以2π为周期的函数的傅里叶级数
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第1题求解题
1．求下列函数的傅里叶级数展开式，并求级数的和．
（1）$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}-\frac{\pi}{4}, x \in[-\pi, 0), \\ \frac{\pi}{4}, x \in[0, \pi),\end{array}\right.$ 并求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n-1)^{2}}$.
（2）$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{c}1, x \in[-\pi, 0), \\ 0, x \in[0, \pi),\end{array}\right.$ 由此求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2 n-1}$ 的和，并证明：
$$
\pi=4\left(\sin 1+\frac{\sin 3}{3}+\cdots+\frac{\sin (2 n+1)}{2 n+1}+\cdots\right)
$$
（3）$\displaystyle f(x)=\operatorname{sgn} x, x \in(-\pi, \pi)$ ，由此求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2 n-1}$ 的和．
（1）$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}-\frac{\pi}{4}, x \in[-\pi, 0), \\ \frac{\pi}{4}, x \in[0, \pi),\end{array}\right.$ 并求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n-1)^{2}}$.
（2）$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{c}1, x \in[-\pi, 0), \\ 0, x \in[0, \pi),\end{array}\right.$ 由此求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2 n-1}$ 的和，并证明：
$$
\pi=4\left(\sin 1+\frac{\sin 3}{3}+\cdots+\frac{\sin (2 n+1)}{2 n+1}+\cdots\right)
$$
（3）$\displaystyle f(x)=\operatorname{sgn} x, x \in(-\pi, \pi)$ ，由此求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2 n-1}$ 的和．
第2题计算题
2．求下列函数的傅里叶级数展开式，并求级数的和．
（1）$\displaystyle f(x)=|x|,-\pi \leqslant x \leqslant \pi$ ，并由此计算级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2 n+1)^{2}}, \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}, \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{n^{2}}$ 。
（2）$\displaystyle f(x)=x, 0 \leqslant x \leqslant 2 \pi$ ，并计算级数 $\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\sin k}{k}$ 。
（3）$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}x, x \in[-\pi, 0), \\ 0, x \in[0, \pi) .\end{array}(\right.$ 南航 2014）
（1）$\displaystyle f(x)=|x|,-\pi \leqslant x \leqslant \pi$ ，并由此计算级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2 n+1)^{2}}, \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}, \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{n^{2}}$ 。
（2）$\displaystyle f(x)=x, 0 \leqslant x \leqslant 2 \pi$ ，并计算级数 $\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\sin k}{k}$ 。
（3）$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}x, x \in[-\pi, 0), \\ 0, x \in[0, \pi) .\end{array}(\right.$ 南航 2014）
第3题证明题
3．对于 $\displaystyle n=0,1, \cdots$ ，令 $\displaystyle a_{n}=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x \cos n x \mathrm{~d} x, b_{n}=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x \sin n x \mathrm{~d} x$ 。（1）计算 $\displaystyle a_{n}, b_{n}$ 的值；（2）证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}^{2}=\frac{2 \pi^{2}}{3}$ ．
第4题证明题
4．设 $\displaystyle f(x)$ 是以 $\displaystyle 2 \pi$ 为周期的函数，在 $\displaystyle [-\pi, \pi)$ 上 $\displaystyle f(x)=x$ 。（1）求 $\displaystyle f(x)$ 的傅里叶级数；（2）证明 $\displaystyle f(x)$ 的傅里叶级数收玫但不一致收玫；（3）给出 $\displaystyle f(x)$ 的傅里叶级数的和函数．
第5题求解题
5．设函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}0,-\pi \leqslant x \leqslant 0, \\ 1,0 \leqslant x \leqslant \pi,\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle f(x)$ 的傅里叶级数，并问该级数收敛吗？收敛于 $\displaystyle f(x)$吗？在 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 上是否一致收敛？为什么？
第6题计算题
6．求下列函数的傅里叶级数展开式，并求级数的和
（1）$\displaystyle f(x)=\pi-|x|,(-\pi \leqslant x \leqslant \pi)$ ，并计算 $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2 k-1)^{2}}$ ．
（2）$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\pi-x, x \in[-\pi, 0), \\ \pi+x, x \in[0, \pi) .\end{array}\right.$
（1）$\displaystyle f(x)=\pi-|x|,(-\pi \leqslant x \leqslant \pi)$ ，并计算 $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2 k-1)^{2}}$ ．
（2）$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\pi-x, x \in[-\pi, 0), \\ \pi+x, x \in[0, \pi) .\end{array}\right.$
第7题求解题
7．将函数 $\displaystyle f(x)=\frac{\pi-x}{2}$ 在 $\displaystyle [0,2 \pi]$ 上展开成傅里叶级数，求出该级数在 $\displaystyle [0,2 \pi]$ 上的和。并问该级数在 $\displaystyle [0,2 \pi]$ 上是否一致收敛于它的和函数？为什么？
