偏导数

1．求下列函数的偏导数．
（1）设 $\displaystyle z=f\left(x, \frac{x}{y}\right)$ ，求 $\displaystyle z_{x}, z_{x y}$ 。（中南大学 2001，深圳大学 2004（求 d $\displaystyle z$ ），广西民大 2008，哈师大 2000，山东科技 2006，沈阳工大 2010）
（2）设 $\displaystyle z=f\left(x y, \frac{x}{y}\right)$ ，其中 $\displaystyle f$ 具有二阶连续偏导数，求 $\displaystyle z_{y}, z_{y y}, z_{x y}$ 。延安大学 2005，西安交大 2007（求 $\displaystyle \mathrm{d}^{2} z$ ），大连理工 2009，上海理工 2005，桂林电子科技 2010，南开大学 2004，曲阜师大 2010）
（3）设 $\displaystyle z=x^{n} f\left(x y, \frac{y}{x}\right)$ ，其中 $\displaystyle f$ 具有二阶连续偏导数，求 $\displaystyle z_{x}, z_{y}, z_{x y} .(n=3:$ 云南大学 2004 ，太原科技 2008；$\displaystyle n=2$ ：湖南师大 2008）

1．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle z=\frac{y}{f\left(x^{2}-y^{2}\right)}$ ，其中 $\displaystyle f$ 为可微函数，证明 $\displaystyle \frac{1}{x} \frac{\partial z}{\partial x}+\frac{1}{y} \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{z}{y^{2}}$ ．
（2）设函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ 由方程 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=y f\left(\frac{z}{y}\right)$ 所确定，其中 $\displaystyle f$ 是可微函数，试证：$\displaystyle \left(x^{2}-y^{2}-z^{2}\right) \frac{\partial z}{\partial x}+2 x y \frac{\partial z}{\partial y}=2 x z$ 。
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 是连续可导函数，证明 $\displaystyle z=x^{n} f\left(\frac{y}{x^{2}}\right)$ 满足方程：$\displaystyle x \frac{\partial z}{\partial x}+2 y \frac{\partial z}{\partial y}=n z$ 。（山东科技 2005，深圳大学2009（ $\displaystyle n=3$ ））
（4）设 $\displaystyle \varphi$ 是连续可微函数，$\displaystyle a, b, c$ 为常数，证明由方程 $\displaystyle a x+b y+c z=\varphi\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)$ 所确定的函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ 满足方程 $\displaystyle (c y-b z) \frac{\partial z}{\partial x}+(a z-c x) \frac{\partial z}{\partial y}=b x-a y$ 。

2．求下列函数的偏导数．
（1）设 $\displaystyle z=f(x+y, x y)$ ，其中 $\displaystyle f$ 具有二阶连续偏导数，求 $\displaystyle z_{y}, z_{y y}, z_{x y}$ 。延安大学 2006，辽宁大学 2004／2002，沈阳工大2011，武汉大学2012，温州大学2010）
（2）设 $\displaystyle z=f\left(x y^{2}, x^{2} y\right)$ ，求 $\displaystyle z_{x x}, z_{y y}, z_{x y}$ ，其中函数 $\displaystyle f(u, v)$ 有连续的二阶偏导数．
（3）设 $\displaystyle z=f\left(x^{2}-y^{2}, \mathrm{e}^{x y}\right)$ ，其中 $\displaystyle f$ 具有二阶连续偏导数，求 $\displaystyle z_{x}, z_{y}, z_{x y}$ 。
（4）设 $\displaystyle u=f(x-y, y-z, z-x)$ ，其中 $\displaystyle f$ 具有二阶连续偏导数，求 $\displaystyle u_{x x}, u_{x y}, u_{z y}$ 。
（5）$\displaystyle u(x, y)=y g(\cos x)+f\left(\mathrm{e}^{x}, x y\right)$ ，其中 $\displaystyle g, f$ 二阶可微，求 $\displaystyle u_{x}, u_{x y}$ ．

2．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle \varphi(s, t)$ 具有一阶连续偏导数，对任 意实 数 $\displaystyle \alpha, \beta, u=x^{n} \varphi\left(\frac{y}{x^{\alpha}}, \frac{z}{x^{\beta}}\right)$ ，试 证 明： $\displaystyle x \frac{\partial u}{\partial x}+\alpha y \frac{\partial u}{\partial y}+\beta z \frac{\partial u}{\partial z}=n u$（ $\displaystyle n$ 为自然数）．
（2）设 $\displaystyle z=z(x, y)$ 满 足 $\displaystyle F\left(x+\frac{z}{y}, y+\frac{z}{x}\right)=0$ ，其 中 $\displaystyle z(x, y), F(u, v)$ 均可微，试证明： $\displaystyle x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=z-x y$ 。
（3）设 $\displaystyle z=f(x, y, u)=x y+x F(u)$ ，其中 $\displaystyle F(u)$ 可微，$\displaystyle u=\frac{y}{x}$ ，试证 $\displaystyle x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=z+x y$ ．

3．求解或证明下列各题．
（1）设 $\displaystyle \phi(t), \psi(t)$ 有二阶连续导数，$\displaystyle u=\phi\left(\frac{y}{x}\right)+x \psi\left(\frac{y}{x}\right)$ ，求 $\displaystyle x^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+2 x y \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}+y^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}$ ．
（2）设 $\displaystyle z=x f\left(\frac{x}{y}\right)+2 y f\left(\frac{y}{x}\right)$ ，其中 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上有连续的二阶导数，求 $\displaystyle z_{x}, z_{y}, z_{x y}$ ．
（3）设 $\displaystyle u=y f\left(\frac{x}{y}\right)+x g\left(\frac{y}{x}\right)$ ，其中 $\displaystyle f, g$ 具有二阶连续偏导数，求 $\displaystyle x \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+y \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}$ 。
（4）设 $\displaystyle z=x^{2} f\left(\frac{y}{x}\right)+\frac{1}{y^{2}} g\left(\frac{y}{x}\right)$ ，且 $\displaystyle f, g$ 是任意的二阶可导函数，则

$$
x^{2} \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+2 x y \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}+y^{2} \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}+x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=4 z \text {. }
$$

（5）设 $\displaystyle z=y f\left(x^{2}-y^{2}\right), f$ 为任意可微分函数，求 $\displaystyle y^{2} \frac{\partial z}{\partial x}+x y \frac{\partial z}{\partial y}$ 。

3．证明下列结论．
（1）设函数 $\displaystyle u=f(z)$ ，其中 $\displaystyle z$ 由方程 $\displaystyle z=x+y \varphi(z)$ 确定，$\displaystyle f, \varphi$ 为可微函数．证明：$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}=\varphi(z) \frac{\partial u}{\partial x}$ ．

（2）设函数 $\displaystyle u=u(x, y)$ 由方程 $\displaystyle u=y+x \varphi(u)$ 确定，证明 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\varphi^{2}(u) \frac{\partial u}{\partial y}\right)$ ．
（3）设函数 $\displaystyle u=f(z), z$ 由方程 $\displaystyle z=x+y \varphi(z)$ 确定，$\displaystyle f(z), \varphi(z)$ 任 意 阶 可 微。试 证 明： $\displaystyle \frac{\partial^{n} u}{\partial y^{n}}=\frac{\partial^{n-1}}{\partial x^{n-1}}\left(\varphi^{n}(z) \frac{\partial u}{\partial x}\right)$ 。

4．计算．
（1）已知 $\displaystyle u(x, t)=\frac{f(x+a t)+f(x-a t)}{2}+\frac{1}{2 a} \int_{x-a t}^{x+a t} F(\alpha) \mathrm{d} \alpha$ ，其中 $\displaystyle f, F$ 分别为求导一次和求导两次的已知函数，计算 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u(x, t)}{\partial t^{2}}-a^{2} \frac{\partial^{2} u(x, t)}{\partial x^{2}}$ ．
（2）设 $\displaystyle \rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, u=\frac{1}{\rho}(\varphi(\rho-a t)+\psi(\rho+a t))$ ，其中，$\displaystyle \varphi, \psi$ 二阶可微，试求： $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}-a^{2}\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}\right)$.

