偶函数与奇函数的傅里叶级数（余弦级数、正弦级数）
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第2题计算题
2．求下列函数的傅里叶级数展开式，并求级数的和．
（1）$\displaystyle f(x)=|x|,-\pi \leqslant x \leqslant \pi$ ，并由此计算级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2 n+1)^{2}}, \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}, \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{n^{2}}$ 。
（2）$\displaystyle f(x)=x, 0 \leqslant x \leqslant 2 \pi$ ，并计算级数 $\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\sin k}{k}$ 。
（3）$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}x, x \in[-\pi, 0), \\ 0, x \in[0, \pi) .\end{array}(\right.$ 南航 2014）
（1）$\displaystyle f(x)=|x|,-\pi \leqslant x \leqslant \pi$ ，并由此计算级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2 n+1)^{2}}, \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}, \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{n^{2}}$ 。
（2）$\displaystyle f(x)=x, 0 \leqslant x \leqslant 2 \pi$ ，并计算级数 $\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\sin k}{k}$ 。
（3）$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}x, x \in[-\pi, 0), \\ 0, x \in[0, \pi) .\end{array}(\right.$ 南航 2014）
第3题证明题
3．对于 $\displaystyle n=0,1, \cdots$ ，令 $\displaystyle a_{n}=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x \cos n x \mathrm{~d} x, b_{n}=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x \sin n x \mathrm{~d} x$ 。（1）计算 $\displaystyle a_{n}, b_{n}$ 的值；（2）证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}^{2}=\frac{2 \pi^{2}}{3}$ ．
第6题计算题
6．求下列函数的傅里叶级数展开式，并求级数的和
（1）$\displaystyle f(x)=\pi-|x|,(-\pi \leqslant x \leqslant \pi)$ ，并计算 $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2 k-1)^{2}}$ ．
（2）$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\pi-x, x \in[-\pi, 0), \\ \pi+x, x \in[0, \pi) .\end{array}\right.$
（1）$\displaystyle f(x)=\pi-|x|,(-\pi \leqslant x \leqslant \pi)$ ，并计算 $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2 k-1)^{2}}$ ．
（2）$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\pi-x, x \in[-\pi, 0), \\ \pi+x, x \in[0, \pi) .\end{array}\right.$
第8题未分类
8．设函数 $\displaystyle f(x)=\frac{\pi}{2}-x, x \in[0, \pi]$ ．（1）将 $\displaystyle f(x)$ 展开成正弦级数；（2）写出和函数；（3）该级数在 $\displaystyle [0, \pi]$ 是否一致收敛？
第9题求解题
9．将下列函数展成正弦级数或余弦级数，并求级数的和．
（1）$\displaystyle f(x)=x, x \in[0, \pi)$ 展成正弦级数和余弦级数，并求 $\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(2 k+1)^{2}}$ ．
（2）将函数 $\displaystyle f(x)=x, x \in[0,1)$ 展成余弦级数．
（3）将函数 $\displaystyle f(x)=\frac{\pi-x}{2}$ 和 $\displaystyle g(x)=\left\{\begin{array}{l}(\pi-1) x, 0 \leqslant x \leqslant 1, \\ \pi-x, 1<x \leqslant \pi\end{array}\right.$ 在 $\displaystyle [0, \pi]$ 上展开成正弦级数，试求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{2 n-1}$ ，并证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n}{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{\sin n}{n}\right)^{2}$ ．
（4）将函数 $\displaystyle f(x)=(x-1)^{2}, 0 \leqslant x \leqslant 1$ ，展开成余弦级数，并推出 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi}{6}$ ．
（5）将函数 $\displaystyle f(x)=x^{2}$ 在 $\displaystyle 0 \leqslant x<\pi$ 上展开为正弦级数及余弦级数，并计算级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ ．
（6）设函数 $\displaystyle f(x)=x(\pi-x), x \in(0, \pi)$ ，将 $\displaystyle f(x)$ 展成正弦级数和余弦级数，并求该级数的和函数．
（1）$\displaystyle f(x)=x, x \in[0, \pi)$ 展成正弦级数和余弦级数，并求 $\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(2 k+1)^{2}}$ ．
（2）将函数 $\displaystyle f(x)=x, x \in[0,1)$ 展成余弦级数．
（3）将函数 $\displaystyle f(x)=\frac{\pi-x}{2}$ 和 $\displaystyle g(x)=\left\{\begin{array}{l}(\pi-1) x, 0 \leqslant x \leqslant 1, \\ \pi-x, 1<x \leqslant \pi\end{array}\right.$ 在 $\displaystyle [0, \pi]$ 上展开成正弦级数，试求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{2 n-1}$ ，并证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n}{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{\sin n}{n}\right)^{2}$ ．
