)+\cos \left(x^{2}\right)\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \leqslant \sqrt{2}$ 。电子科技 2010）
（2）证明不等式： $\displaystyle 2 \pi(\sqrt{17}-4) \leqslant \iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant 1} \frac{\mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{16+\sin ^{2} x+\sin ^{2} y}} \leqslant \frac{\pi}{4}$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x, y)$ 在区域 $\displaystyle C:|x-1| \leqslant 2,|y-1| \leqslant 2$ 上具有二阶连续偏导数，$\displaystyle f(1,1)=0$ ，且在点 $\displaystyle (1,1)$ 达到极值。又设 $\displaystyle \left|\frac{\partial^{2} f(x, y)}{\partial x^{l} \partial y^{2-1}}\right| \leqslant M,(x, y) \in G$ ，其中 $\displaystyle 0 \leqslant l \leqslant 2$ 。取区域 $\displaystyle D: 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1$ ，试证 $\displaystyle I=\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \leqslant \frac{7}{12} M$ ．
第48题计算题
48．设 $\displaystyle D=[0,1] \times[0,1]$ ．
（1）计算 $\displaystyle A=\iint_{D}\left|x y-\frac{1}{4}\right| \mathrm{d} \sigma$ ；（2）设 $\displaystyle z=f(x, y)$ 在 $\displaystyle D$ 上连续，并满足 $\displaystyle \iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=0$ ， $\displaystyle \iint_{D} x y f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=1$ 。证明：$\displaystyle \exists\left(x^{*}, y^{*}\right) \in D$ 使 $\displaystyle \left|f\left(x^{*}, y^{*}\right)\right| \geqslant \frac{1}{A}$ ．
（1）计算 $\displaystyle A=\iint_{D}\left|x y-\frac{1}{4}\right| \mathrm{d} \sigma$ ；（2）设 $\displaystyle z=f(x, y)$ 在 $\displaystyle D$ 上连续，并满足 $\displaystyle \iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=0$ ， $\displaystyle \iint_{D} x y f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=1$ 。证明：$\displaystyle \exists\left(x^{*}, y^{*}\right) \in D$ 使 $\displaystyle \left|f\left(x^{*}, y^{*}\right)\right| \geqslant \frac{1}{A}$ ．
第53题证明题
53．设连续函数序列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x, y)\right\}$ 在有界闭区域 $\displaystyle D$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x, y)$ ，证明：
$$
\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\lim _{n \rightarrow \infty} \iint_{D} f_{n}(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y . \text { }
$$
$$
\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\lim _{n \rightarrow \infty} \iint_{D} f_{n}(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y . \text { }
$$