5．求解或证明下列各题．
（1）设 $\displaystyle f$ 二阶可微，$\displaystyle u(x, y, z)=f(r), r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ ．
（1）求 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}$ ．
（2）若 $\displaystyle u$ 满足方程 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}=0$ ，试求出函数 $\displaystyle u$ 。
（3）若 $\displaystyle u$ 满足方程 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}=F(r)$ ，试求出函数 $\displaystyle F(r)$ ．
（2）设 $\displaystyle u(x, y)$ 是 $\displaystyle \mathbf{R}^{2} \backslash\{(0,0)\}$ 上 $\displaystyle C^{2}$ 径 向函数，即存在一元函数 $\displaystyle f(x)$ 使得 $\displaystyle u(x, y)=f(r)$ ， $\displaystyle r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ ．若 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0$ ，求 $\displaystyle f$ 满足的方程及函数 $\displaystyle u(x, y)$ ．
（3）设 $\displaystyle u=u(r), r=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}}, n \geqslant 3$ ，若 $\displaystyle u$ 满足 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x_{1}^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial x_{2}^{2}}+\cdots+\frac{\partial^{2} u}{\partial x_{n}^{2}}=0$ ，求 $\displaystyle u$ ．
（4）已知 $\displaystyle u=f\left(\ln \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right), u=f(v), \frac{\partial^{2} u}{\partial^{2} x}+\frac{\partial^{2} u}{\partial^{2} y}+\frac{\partial^{2} u}{\partial^{2} z}=\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-\frac{3}{2}}$ ，且 $\displaystyle f(1)=-\frac{2}{\mathrm{e}}$ ， $\displaystyle f^{\prime}(1)=\frac{1}{\mathrm{e}}$ ．求 $\displaystyle f(v)$ ．
（5）设函数 $\displaystyle u=f\left(\ln \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)$ 满足方程 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}$ ，试求函数 $\displaystyle f$ 的表达式．

5．设 $\displaystyle F(u, v)$ 是具有连续偏导数的二元函数．
（1）验证 $\displaystyle w=F(x y, y z)$ 满足 $\displaystyle x \frac{\partial w}{\partial x}+z \frac{\partial w}{\partial z}=y \frac{\partial w}{\partial y}$ ，这时 $\displaystyle F(x y, y z)$ 称为以上偏微分方程的完全积分．
（2）利用猜试法求以下偏微分方程的完全积分：$\displaystyle x_{1} \frac{\partial w}{\partial x_{1}}+\cdots+x_{m} \frac{\partial w}{\partial x_{m}}=y \frac{\partial w}{\partial y}$ ．

6．讨论下列函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在原点 $\displaystyle (0,0)$ 处的连续性、偏导数的存在性以及可微性．
（1）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（2）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2} y}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（3）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$

6．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle u=v(x, y)$ 有连续一阶偏导数，$\displaystyle u(x, y)=x v+y \varphi(v)+\psi(v)$ ，其中 $\displaystyle \varphi, \psi$ 可微，且 $\displaystyle x+y \varphi^{\prime}(v)+\psi^{\prime}(v)=0$ 。证明：$\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} \cdot \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}-\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}\right)^{2}=0$ ．
（2）设函数 $\displaystyle \varphi$ 和 $\displaystyle \psi$ 二次可微，证明：函数 $\displaystyle u(t, x)=\varphi(x-a t)+\psi(x+a t)$ 满足弦振动方程 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=a^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}$ ．

6．求由下列方程所确定的隐函数的导数．
（1） $\displaystyle \mathrm{e}^{-x y}-2 x+\mathrm{e}^{z}=0$ ，求 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}$ ．
（2） $\displaystyle \mathrm{e}^{z}-x y z=0$ ，求 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$ 。
（3）$\displaystyle \frac{x}{z}=\ln \frac{z}{y}$ ，求 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$ 。

7．讨论下列函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在原点 $\displaystyle (0,0)$ 处的连续性、偏导数的存在性以及可微性．
（1）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}},(x, y) \neq(0,0), \\ 0,(x, y)=(0,0) .\end{array}(\right.$ 山东科技 2010／2011，上海理工 2005，温州大学 2012）
（2）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2} y-y^{3}}{x^{2}+y^{2}},(x, y) \neq(0,0), \\ 0,(x, y)=(0,0) .\end{array}\right.$

7．求由下列方程所确定的隐函数的导数．
（1）方程 $\displaystyle z^{2} x-z^{3} y+y-1=0$ 在 $\displaystyle (1,2,1)$ 附近确定隐函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ ，求 $\displaystyle z_{x x}(1,2)$ ．
（2）方程 $\displaystyle x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}+2 x y-z=7$ 在 $\displaystyle (1,-2,1)$ 附近确定隐函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ ，并求 $\displaystyle z_{x y}(1,-2)$ 的值．

8．设二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{\alpha} y}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \alpha>0, \text { 试问 } \alpha \text { 为何值时函数 } f(x, y) \text { 在点 }(0,0) \\ 0, x^{2}+y^{2}=0,\end{array}\right.$处可微？

8．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle z=z(x, y)$ 由方程 $\displaystyle F(x-z, y-z)=0$ 所确定的隐函数，其中 $\displaystyle F$ 具有连续二阶偏导数，证明：$\displaystyle z_{x x}+2 z_{x y}+z_{y y}=0$ ．
（2）设函数 $\displaystyle F(u, v)$ 有连续的二阶偏导数，求证：由方程 $\displaystyle F\left(\frac{x-x_{0}}{z-z_{0}}, \frac{y-y_{0}}{z-z_{0}}\right)=0$ 所确定的隐函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ 满足下列两个方程：$\displaystyle \left(x-x_{0}\right) \frac{\partial z}{\partial x}+\left(y-y_{0}\right) \frac{\partial z}{\partial y}=z-z_{0}$ 和 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} \cdot \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}-\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}\right)^{2}=0$ ．

8．求由下列方程所确定的隐函数的导数．
（1）已知 $\displaystyle z=z(x, y)$ 是由方程 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+h^{2}(z)=1$ 所确定的隐函数，且 $\displaystyle h(z)$ 具有所需性质，求 $\displaystyle z_{x y}$ ．
（2）已知 $\displaystyle z=z(x, y)$ 是由方程 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+\mathrm{e}^{h(z)}=1$ 所确定的隐函数，且 $\displaystyle h(z)$ 具有所需性质，求 $\displaystyle z_{x y}$ 。
（3）已知 $\displaystyle z=z(x, y)$ 是由方程 $\displaystyle x+y+z=x y z$ 所确定的隐函数，求 $\displaystyle z_{x x}, z_{x y}, z_{y y}$ ．
（4）$\displaystyle f(x, x+y, x+y+z)=0$ ，其中 $\displaystyle f(x, y, z)$ 具有二阶连续偏导数，求 $\displaystyle z_{x x}$ 。

9．设二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}x y \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0,\end{array}\right.$ 讨论 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处的连续性，并计算 $\displaystyle f_{x}^{\prime}(0,0), f_{x y}^{\prime \prime}(0,0)$ ．