第11题计算题
11．求下列函数的傅里叶级数展开式，并求级数的和．
（1）求函数 $\displaystyle f(x)=x^{2}$ 在 $\displaystyle -\pi<x<\pi$ 上的傅里叶展开式，并计算级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}, \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{4}}$ ， $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\cos n x}{n^{2}}$ ，进一步证明 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln x}{1-x} \mathrm{~d} x=-\frac{\pi^{2}}{6}$ ．
（2）求 $\displaystyle f(x)=x^{2}$ 在 $\displaystyle [0,2 \pi]$ 上的傅里叶展开式，并证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{x} \frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi}{6}$ ．
（3）求函数 $\displaystyle f(x)=\pi^{2}-x^{2}$ 在 $\displaystyle -\pi<x<\pi$ 上的傅里叶展开式，并计算级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}, \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{n^{2}}, \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{4}}$
及级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\cos n x}{n^{2}}$ 的和．
（4）求函数 $\displaystyle f(x)=4 x(2 \pi-x), x \in[0,2 \pi]$ 的傅里叶级数，并计算级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{4}}$ ．
（5）求 $\displaystyle f(x)=x^{2}$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上的傅里叶级数展开式，并求和 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ ．
（6）将函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}0, x \in[-1,0) \\ x^{2}, x \in[0,1)\end{array}\right.$ 展开为傅里叶级数，并由此计算数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ 的和．
（7）求函数 $\displaystyle f(x)=\left(\frac{\pi-x}{2}\right)^{2}$ 在 $\displaystyle 0 \leqslant x \leqslant 2 \pi$ 的傅里叶展开式，并计算级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}, \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{n^{2}}$ ， $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{4}}$ 及级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\cos n x}{n^{2}}$ 的和．
（1）求函数 $\displaystyle f(x)=x^{2}$ 在 $\displaystyle -\pi<x<\pi$ 上的傅里叶展开式，并计算级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}, \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{4}}$ ， $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\cos n x}{n^{2}}$ ，进一步证明 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln x}{1-x} \mathrm{~d} x=-\frac{\pi^{2}}{6}$ ．
（2）求 $\displaystyle f(x)=x^{2}$ 在 $\displaystyle [0,2 \pi]$ 上的傅里叶展开式，并证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{x} \frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi}{6}$ ．
（3）求函数 $\displaystyle f(x)=\pi^{2}-x^{2}$ 在 $\displaystyle -\pi<x<\pi$ 上的傅里叶展开式，并计算级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}, \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{n^{2}}, \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{4}}$
及级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\cos n x}{n^{2}}$ 的和．
（4）求函数 $\displaystyle f(x)=4 x(2 \pi-x), x \in[0,2 \pi]$ 的傅里叶级数，并计算级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{4}}$ ．
（5）求 $\displaystyle f(x)=x^{2}$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上的傅里叶级数展开式，并求和 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ ．
（6）将函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}0, x \in[-1,0) \\ x^{2}, x \in[0,1)\end{array}\right.$ 展开为傅里叶级数，并由此计算数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ 的和．
（7）求函数 $\displaystyle f(x)=\left(\frac{\pi-x}{2}\right)^{2}$ 在 $\displaystyle 0 \leqslant x \leqslant 2 \pi$ 的傅里叶展开式，并计算级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}, \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{n^{2}}$ ， $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{4}}$ 及级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\cos n x}{n^{2}}$ 的和．
第12题求解题
12．求下列函数的傅里叶级数展开式，并求级数的和．
（1）求 $\displaystyle f(x)=|\sin x|,(-\pi \leqslant x<\pi)$ ，的傅里叶级数，并求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{4 n^{2}-1}$ ．
（2）求函数 $\displaystyle f(x)=\cos x, 0 \leqslant x \leqslant \pi$ 的正弦级数展开式．
（1）求 $\displaystyle f(x)=|\sin x|,(-\pi \leqslant x<\pi)$ ，的傅里叶级数，并求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{4 n^{2}-1}$ ．