（4）将函数 $\displaystyle f(x)=(x-1)^{2}, 0 \leqslant x \leqslant 1$ ，展开成余弦级数，并推出 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi}{6}$ ．
（5）将函数 $\displaystyle f(x)=x^{2}$ 在 $\displaystyle 0 \leqslant x<\pi$ 上展开为正弦级数及余弦级数，并计算级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ ．
（6）设函数 $\displaystyle f(x)=x(\pi-x), x \in(0, \pi)$ ，将 $\displaystyle f(x)$ 展成正弦级数和余弦级数，并求该级数的和函数．
第10题求解题
10．求下列函数的傅里叶级数展开式，并求级数的和．
（1）将函数 $\displaystyle f(x)=|x|+2$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上展开成周期为 2 的傅里叶级数，并求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}, \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n-1)^{2}}$的和．
（2）将函数 $\displaystyle f(x)=x+2,0 \leqslant x \leqslant 1$ 展开成周期为 2 的余弦级数级数，并求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ 的和．
（3）将函数 $\displaystyle f(x)=x-1,(0 \leqslant x \leqslant 2)$ 展成周期为 4 的余弦级数．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 是周期为 2 的函数，在 $\displaystyle [0,2]$ 上函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}x, 0 \leqslant x<1, \\ 0,1 \leqslant x \leqslant 2,\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle f(x)$ 的傅里叶级数展开式，并证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}, \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n+1)^{2}}=\frac{\pi^{2}}{8}$ ．
（1）将函数 $\displaystyle f(x)=|x|+2$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上展开成周期为 2 的傅里叶级数，并求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}, \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n-1)^{2}}$的和．
（2）将函数 $\displaystyle f(x)=x+2,0 \leqslant x \leqslant 1$ 展开成周期为 2 的余弦级数级数，并求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ 的和．
（3）将函数 $\displaystyle f(x)=x-1,(0 \leqslant x \leqslant 2)$ 展成周期为 4 的余弦级数．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 是周期为 2 的函数，在 $\displaystyle [0,2]$ 上函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}x, 0 \leqslant x<1, \\ 0,1 \leqslant x \leqslant 2,\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle f(x)$ 的傅里叶级数展开式，并证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}, \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n+1)^{2}}=\frac{\pi^{2}}{8}$ ．
第12题求解题
12．求下列函数的傅里叶级数展开式，并求级数的和．
（1）求 $\displaystyle f(x)=|\sin x|,(-\pi \leqslant x<\pi)$ ，的傅里叶级数，并求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{4 n^{2}-1}$ ．
（2）求函数 $\displaystyle f(x)=\cos x, 0 \leqslant x \leqslant \pi$ 的正弦级数展开式．
（1）求 $\displaystyle f(x)=|\sin x|,(-\pi \leqslant x<\pi)$ ，的傅里叶级数，并求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{4 n^{2}-1}$ ．
（2）求函数 $\displaystyle f(x)=\cos x, 0 \leqslant x \leqslant \pi$ 的正弦级数展开式．
第15题证明题
15．设 $\displaystyle f(x) \in C[0, \pi]$ ，且对任意的正整数 $\displaystyle n$ 有 $\displaystyle f(x) \cos n x \mathrm{~d} x=0$ ，证明 $\displaystyle f(x)$ 为常数函数．
第16题未分类
16．设周期为 $\displaystyle 2 \pi$ 的可积函数 $\displaystyle \varphi(x)$ 与 $\displaystyle \phi(x)$ 满足关系式：$\displaystyle \varphi(-x)=-\phi(x)$ ，则给出函数 $\displaystyle \varphi(x)$ 的傅里叶系数 $\displaystyle a_{n}, b_{n}$ 与函数 $\displaystyle \phi(x)$ 的傅里叶系数 $\displaystyle \alpha_{n}, \beta_{n}$ 之间的关系。
第26题未分类
26．设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的可积函数，应如何延拓 $\displaystyle f(x)$ 到 $\displaystyle (-\pi, \pi)$ 才能使其在 $\displaystyle (-\pi, \pi)$ 内的傅里叶级数具有形式 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \cos (2 n-1) x$ 。南航 2013，西安交大 1999）
第27题证明题
27．证明函数系 $\displaystyle \{\sin (2 n+1) x\}_{n=0}^{\infty}$ 是 $\displaystyle \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的正交系。又对 $\displaystyle f(x)=x, x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ，应如何延拓到 $\displaystyle (-\pi, \pi)$ ，才能使 $\displaystyle f(x)$ 的傅里叶级数恰为按函数系 $\displaystyle \{\sin (2 n+1) x\}_{n=0}^{\infty}$ 的展开式？求此展开式，并作出延拓到 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 上的图形．