9．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(u, v)$ 有二阶连续偏导数且满足 Laplace 方程 $\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial u^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial v^{2}}=0$ 。试证：$\displaystyle z=f\left(x^{2}-y^{2}, 2 x y\right)$ 也满足 Laplace 方程 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(u, v)$ 有二阶连续偏导数且满足 Laplace 方程 $\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial u^{2}}-\frac{\partial^{2} f}{\partial v^{2}}=0$ ．试证：$\displaystyle z=f\left(x^{2}+y^{2}, 2 x y\right)$ 也满足 Laplace 方程 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=0$ ．
（3）设函数 $\displaystyle u=u(x, y)$ 二阶连续可微，$\displaystyle x=\mathrm{e}^{s} \cos t, y=\mathrm{e}^{s} \sin t$ ，若 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0$ ，求 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial s^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}$ ．

10．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle x=f(u, v), y=g(u, v)$ 具有二阶连续偏导数，并满足 $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial u}=\frac{\partial g}{\partial v}, \frac{\partial f}{\partial v}=-\frac{\partial g}{\partial u}$ ，设 $\displaystyle \omega=\omega(x, y)$ ，证明 $\displaystyle \frac{\partial^{2} w}{\partial^{2} u}+\frac{\partial^{2} w}{\partial^{2} v}=\left(\frac{\partial^{2} w}{\partial^{2} x}+\frac{\partial^{2} w}{\partial^{2} y}\right)\left[\left(\frac{\partial f}{\partial u}\right)^{2}+\left(\frac{\partial f}{\partial v}\right)^{2}\right]$ ．
（2）设 $\displaystyle z=z(x, y)$ 满足 $\displaystyle \Delta z \equiv \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=0$ 。作满足 $\displaystyle \frac{\partial \varphi}{\partial s}=\frac{\partial \psi}{\partial t}, \frac{\partial \varphi}{\partial t}=-\frac{\partial \psi}{\partial s}$ 的变换 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=\varphi(s, t) \text { ，证 } \\ y=\psi(s, t),\end{array}\right.$明 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial s^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial t^{2}}=0$ ．
（3）给定积分 $\displaystyle I=\iint_{D}\left[\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^{2}\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，作正则变换 $\displaystyle x=x(u, v), y=y(u, v)$ ，区域 $\displaystyle D$ 变成 $\displaystyle \Omega$ 。如果变换满足 $\displaystyle \frac{\partial x}{\partial u}=\frac{\partial y}{\partial v}, \frac{\partial x}{\partial v}=-\frac{\partial y}{\partial u}$ ．试证 $\displaystyle I=\iint_{\Omega}\left[\left(\frac{\partial f}{\partial u}\right)^{2}+\left(\frac{\partial f}{\partial v}\right)^{2}\right] \mathrm{d} u \mathrm{~d} v$ ．

11．设二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},(x, y) \neq(0,0) \text { ，证明：（1）} f(x, y) \text { 在点 }(0,0) \text { 连续；（2）} f_{x}(x, y) \text { ，} \\ 0,(x, y)=(0,0),\end{array}\right. f_{y}(x, y)$ 在全平面有界；（3）$\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 不可微．

11．通过变量代换变换方程．
（1）令 $\displaystyle x=u v, y=\frac{1}{2}\left(u^{2}-v^{2}\right)$ ，变换方程 $\displaystyle \left(z_{x}\right)^{2}+\left(z_{y}\right)^{2}=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ ．
（2）用变换 $\displaystyle u=\ln \sqrt{x^{2}+y^{2}}, v=\arctan \frac{x}{y}$ ，化简方程 $\displaystyle (x+y) z_{x}-(x-y) z_{y}=0$ ．
（3）通过变换 $\displaystyle u=x y, v=\frac{x}{y}$ 将方程 $\displaystyle x^{2} z_{x x}-y^{2} z_{y y}=0$ 变换为以 $\displaystyle u, v$ 为新的自变量的方程．

12．证明下列 $\displaystyle f(x, y)$ 在原点 $\displaystyle (0,0)$ 处连续，但不可微．
（1）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2} y^{2}}{\sqrt{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}}},(x, y) \neq(0,0), \\ 0,(x, y)=(0,0) .\end{array}\right.$
（2）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}x-y+\frac{x^{2} y^{2}}{\sqrt{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}}},(x, y) \neq(0,0), \\ 0,(x, y)=(0,0) .\end{array}\right.$

12．设 $\displaystyle z=z(x, y)$ 二阶连续可微，对微分方程 $\displaystyle \frac{1}{(x+y)^{2}}\left(z_{x x}+2 z_{x y}+z_{y y}\right)-\frac{1}{(x+y)^{3}}\left(z_{x}+z_{y}\right)=0$ 作变量代换 $\displaystyle u=x y, v=x-y$ 。（1）求代换后的方程；（2）指出变量代换失效的点集，并指出失效的理由，代换在失效点集上会产生什么现象。

13．讨论下列函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}^{2}$ 的连续性及可微性．
（1）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\tan (x y)}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\mu}},(x, y) \neq(0,0), \\ 0,(x, y)=(0,0),\end{array} \quad \mu>\frac{1}{2}\right.$ ．
（2）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2} y}{\sqrt{x^{4}+y^{2}}},(x, y) \neq(0,0), \\ 0,(x, y)=(0,0) .\end{array}\right.$

13．求解下列各题．
（1）方程 $\displaystyle F\left(\frac{x}{z}, \frac{y}{z}\right)=0$ 确定隐函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ ，求 $\displaystyle x z_{x}+y z_{y}$ 。
（2）设 $\displaystyle z=f(u)$ ，方程 $\displaystyle u=\varphi(u)+\int_{y}^{x} p(t) \mathrm{d} t$ 确定隐函数 $\displaystyle u=u(x, y)$ ，其中 $\displaystyle f(u), \varphi(u)$ ，可微， $\displaystyle p(t), \varphi^{\prime}(u)$ 连续且 $\displaystyle \varphi^{\prime}(u) \neq 1$ ，求 $\displaystyle p(y) z_{x}+p(x) z_{y}$ 。
（3）设 $\displaystyle G(s, t)$ 是二元连续可微函数，满足 $\displaystyle a G_{s}+b G_{t} \neq 0$ ，又设 $\displaystyle z=f(x, y)$ 是由 $\displaystyle G(c x-a z, c y-b z)=0$ 定义的隐函数，其中 $\displaystyle a, b, c$ 均为常数。（1）求 $\displaystyle a z_{x}+b z_{y}$ ；（2）求 $\displaystyle z_{x y}$ 。
（4）设 $\displaystyle z=f(x, y)$ 有二阶连续偏导数，$\displaystyle u=x+a y, v=x-a y(a \neq 0)$ ，求 $\displaystyle z_{u v}$ 。
（5）设函数 $\displaystyle z=f(x, y)$ 满足方程 $\displaystyle F(u, v)=0$ ，其中 $\displaystyle u=x+a z, v=y+b z, a, b$ 为常数，$\displaystyle F$ 可微，且 $\displaystyle a F_{u}+b F_{v} \neq 0$ ，求积分 $\displaystyle \iint_{x^{2}+y^{2}<1} \mathrm{e}^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}\left(a z_{x}+b z_{y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。

14．通过变量代换变换方程．
（1）设 $\displaystyle z=z(x, y)$ 为可微函数，试将方程 $\displaystyle x^{2} z_{x}+y^{2} z_{y}=z^{2}$ 变换成 $\displaystyle w(u, v)$ 的方程，假设 $\displaystyle x=u$ ， $\displaystyle y=\frac{u}{1+u v}, z=\frac{u}{1+u w}$.
（2）设 $\displaystyle u=x, v=\frac{1}{y}-\frac{1}{x}, w=\frac{1}{z}$ ，以 $\displaystyle w$ 为新函数，$\displaystyle u, v$ 为新自变量，试变换方程 $\displaystyle x^{2} z_{x}+y^{2} z_{y}=z^{2}$ 。