（2）求函数 $\displaystyle f(x)=\cos x, 0 \leqslant x \leqslant \pi$ 的正弦级数展开式．
第13题证明题
13．设 $\displaystyle a$ 为不是整数的实参数，计算函数 $\displaystyle \cos a x$ 在 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 的三角级数展开式；并由此证明恒等式：$\displaystyle \frac{1}{\sin x}=\frac{1}{x}+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\left(\frac{1}{x-n \pi}+\frac{1}{x+n \pi}\right), x \neq m \pi, m \in \mathbf{Z}$ 。
第14题求解题
14．求下列函数的傅里叶级数展开式，并求级数的和．
（1）将函数 $\displaystyle f(x)=|x|+\sin ^{2} \pi x$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上展开成周期为 2 的傅里叶级数．
（2）求函数 $\displaystyle f(x)=\mathrm{e}^{a x}, 0 \leqslant x \leqslant 2 \pi$ ，的傅里叶级数，并求级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n^{2}+1}$ 的和．
（3）求函数 $\displaystyle f(x)=\frac{\pi}{2} \frac{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^{\pi}-\mathrm{e}^{-\pi}},-\pi \leqslant x \leqslant \pi$ ，的傅里叶级数，并求级数的 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{4 n^{2}+1}$ 和．
（1）将函数 $\displaystyle f(x)=|x|+\sin ^{2} \pi x$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上展开成周期为 2 的傅里叶级数．
（2）求函数 $\displaystyle f(x)=\mathrm{e}^{a x}, 0 \leqslant x \leqslant 2 \pi$ ，的傅里叶级数，并求级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n^{2}+1}$ 的和．
（3）求函数 $\displaystyle f(x)=\frac{\pi}{2} \frac{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^{\pi}-\mathrm{e}^{-\pi}},-\pi \leqslant x \leqslant \pi$ ，的傅里叶级数，并求级数的 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{4 n^{2}+1}$ 和．
第17题未分类
17．设函数 $\displaystyle f(x)$ 满足条件：$\displaystyle f(x+\pi)=-f(x)$ ，问此函数在 $\displaystyle (-\pi, \pi)$ 内的傅里叶级数满足什么特性。
第21题证明题
21．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 是以 $\displaystyle 2 \pi$ 为周期的可积函数，函数 $\displaystyle f(x)$ 的傅里叶级数一致收玫于 $\displaystyle f(x)$ ．证明： $\displaystyle \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f^{2}(t) \mathrm{d} t=\frac{a_{0}^{2}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right)$ ，其中 $\displaystyle a_{0}, a_{n}, b_{n}(n=1,2, \cdots)$ 为 $\displaystyle f(x)$ 的傅里叶系数。
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 是以 $\displaystyle 2 \pi$ 为周期的连续函数，令 $\displaystyle F(x)=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) f(x+t) \mathrm{d} t$ 。试用函数 $\displaystyle f(x)$ 的傅里叶系数 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 与 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 表示函数 $\displaystyle F(x)$ 的傅里叶系数 $\displaystyle \left\{A_{n}\right\}$ 与 $\displaystyle \left\{B_{n}\right\}$ ，并证明：
$\displaystyle \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f^{2}(t) \mathrm{d} t=\frac{a_{0}^{2}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right)$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 是以 $\displaystyle 2 \pi$ 为周期的可积函数，函数 $\displaystyle f(x)$ 的傅里叶级数一致收玫于 $\displaystyle f(x)$ ．证明： $\displaystyle \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f^{2}(t) \mathrm{d} t=\frac{a_{0}^{2}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right)$ ，其中 $\displaystyle a_{0}, a_{n}, b_{n}(n=1,2, \cdots)$ 为 $\displaystyle f(x)$ 的傅里叶系数。
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 是以 $\displaystyle 2 \pi$ 为周期的连续函数，令 $\displaystyle F(x)=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) f(x+t) \mathrm{d} t$ 。试用函数 $\displaystyle f(x)$ 的傅里叶系数 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 与 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 表示函数 $\displaystyle F(x)$ 的傅里叶系数 $\displaystyle \left\{A_{n}\right\}$ 与 $\displaystyle \left\{B_{n}\right\}$ ，并证明：
$\displaystyle \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f^{2}(t) \mathrm{d} t=\frac{a_{0}^{2}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right)$ ．
第23题证明题
23．设 $\displaystyle f(x)$ 是以 $\displaystyle 2 \pi$ 为周期的连续函数，其傅里叶级数 $\displaystyle \frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos n \dot{x}+b_{n} \sin n x\right)$ 处处收玫．证明：其傅里叶级数处处收玫于 $\displaystyle \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})$ ．