交错级数
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第6题证明题
6．证明下列级数条件收玫．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\left[\mathrm{e}-\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right]$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}(\sqrt[n]{n}-1)$ ．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\left[\mathrm{e}-\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right]$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}(\sqrt[n]{n}-1)$ ．
第9题讨论/判定题
9．讨论级数的绝对收玫性与条件收敛性．
（1） $\displaystyle 1-\frac{1}{2^{p}}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4^{p}}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6^{p}}+\cdots+\frac{1}{2 n-1}-\frac{1}{(2 n)^{p}}+\cdots$ ．
（2） $\displaystyle 1-\frac{1}{\sqrt[3]{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt[3]{4}}+\frac{1}{\sqrt{5}}-\frac{1}{\sqrt[3]{6}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{2 n-1}}-\frac{1}{\sqrt[3]{2 n}}+\cdots$ ．
（1） $\displaystyle 1-\frac{1}{2^{p}}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4^{p}}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6^{p}}+\cdots+\frac{1}{2 n-1}-\frac{1}{(2 n)^{p}}+\cdots$ ．
（2） $\displaystyle 1-\frac{1}{\sqrt[3]{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt[3]{4}}+\frac{1}{\sqrt{5}}-\frac{1}{\sqrt[3]{6}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{2 n-1}}-\frac{1}{\sqrt[3]{2 n}}+\cdots$ ．
第10题讨论/判定题
10．讨论下列级数的绝对收玫性与条件收敛性．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\ln n}{n^{p}} .\left(p=1\right.$ ：西安电子科技 2012 ，地质大学 2006 ，宁波大学 2004 ，北京科技 $\displaystyle 2007 ; p=2^{-1}$ ：中科院2005，首都师大2012）
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \sin \left(\pi \sqrt{n^{2}+1}\right)$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \tan \left(\sqrt{n^{2}+\lambda} \pi\right)(\lambda>0)$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}-\ln n}$ ．
（5）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{n}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right)$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} n\left(1-n \sin \frac{1}{n}\right)$ ．
（7）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \sin \frac{x}{n}$ ．（计量学院 2009，嗄门大学 2002（ $\displaystyle x=1$ ），内蒙古大学）
（8）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2^{\ln n}}$ ．
（9）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{x}{2 n^{n}}+\sin \frac{x}{n}\right)$ ．
（10）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{(\ln n)^{3}}{(\ln 3)^{n}}$ ．
（11）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\arctan n}{\sqrt{n}}$ ．
（12）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{n} \frac{a}{1+a^{n}}, a>0$ ．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\ln n}{n^{p}} .\left(p=1\right.$ ：西安电子科技 2012 ，地质大学 2006 ，宁波大学 2004 ，北京科技 $\displaystyle 2007 ; p=2^{-1}$ ：中科院2005，首都师大2012）
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \sin \left(\pi \sqrt{n^{2}+1}\right)$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \tan \left(\sqrt{n^{2}+\lambda} \pi\right)(\lambda>0)$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}-\ln n}$ ．
（5）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{n}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right)$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} n\left(1-n \sin \frac{1}{n}\right)$ ．
（7）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \sin \frac{x}{n}$ ．（计量学院 2009，嗄门大学 2002（ $\displaystyle x=1$ ），内蒙古大学）
（8）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2^{\ln n}}$ ．
（9）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{x}{2 n^{n}}+\sin \frac{x}{n}\right)$ ．
（10）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{(\ln n)^{3}}{(\ln 3)^{n}}$ ．
（11）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\arctan n}{\sqrt{n}}$ ．
（12）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{n} \frac{a}{1+a^{n}}, a>0$ ．
第11题讨论/判定题
11．讨论下列级数的玫散性．
（1）设 $\displaystyle a_{n}=\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}+\frac{1}{2 n}$ ，判断级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 和 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(1+a_{n}\right)$ 的玫散性．
（2）讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{(-1)^{n-1}}{n^{p}}-\frac{1}{2} \frac{1}{n^{2 p}}+o\left(\frac{1}{n^{2 p}}\right)\right)(p>0)$ 的敛散性．
（3）设 $\displaystyle I=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{p}}{1+n^{q}} \cos \frac{n \pi}{2},(q>0)$ ，（1）求 $\displaystyle I$ 的条件收敛域；（2）求 $\displaystyle I$ 的绝对收敛域．
（4）求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(n+x)^{n}}{n^{n+x}}$ 的收玫域．
（1）设 $\displaystyle a_{n}=\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}+\frac{1}{2 n}$ ，判断级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 和 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(1+a_{n}\right)$ 的玫散性．
（2）讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{(-1)^{n-1}}{n^{p}}-\frac{1}{2} \frac{1}{n^{2 p}}+o\left(\frac{1}{n^{2 p}}\right)\right)(p>0)$ 的敛散性．
（3）设 $\displaystyle I=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{p}}{1+n^{q}} \cos \frac{n \pi}{2},(q>0)$ ，（1）求 $\displaystyle I$ 的条件收敛域；（2）求 $\displaystyle I$ 的绝对收敛域．
（4）求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(n+x)^{n}}{n^{n+x}}$ 的收玫域．
第11题讨论/判定题
11．讨论下列函数项级数的一致收敛性及和函数的连续性．
（1）试求函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(-1)^{n}}{x^{2}+n^{2}} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x}{x^{2}+n^{2}}$ 的收敛域（绝对收敛或条件收敛），并讨论它们在收玫域内的一致收玫性．
（2）讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x+n(-1)^{n}}{x^{2}+n^{2}}$ 的和函数在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上的连续性．
（3）证明：函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x+n(-1)^{n}}{x^{2}+n^{2}}$ 在 $\displaystyle |x|<1$ 连续．
（1）试求函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(-1)^{n}}{x^{2}+n^{2}} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x}{x^{2}+n^{2}}$ 的收敛域（绝对收敛或条件收敛），并讨论它们在收玫域内的一致收玫性．
（2）讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x+n(-1)^{n}}{x^{2}+n^{2}}$ 的和函数在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上的连续性．
（3）证明：函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x+n(-1)^{n}}{x^{2}+n^{2}}$ 在 $\displaystyle |x|<1$ 连续．
第17题证明题
17．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle a_{n}>0$ ，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 收玫，反之不然．
（2）若级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，问级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 是否收敛？是，请证明；否，请举反例．
（3）设级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 绝对收敛，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{3}$ 收玫．
（4）设 $\displaystyle a_{n}>0$ ，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，证明：（1）当 $\displaystyle p>1$ 时级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{p}$ 收玫；（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt[k]{a_{n}}}{n}$ 收玫 $\displaystyle (k \geqslant 2, k \in \mathbf{N})$ ．
（1）设 $\displaystyle a_{n}>0$ ，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 收玫，反之不然．
（2）若级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，问级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 是否收敛？是，请证明；否，请举反例．
（3）设级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 绝对收敛，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{3}$ 收玫．
（4）设 $\displaystyle a_{n}>0$ ，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，证明：（1）当 $\displaystyle p>1$ 时级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{p}$ 收玫；（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt[k]{a_{n}}}{n}$ 收玫 $\displaystyle (k \geqslant 2, k \in \mathbf{N})$ ．
第30题证明题
30．证明：（1） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{x+n \pi} \mathrm{~d} x$ ；（2） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x<\int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x$ ．