15．构造符合条件的函数。
（1）构造一个二元函数，使它在原点处可微但偏导数不连续，并加以说明．
（2）构造一个二元函数 $\displaystyle f(x, y)$ ，使得它在原点 $\displaystyle (0,0)$ 的两个偏导数都存在，但在原点不可微．
（3）试作出定义在 $\displaystyle \mathbf{R}^{2}$ 中的一个函数 $\displaystyle f(x, y)$ ，使得它在原点处任何方向的导数都存在，但在原点不可微．
（4）试作出定义在 $\displaystyle \mathbf{R}^{2}$ 中的一个函数 $\displaystyle f(x, y)$ ，使得它在原点处同时满足以下三个条件： （1）$\displaystyle f(x, y)$ 的两个偏导数都存在；（2）任何方向的极限都存在；（3）在原点不连续．
（5）讨论偏导数存在能否推出可微？若能，请给出证明，若不能，请举出反例并加以说明．

15．通过变量代换变换方程．
（1）在极坐标变换 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=r \cos \theta \\ y=r \sin \theta\end{array}\right.$ 下变换方程 $\displaystyle u_{x x}+u_{y y}=f(x, y)$ ．
（2）将直角坐标系下的 Laplace 方程 $\displaystyle u_{x x}+u_{y y}=0$ 化为极坐标系下的形式．

16．设二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1-\mathrm{e}^{x\left(x^{2}+y^{2}\right)}}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0,(1) \text { 证明 } f(x, y) \text { 在点 }(0,0) \text { 可微．（2）求$f(x, y)$\displaystyle 在点$(0,0)$\displaystyle 处的 4 阶泰勒公式，并写出$f_{x y}(0,0), \frac{\partial^{4} f}{\partial x^{4}}(0,0)$ ．

16．通过变量代换变换下列方程．
（1）已知 $\displaystyle z=z(x, y)$ 具有二阶连续偏导数，且满足方程 $\displaystyle z_{x x}+2 z_{x y}+z_{y y}=0$ 。利用变换 $\displaystyle u=x+y$ ， $\displaystyle v=x-y, w=x y-z(x, y)$ ，证明：$\displaystyle w=w(u, v)$ 满足偏导数方程 $\displaystyle 2 w_{u u}=1$ ，并确定 $\displaystyle w=w(u, v)$ 的表达式．
（2）设 $\displaystyle u=\frac{x+y}{2}, v=\frac{x-y}{2}, w=z \mathrm{e}^{y}$ ，取 $\displaystyle u, v$ 为新的变量以及 $\displaystyle w(u, v)$ 为新函数，变换方程 $\displaystyle z_{x x}+z_{x y}+z_{x}=z$ ．
（3）设 $\displaystyle u=x, v=x+y, w=x+y+z$ ，以 $\displaystyle u, v$ 为新的自变量，$\displaystyle w=w(u, v)$ 为新函数，把方程 $\displaystyle z_{x x}-2 z_{x y}+z_{y y}=0$ 变换为 $\displaystyle w_{u u}=0$ 。

16．验证微分式与路径无关，并求其值．
（1）验证 $\displaystyle \int_{(0,0)}^{(x, y)}\left(2 x \cos y-y^{2} \sin x\right) \mathrm{d} x+\left(2 y \cos x-x^{2} \sin y\right) \mathrm{d} y$ 与路径无关，并求其值。
（2）验证微分式 $\displaystyle \frac{2 x\left(1-\mathrm{e}^{y}\right)}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} \mathrm{~d} x+\frac{\mathrm{e}^{y}}{1+x^{2}} \mathrm{~d} y,(x, y) \in \mathrm{R}^{2}$ 存在原函数，并求它的原函数．
（3）验证微分式 $\displaystyle \mathrm{e}^{x}\left[\mathrm{e}^{y}(x-y+2)+y\right] \mathrm{d} x+\mathrm{e}^{x}\left[\mathrm{e}^{y}(x-y)+1\right] \mathrm{d} y$ 存在原函数，并求它的原函数．
（4）验证微分式 $\displaystyle \left(x^{2}+2 x y-y^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(x^{2}-2 x y-y^{2}\right) \mathrm{d} y$ 存在原函数，并求它的原函数．
（5）证明 $\displaystyle \left(3 x^{2} y+8 x y^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(x^{3}+8 x^{2} y+12 y \mathrm{e}^{y}\right) \mathrm{d} y$ 为某个函数的全微分，并求它的原函数．
（6）证明 $\displaystyle \omega=\left(\mathrm{e}^{x} \sin y-2 y\right) \mathrm{d} x+\left(\mathrm{e}^{x} \cos y-2 x\right) \mathrm{d} y$ 有原函数，并求它的一个原函数．
（7）试证 $\displaystyle \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^{2}+y^{2}}$ 在右半平面 $\displaystyle x>0$ 内是某函数 $\displaystyle u(x, y)$ 的全微分，并求 $\displaystyle u(x, y)$ ．
（8）设 $\displaystyle \mathrm{d} u(x, y)=\frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{3 x^{2}-2 x y+y^{2}}$ ，求 $\displaystyle u(x, y)$ ．

17．讨论下列函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在原点 $\displaystyle (0,0)$ 处的连续性、偏导数的存在性以及可微性．
（1）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}x y \ln \left(x^{2}+y^{2}\right), x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（2）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2} y}{x^{2}+y^{2}} \sin \sqrt{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（3）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\sin \left(x^{2}+y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 1, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（4）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\sqrt{|x y|} \frac{\sin \left(x^{2}+y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}},(x, y) \neq(0,0), \\ 0,(x, y)=(0,0) .\end{array}\right.$

17．用 $\displaystyle u=x+y, v=\frac{x}{y}, w=\frac{z}{x}$ ，变换方程 $\displaystyle z_{x x}-2 z_{x y}+z_{y y}=0$ ，其中 $\displaystyle u, v$ 为新的自变量，$\displaystyle w$ 为新的因变量．

18．证明下列 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处连续，但不可微．
（1）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{(x+y) \sin (x y)}{x^{2}+y^{2}},(x, y) \neq(0,0), \\ 0,(x, y)=(0,0) .\end{array}\right.$
（2）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{y^{3}}{x^{2}+y^{2}} \sin \frac{y}{x}, x \neq 0, \\ 0, x=0 .\end{array}(\right.$ 华东师大 2009）
（3）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}y \sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$

18．通过变量代换变换方程．
（1）证明：在变换 $\displaystyle u=\frac{x}{y}, v=x, w=x z-y$ 之下，方程 $\displaystyle y z_{y y}+2 z_{y}=\frac{2}{x}$ 可变成 $\displaystyle w_{u u}=0$ 。
（2）设 $\displaystyle u=\frac{y}{x}, v=y$ ，证明：等式 $\displaystyle x^{2} f_{x x}-2 x y f_{x y}+y^{2} f_{y y}=0$ 可简化为 $\displaystyle f_{v v}=0$ 。

19．讨论下列函数的可微性．
（1）设二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}x^{\frac{4}{3}} \sin \frac{y}{x}, x \neq 0, \\ 0, x=0 .\end{array}\right.$ 确定 $\displaystyle f(x, y)$ 在平面中所有可微的点及不可微的点，并说明理由．
（2）讨论 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\left(1-\cos \frac{x^{2}}{y}\right) \sqrt{x^{2}+y^{2}}, y \neq 0 \\ 0, y=0\end{array}\right.$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处的可微性．

19．已知函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ 满足方程 $\displaystyle \left(1-x^{2}\right) z_{x x}+\left(1-y^{2}\right) z_{x y}=x z_{x}+y z_{y}$ ，试利用 $\displaystyle x=\sin \xi$ ， $\displaystyle y=\sin \eta, z=\mathrm{e}^{u}$ 把方程变成新函数 $\displaystyle u=u(\xi, \eta)$ 所满足的方程．

19．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上连续，求 $\displaystyle \int_{L}\left(\frac{1+y^{2} f(x y)}{y}\right) \mathrm{d} x+\frac{x}{y^{2}}\left(y^{2} f(x y)-1\right) \mathrm{d} y$ ，其中
（1）$\displaystyle L$ 为从点 $\displaystyle A\left(3, \frac{2}{3}\right)$ 到点 $\displaystyle B(1,2)$ 的任何分段光滑曲线（不含 $\displaystyle y=0$ 的点）．
（2）$\displaystyle L$ 为从点 $\displaystyle A(2,3)$ 到点 $\displaystyle B(3,2)$ 的任何分段光滑曲线（不含 $\displaystyle y=0$ 的点）．
（3）$\displaystyle L$ 为上半平面 $\displaystyle y>0$ 内的有向分段光滑曲线，起点为 $\displaystyle A(a, b)$ ，终点为 $\displaystyle B(c, d) .(a b=c d)$ ．

提示：被积函数两部分有关联，且 $\displaystyle f$ 可导，考虑积分与路径无关．

20．讨论下列函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在原点 $\displaystyle (0,0)$ 处的连续性、偏导数的存在性以及可微性．
（1）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}x y \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（2）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}(x y)^{p} \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}(\right.$ 湖南师大 2009）
（3）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}x y \cos \frac{1}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$

20．设 $\displaystyle f(x, y)$ 有二阶连续的偏导数，$\displaystyle \theta$ 为常数，令 $\displaystyle x=u \cos \theta-v \sin \theta, y=u \sin \theta+v \cos \theta$ ，则 $\displaystyle \left(f_{x}\right)^{2}+\left(f_{y}\right)^{2}=\left(f_{u}\right)^{2}+\left(f_{v}\right)^{2}, \quad f_{x x}+f_{y y}=f_{u u}+f_{v v}$.

20．设 $\displaystyle L$ 为从点 $\displaystyle (0,1)$ 到点 $\displaystyle (0,3)$ 的曲线 $\displaystyle x=\sqrt{4 y-y^{2}-3}$ ，函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上连续可微，求 $\displaystyle \int_{L}\left(\frac{1}{y}+y f(x y)\right) \mathrm{d} x+\left(x f(x y)-\frac{x}{y^{2}}+\frac{5 y}{\left(y^{2}+1\right)^{2}}\right) \mathrm{d} y$ 。
分析：曲线积分与路径无关，

21．讨论下列函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在原点 $\displaystyle (0,0)$ 处的连续性、偏导数在原点 $\displaystyle (0,0)$ 处的连续性以及函数在原点 $\displaystyle (0,0)$ 处的可微性．
（1）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\left(x^{2}+y^{2}\right) \sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（2）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\left(x^{2}+y^{2}\right) \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（3）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\left(x^{2}+y^{2}\right) \cos \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（4）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}(x+y)^{2} \sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$

21．变换方程．
（1）设 $\displaystyle u=x-2 \sqrt{y}, v=x+2 \sqrt{y}$ ，以 $\displaystyle u, v$ 为新的自变量变换方程 $\displaystyle z_{x x}-y z_{y y}=\frac{1}{2} z_{y}(y>0)$ ，并求解该方程．
（2）证明线性变换 $\displaystyle \xi=x-y, \eta=x-\frac{1}{3} y$ 将方程 $\displaystyle z_{x x}+4 z_{x y}+3 z_{y y}=0$ 化为方程 $\displaystyle z_{\xi \eta}=0$ 。

22．设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}(x+y)^{p} \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0,\end{array}\right.$ 证 明 ：（1）$\displaystyle p>0$ 时，$\displaystyle f(x, y)$ 在 点 $\displaystyle (0,0)$ 连续；（2）$\displaystyle p>1$ 时，$\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 可微；（3）$\displaystyle p>2$ 时，$\displaystyle f(x, y)$ 的偏导数在点 $\displaystyle (0,0)$ 连续．

22．变换方程．
（1）设变换 $\displaystyle u=x-2 y, v=x+a y$ 把方程 $\displaystyle 6 z_{x x}+z_{x y}-z_{y y}=0$ 简化为 $\displaystyle z_{u v}=0$ ，试求常数 $\displaystyle a$ ．
（2）设变换 $\displaystyle u=x+2 y, v=x+a y$ 把方程 $\displaystyle 2 z_{x x}+z_{x y}-z_{y y}=0$ 简化为 $\displaystyle z_{u v}=0$ ，试求常数 $\displaystyle a$ ．
（3）设变换 $\displaystyle \xi=x+\lambda y, \eta=x-2 y(\lambda \neq-2)$ 把方程 $\displaystyle 14 z_{x x}+5 z_{x y}-z_{y y}=0$ 简化为 $\displaystyle z_{\xi \eta}=0$ ，试求常数 $\displaystyle \lambda$ ，并由此求出偏微分方程的解．
（4）设 $\displaystyle z=z(x, y)$ 具有二阶连续偏导数，证明存在常数 $\displaystyle a, b$ 使得变换 $\displaystyle u=x+a y, v=x+b y$ 可将微分方程 $\displaystyle z_{x x}+4 z_{x y}+3 z_{y y}=0$ 化为 $\displaystyle z_{u v}=0$ ．
（5）已知变换 $\displaystyle \xi=x+a y, \eta=x+b y$ ，试将方程 $\displaystyle 2 z_{x x}-3 z_{x y}+z_{y y}=0$ 化为 $\displaystyle z_{\xi \eta}=0$ ，求 $\displaystyle a, b$ 的值．
（6）设函数 $\displaystyle u(x, t)$ 有二阶连续偏导数，作自变量变换 $\displaystyle \xi=x+a t, \eta=x-a t$ 后函数变为 $\displaystyle u(\xi, \eta)$ ，问方程 $\displaystyle u_{t t}=a^{2} u_{x x}$ 变为什么形式？并求此方程的通解．

22．求下列积分或未知函数．
（1）设曲线积分 $\displaystyle \int_{L} x y^{2} \mathrm{~d} x+y \varphi(x) \mathrm{d} y$ 与路径无关，其中 $\displaystyle \varphi(x)$ 具有连续导数，且 $\displaystyle \varphi(0)=0$ ，试计算 $\displaystyle I=\int_{(0,0)}^{(1,1)} x y^{2} \mathrm{~d} x+y \varphi(x) \mathrm{d} y$. ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上有连续的导函数，且曲线积分 $\displaystyle \int_{L}\left(\mathrm{e}^{x}+f(x)\right) y \mathrm{~d} x+f(x) \mathrm{d} y$ 与路径无关，且 $\displaystyle f(0)=0$ ，求 $\displaystyle I=\int_{(0.0)}^{(1.1)}\left(e^{x}+f(x)\right) y \mathrm{~d} x+f(x) \mathrm{d} y$ 。
（3）设 $\displaystyle g(u)$ 为连续可微函数，若曲线积分 $\displaystyle \int_{c} y\left(\mathrm{e}^{x}+2 g(x)\right) \mathrm{d} x-g(x) \mathrm{d} y$ 与路径无关，且 $\displaystyle g(0)=1$ ，求 $\displaystyle \int_{(0.0)}^{(1.1)} y\left(\mathrm{e}^{x}+2 g(x)\right) \mathrm{d} x-g(x) \mathrm{d} y$ ．
（4）设曲线积分 $\displaystyle \int_{C}\left(f(x)-\mathrm{e}^{x}\right) \sin y \mathrm{~d} x-f(x) \cos y \mathrm{~d} y$ 与路径无关，其中 $\displaystyle f(x)$ 有一阶连续导数，且 $\displaystyle f(0)=0$ ．试求 $\displaystyle f(x)$ ．
（5）当 $\displaystyle x>-1$ 时，$\displaystyle f(x)$ 连续可导，$\displaystyle f(0)=\frac{6}{5}$ ，对半平面 $\displaystyle x>-1$ 上的任一闭曲线，有

$$
\oint_{L}\left(y-5 y \mathrm{e}^{-2 x} f(x)\right) \mathrm{d} x+\mathrm{e}^{-2 x} f(x) \mathrm{d} y=0
$$


试求 $\displaystyle f(x)$ ，并且计算 $\displaystyle \int_{L}\left(y-5 y \mathrm{e}^{-2 x} f(x)\right) \mathrm{d} x+\mathrm{e}^{-2 x} f(x) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 为从点 $\displaystyle (1,0)$ 到点 $\displaystyle (2,3)$ 的弧段．（电子科大2011）
（6）设 $\displaystyle f(x)$ 为连续可微函数，$\displaystyle f(1)=1, G$ 为不包含原点的单连通域，任取 $\displaystyle M, N \in G$ ，在 $\displaystyle G$ 内曲线积分 $\displaystyle \int_{N}^{M} \frac{1}{2 x^{2}+f(y)}(y \mathrm{~d} x-x \mathrm{~d} y)$ 与路径无关。试求 $\displaystyle \int_{L} \frac{1}{2 x^{2}+f(y)}(y \mathrm{~d} x-x \mathrm{~d} y)$ ，其中 $\displaystyle L$ 为
$\displaystyle x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}$ ，取正向．

23．讨论下列问题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{p} \sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0,\end{array}\right.$ 试分别确定 $\displaystyle p$ 的值，使以下结论成立：
（1）$\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 连续；（2）$\displaystyle f_{x}(0,0), f_{y}(0,0)$ 存在；（3）$\displaystyle f_{x}(x, y), f_{y}(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 连续．
（2）设函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{p}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0,\end{array}\right.$ 试分别确定 $\displaystyle p$ 的值，使以下结论成立： （1）$\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 连续；（2）$\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 可微；（3）$\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 的方向导数存在．（折江大学 2014，沈阳工大 2014（ $\displaystyle p=2^{-1}$ ），长安大学 2007，江苏大学 2004）
（3）确定 $\displaystyle \beta$ 的值，使函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\beta} \sin \frac{1}{x^{4}+y^{4}}, x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 可微．

23．设常数 $\displaystyle a, b, c$ 满足 $\displaystyle a c-b^{2}<0$ ，且线性变换 $\displaystyle \xi=x+\lambda_{1} y, \eta=x+\lambda_{2} y$ 把方程 $\displaystyle a u_{x x}+2 b u_{x y}+c u_{y y}=0$ 变换为方程 $\displaystyle u_{\xi \eta}=0$ 。证明：（1）$\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}$ 为方程 $\displaystyle c \lambda^{2}+2 b \lambda+a=0$ 的两个不同实根，并求 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}$ 的值；（2）求满足 $\displaystyle a u_{x x}+2 b u_{x y}+c u_{y y}=0$ 的一切函数．

23．求末知函数．
（1）设 $\displaystyle Q(x, y)$ 有连续的一阶偏导数，积分 $\displaystyle \int_{L} 2 x y \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$ 完全决定于 $\displaystyle L$ 的起点与终点，且对任何实数 $\displaystyle t$ 成立等式： $\displaystyle \int_{(0,0)}^{(t, 1)} 2 x y \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=\int_{(0,0)}^{(1, t)} 2 x y \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$ ，求函数 $\displaystyle Q(x, y)$ 。
（2）设 $\displaystyle Q(x, y)$ 有连续的一阶偏导数，积分 $\displaystyle \int_{L} 3 x^{2} y \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$ 完全决定于 $\displaystyle L$ 的起点与终点，且对任何实数 $\displaystyle z$ 成立等式： $\displaystyle \int_{(0,0)}^{(z, 1)} 3 x^{2} y \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=\int_{(0,0)}^{(1, z)} 3 x^{2} y \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$ ，求函数 $\displaystyle Q(x, y)$ 。华中科大2005）

24．设函数 $\displaystyle f(x ; y, z)=\left\{\begin{array}{l}\left(|x|^{\alpha}+|y|^{\beta}+|z|^{\gamma}\right) \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}, x^{2}+y^{2}+z^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}+z^{2}=0,\end{array}\right.$ 试证明：当 $\displaystyle \alpha>1$, $\displaystyle \beta>1, \gamma>1, f(x, y, z)$ 在点 $\displaystyle (0,0,0)$ 可微．

24．变换方程．
（1）设 $\displaystyle u(x, y)$ 满足 $\displaystyle u_{x x}-u_{y y}+2\left(u_{x}+u_{y}\right)=0$ 。用 $\displaystyle u=v(x, y) \mathrm{e}^{\alpha x+\beta y}$ 变换方程，确定 $\displaystyle \alpha, \beta$ 使方程不含一阶导数项．
（2）设 $\displaystyle z=u(x, y) \mathrm{e}^{\alpha x+\beta y}$ ，其中 $\displaystyle u(x, y)$ 满足 $\displaystyle u_{x y}=0$ ，确定 $\displaystyle \alpha, \beta$ 使下述等式成立：

$$
z_{x y}-z_{x}-z_{y}+z=0 \text {. }
$$

24．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle \varphi(x)$ 具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线 $\displaystyle C$ 上，曲线积分 $\displaystyle \oint_{c} \frac{2 x y \mathrm{~d} x+\varphi(x) \mathrm{d} y}{x^{4}+y^{2}}$ 的值为常数．
（1）设 $\displaystyle C$ 为正向闭曲线 $\displaystyle (x-2)^{2}+y^{2}=1$ ，证明：$\displaystyle \oint_{C} \frac{2 x y \mathrm{~d} x+\varphi(x) \mathrm{d} y}{x^{4}+y^{2}}=0$ ；
（2）求函数 $\displaystyle \varphi(x)$ ；
（3）设 $\displaystyle C$ 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求 $\displaystyle \oint_{C} \frac{2 x y \mathrm{~d} x+\varphi(x) \mathrm{d} y}{x^{4}+y^{2}}$ ．
（2）设函数 $\displaystyle \varphi(y)$ 具有连续的导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线 $\displaystyle L$ 上，曲线积分 $\displaystyle \oint_{C} \frac{\varphi(y) \mathrm{d} x+2 x y \mathrm{~d} y}{2 x^{2}+y^{4}}$ 的值恒为常数，试证明：对右半平面 $\displaystyle x>0$ 内的任意分段光滑简单闭曲线 $\displaystyle C \perp$ ，有 $\displaystyle \oint_{C} \frac{\varphi(y) \mathrm{d} x+2 x y \mathrm{~d} y}{2 x^{2}+y^{4}}=0$ ，并求 $\displaystyle \varphi(y)$ 函数的表达式．

25．设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\tan \frac{|x|^{\lambda}+|y|^{\delta}}{x^{2}+y^{2}},(x, y) \neq(0,0), \\ 0,(x, y)=(0,0),\end{array}\right.$ 其中 $\displaystyle \lambda, \delta>0$ ，问对哪些 $\displaystyle \lambda, \delta, f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$可微？

分析：欲使 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 可微，必须偏导数 $\displaystyle f_{x}(0,0) f_{y}(0,0)$ 存在．

25．证明：若函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0, l]$ 上连续，且当 $\displaystyle 0 \leqslant \xi \leqslant l$ 时，$\displaystyle (x-\xi)^{2}+y^{2}+z^{2} \neq 0$ ，则函数 $\displaystyle u(x, y, z)=\int_{0}^{1} \frac{f(\xi)}{\sqrt{(x-\xi)^{2}+y^{2}+z^{2}}} \mathrm{~d} \xi$ 满足 Laplace 方程 $\displaystyle u_{x x}+u_{y y}+u_{z z}=0$ ．

25．求末知常数或条件．
（1）试求常数 $\displaystyle \lambda$ ，使得曲线积分 $\displaystyle \frac{x}{y} r^{\lambda} \mathrm{d} x-\frac{x^{2}}{y^{2}} r^{\lambda} \mathrm{d} y$ 为某个函数 $\displaystyle u(x, y)$ 的全微分（或 $\displaystyle \oint_{L} \frac{x}{y} r^{\lambda} \mathrm{d} x-\frac{x^{2}}{y^{2}} r^{\lambda} \mathrm{d} y=0$ 对上半平面的任何光滑闭曲线 $\displaystyle L$ 成立），并求 $\displaystyle u(x, y)$ ，其中 $\displaystyle r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 。
（2）求常数 $\displaystyle a$ ，使曲线积分 $\displaystyle I=\oint_{L} \frac{x \mathrm{~d} x-a y \mathrm{~d} y}{x^{2}+y^{2}}$ 的值恒等于零，其中 $\displaystyle L$ 为平面上任一不经过原点 $\displaystyle (0,0)$ 的简单闭曲线。
（3）为了使曲线积分 $\displaystyle \int_{L} F(x, y)(y \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y)$ 与积分路线无关，可微函数 $\displaystyle F(x, y)$ 应满足怎样的条件？

26．证明下列问题．
（1）设二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}g(x, y) \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0,\end{array}\right.$ 证明：
（1）若 $\displaystyle g(0,0)=0, g$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 可微，且 $\displaystyle \mathrm{d} g(0,0)=0$ ，则 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 可微，且 $\displaystyle \mathrm{d} f(0,0)=0$ ．
（2）若 $\displaystyle g$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 可导，且 $\displaystyle f$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 可微，则 $\displaystyle \mathrm{d} f(0,0)=0$ ．
（2）设二元函数 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f(x, y)=A$ ．若 $\displaystyle g(0,0)=0, g(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 可微，证明 $\displaystyle f(x, y) g(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 可微．

26．设 $\displaystyle P(x, y)$ 与 $\displaystyle Q(x, y)$ 为两个二次连续可微的函数，且使得对任何封闭曲线 $\displaystyle C$ ，如下曲线积分 $\displaystyle \oint_{c} P(x+\alpha, y+\beta) \mathrm{d} x+Q(x+\alpha, y+\beta) \mathrm{d} y$ 与常数 $\displaystyle \alpha$ 和 $\displaystyle \beta$ 无关，试证明 $\displaystyle \frac{\partial Q(x, y)}{\partial x}-\frac{\partial P(x, y)}{\partial y}=k$ ，其中 $\displaystyle k$ 为常数．

27．设 $\displaystyle f(x, y)=\varphi(|x y|)$ ，其中 $\displaystyle \varphi(0)=0$ ，且 $\displaystyle \varphi(u)$ 在 $\displaystyle u=0$ 的某个邻域中满足 $\displaystyle |\varphi(u)| \leqslant|u|^{a}$ 。证明：
（1）当 $\displaystyle \alpha>\frac{1}{2}$ 时，$\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处可微；（2）当 $\displaystyle \alpha=\frac{1}{2}$ 时，$\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处不可微．

28．研究或证明下列问题．
（1）设 $\displaystyle f(x, y)=|x-y| \varphi(x, y)$ ，其中 $\displaystyle \varphi(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 的某邻域内连续，证明：$\displaystyle \varphi(0,0)=0$ 是函

数 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处可微的充要条件，并求出函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处的全微分。
（2）设 $\displaystyle f(x, y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \varphi(x, y)$ ，其中 $\displaystyle \varphi(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 的某邻域内连续，证明：函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处可微的充要条件是 $\displaystyle \varphi(0,0)=0$ 。

29．设 $\displaystyle \varphi(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 连续，证明函数 $\displaystyle f(x, y)=(a x+b y) \varphi(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处可微，且 $\displaystyle d f(0,0)=\varphi(0,0)(a \Delta x+b \Delta y)$ ，其中 $\displaystyle a, b$ 为常数．

30．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}^{2}-\{(0,0)\}$ 可微，在点 $\displaystyle (0,0)$ 处连续，且 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{\partial f}{\partial x}=\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{\partial f}{\partial y}=0$ ．求证：$\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处可微．
（2）设 $\displaystyle f(P)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}^{n}-\{(O)\}$ 可微，在点 $\displaystyle (O)$ 处连续，且 $\displaystyle \lim _{P \rightarrow o} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}=0$ ．求证：$\displaystyle f(P)$ 在点 $\displaystyle (O)$ 处可微．
（3）证明：若 $\displaystyle f_{y}(x, y)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处存在，且 $\displaystyle f_{x}(x, y)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处连续，则 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处可微．
（4）设 $\displaystyle f_{x}, f_{y}, f_{y x}$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的某邻域内存在，且 $\displaystyle f_{y x}$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处连续。证明：$\displaystyle f_{x y}$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处存在，且 $\displaystyle f_{x y}\left(x_{0}, y_{0}\right)=f_{y x}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 。，江苏大学 2009）

33．设 $\displaystyle L$ 为绕原点一周的任意简单曲线，取逆时针方向。证明：当 $\displaystyle a_{2}=-b_{1}, a_{1} c_{2}=c_{1} b_{2}$ 时，曲线积分 $\displaystyle \oint_{L} \frac{\left(a_{1} x+a_{2} y\right) \mathrm{d} x+\left(b_{1} x+b_{2} y\right) \mathrm{d} y}{c_{1} x^{2}+c_{2} y^{2}}\left(c_{1}>0, c_{2}>0\right)$ 的值恒为常数，并求下列曲线积分．
（1）$\displaystyle \oint_{L} \frac{(2 x-y) \mathrm{d} x+(2 y+x) \mathrm{d} y}{x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为绕原点一周的任意简单曲线，取逆时针方向．（桂林电子科大2010）
（2）$\displaystyle \oint_{L} \frac{(x+y) \mathrm{d} x-(x-y) \mathrm{d} y}{x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}$ ，逆时针方向．
（3）$\displaystyle \oint_{L} \frac{(x+y) \mathrm{d} x-(x-y) \mathrm{d} y}{x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为平面上不过原点的任一光滑闭曲线，取逆时针方向．
（4）$\displaystyle \oint_{L} \frac{x-y}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x+\frac{x+y}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 为沿椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的逆时针方向．
（5）$\displaystyle \oint_{L} \frac{x-y}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x+\frac{x+y}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 为星形线 $\displaystyle x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}(a>0)$ ，逆时针方向．
（6） $\displaystyle \int_{L} \frac{(x-y) \mathrm{d} x+(x+4 y) \mathrm{d} y}{x^{2}+4 y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ ，逆时针方向。
（7） $\displaystyle \int_{L} \frac{(x-y) \mathrm{d} x+(x+4 y) \mathrm{d} y}{x^{2}+4 y^{2}}$ ，其中为正方形 $\displaystyle |x|+|y| \leqslant 2$ 的边界，逆时针方向。
（8）$\displaystyle \oint_{C} \frac{(y+9 x) \mathrm{d} x+(y-x) \mathrm{d} y}{9 x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle C$ 为单位圆周，逆时针为正向．

34．判断题．
（1）若 $\displaystyle f(x, y)$ 在区域 $\displaystyle D$ 内对 $\displaystyle x$ 和 $\displaystyle y$ 都是连续的，则 $\displaystyle f(x, y)$ 对 $\displaystyle (x, y) \in D$ 为二元连续．

34．假设 $\displaystyle f$ 是一可微函数，求曲面 $\displaystyle z=x f\left(\frac{y}{x}\right)$ 上任一点 $\displaystyle M\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right), x_{0} \neq 0$ 处的切平面方程，并指出该切平面是否过坐标原点．

35．证明下列结论．
（1）已知平面 $\displaystyle l x+m y+n z=p$ 与椭球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 相切，证明 $\displaystyle a^{2} l^{2}+b^{2} m^{2}+c^{2} n^{2}=p^{2}$ ．
（2）证明曲面 $\displaystyle F(n x-l z, n y-m z)=0$ 上任一点处的切平面都平行于直线 $\displaystyle \frac{x-1}{l}=\frac{y-2}{m}=\frac{z-3}{n}$ ，其中 $\displaystyle F$ 有连续的偏导数．
（3）试证曲面上．$\displaystyle F\left(\frac{x-a}{z-c}, \frac{y-b}{z-c}\right)=0$ 任一点处的切平面都过一定点，其中 $\displaystyle F(u, v)$ 可微．
（4）证明曲面 $\displaystyle z^{2}=\left(x^{2}+y^{2}\right) f\left(\frac{y}{x}\right)$ 的所有切平面都经过某个定点，其中 $\displaystyle f$ 为可微函数．
（5）设函数 $\displaystyle F(u, v, w)$ 有连续的偏导数，证明曲面 $\displaystyle F\left(\frac{y}{x}, \frac{z}{y}, \frac{x}{z}\right)=0$ 上各点的切平面都相交于一点，并求出交点的坐标．
（6）设 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上连续可微函数，证明曲面 $\displaystyle a x+b y+c z=f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)$ 上任意一点 $\displaystyle M\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 处的法向量与向量 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 及 $\displaystyle (a, b, c)$ 共面．
（7）设 $\displaystyle \frac{x z}{y}=u, \sqrt{x^{2}+y^{2}}+\sqrt{z^{2}+y^{2}}=v, \sqrt{x^{2}+y^{2}}-\sqrt{z^{2}+y^{2}}=w$ 是以 $\displaystyle u, v, w$ 为参数的单参数曲面族，证明过同一点的三个曲面是两两正交的．

36．证明或求解下列问题．
（1）设 $\displaystyle F(x, y)=0$ 为平面光滑曲线 $\displaystyle \Gamma$ 的方程，即 $\displaystyle F(x, y)$ 具有连续的一阶偏导数，且 $\displaystyle \left(F_{x}(x, y)\right)^{2}+\left(F_{y}(x, y)\right)^{2} \neq 0$ ，又设 $\displaystyle P\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为该曲线上到 $\displaystyle O(0,0)$ 最近的点，求证：$\displaystyle O P$ 与曲线在点 $\displaystyle P\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处的切线正交．
（2）设 $\displaystyle F(x, y)=0$ 为平面光滑曲线 $\displaystyle \Gamma$ 的方程，即 $\displaystyle F(x, y)$ 具有连续的一阶偏导数，且 $\displaystyle \left(F_{x}(x, y)\right)^{2}+\left(F_{y}(x, y)\right)^{2} \neq 0$ ，又设 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为该曲线外一点，$\displaystyle \left(x_{1}, y_{1}\right)$ 为该曲线上到 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 最近的点，求曲线 $\displaystyle \Gamma$ 在 $\displaystyle \left(x_{1}, y_{1}\right)$ 的法线方程．
（3）证明：在光滑曲面 $\displaystyle F(x, y, z)=0$ 上离原点最近的点处的法线过原点．
（4）设 $\displaystyle \Sigma$ 为由 $\displaystyle F(x, y, z)=0$ 表示的曲面，其中 $\displaystyle F(x, y, z)$ 是连续可微函数，$\displaystyle B\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right)$ 为曲面 $\displaystyle \Sigma$ 外一点，$\displaystyle A\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right)$ 为 $\displaystyle \Sigma$ 上距离最近的点，求曲面 $\displaystyle \Sigma$ 在点 $\displaystyle A$ 处的切平面方程．
（5）设曲面 $\displaystyle \Sigma: F(x, y, z)=1$ 满足条件：$\displaystyle x F_{x}+y F_{y}+z F_{z}=n, n \in \mathbf{N}^{+}$。点 $\displaystyle P_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \in \Sigma$ 满足 $\displaystyle \left(F_{x}, F_{y}, F_{z}\right) \neq(0,0,0)$ ，且 $\displaystyle F(x, y, z)$ 在 $\displaystyle P_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 可微，证明：曲面 $\displaystyle \Sigma$ 在点 $\displaystyle P_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 处的切平面方程为 $\displaystyle x F_{x}\left(P_{0}\right)+y F_{y}\left(P_{0}\right)+z F_{z}\left(P_{0}\right)=n$ ．

38．已知 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 可微，且在 $\displaystyle P_{0}$ 给定了 $\displaystyle n$ 个向量 $\displaystyle l_{i}, i=1,2, \cdots, n$ ，相邻两个向量之间的夹角为 $\displaystyle \frac{2 \pi}{n}$ ，证明：$\displaystyle \sum_{i=1}^{n} f_{i}\left(P_{0}\right)=0$ ．

40．证明下列结论．
（1）设函数 $\displaystyle u(x, y)$ 在光滑闭合曲线 $\displaystyle L$ 所围成的区域 $\displaystyle D$ 上有二阶连续偏导数，试证明： $\displaystyle \iint_{D}\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\oint_{L} \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} s$ 。其中 $\displaystyle n$ 为曲线 $\displaystyle L$ 的外法线方向，$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial n}$ 是函数 $\displaystyle u(x, y)$ 沿方向 $\displaystyle n$ 的方向导数．
（2）设 $\displaystyle u(x, y)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}^{2}$ 上具有二阶连续的偏导数，证明 $\displaystyle u(x, y)$ 是调和函数（即 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} \equiv 0$ 的充要条件是对 $\displaystyle \mathbf{R}^{2}$ 内的任意光滑简单闭曲线 $\displaystyle L$ ，总有 $\displaystyle \oint_{L} \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} s=0$ ．

45．设 $\displaystyle f(x, y)$ 在圆盘 $\displaystyle x^{2}+y^{2} \leqslant 1$ 上有连续的偏导数，且 $\displaystyle f(x, y)$ 在其边界上为 0 ．求证：
$\displaystyle f(0,0)=-\lim _{\varepsilon \rightarrow 0} \frac{1}{2 \pi} \iint_{S_{c}} \frac{f_{x} x+f_{y} y}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S_{\varepsilon}=\left\{(x, y): \varepsilon^{2} \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ 。

46．证明下列各题．
（1）设 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ 上有连续的偏导数，且在 $\displaystyle \partial D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2}=1\right\}$ 上恒为零。求证：$\displaystyle \left|\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y\right| \leqslant \frac{\pi}{3} \max _{(x, y) \in D}\left(f_{x}^{2}+f_{y}^{2}\right)^{\frac{1}{2}}$ 。
（2）设 $\displaystyle z=f(x, y)$ 在 $\displaystyle D: x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}$ 上具有非负的一阶连续偏导数，并且在 $\displaystyle D$ 的边界上处处取值为零，证明：$\displaystyle \left|\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y\right| \leqslant \frac{1}{3} \pi a^{3} \max _{(x, y) \in D} \sqrt{f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}$ 。