凸函数的概念
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第8题证明题
8．证明下列不等式．
（1）$\displaystyle \left(\frac{a+1}{b+1}\right)^{b+1} \geqslant\left(\frac{a}{b}\right)^{b}, a>0, b>0$ ．
（2）$\displaystyle a^{b^{\circ}}>b^{a^{A}}(a>b>1)$ ．
（1）$\displaystyle \left(\frac{a+1}{b+1}\right)^{b+1} \geqslant\left(\frac{a}{b}\right)^{b}, a>0, b>0$ ．
（2）$\displaystyle a^{b^{\circ}}>b^{a^{A}}(a>b>1)$ ．
第21题证明题
21．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上二次可导，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)>0$ ．证明：对任意两点 $\displaystyle x_{1}, x_{2} \in(a, b)$ 及任意正数 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}=1\right)$ 有不等式 $\displaystyle f\left(\lambda_{1} x_{1}+\lambda_{2} x_{2}\right)<\lambda_{1} f\left(x_{1}\right)+\lambda_{2} f\left(x_{2}\right)$ ，并说明其几何意义。重庆大学 2001，东北师大 2000 ，北京工大 2010 ，天津大学，映西师大，西安电子科技 2002，合肥工大，广西大学，东南大学；$\displaystyle \lambda_{1}=\lambda_{2}=2^{-1}$ ：山东大学 2002，重庆大学 2005，昆明理工 2007／2012）
第22题证明题
22．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上二次可导，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)>0$ ．证明：
（1）对 $\displaystyle \forall x, x_{0} \in[a, b], f(x) \geqslant f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)$ ；
（2）对任意点 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} \in[a, b]$ 及 $\displaystyle k_{1}+k_{2}+\cdots+k_{n}=1, k_{i}>0, i=1,2, \cdots, n$ 有
$$
f\left(\sum_{i=1}^{n} k_{i} x_{i}\right)<\sum_{i=1}^{n} k_{i} f\left(x_{i}\right) \text {. }
$$
（3）对任意点 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} \in[a, b]$ 有不等式 $\displaystyle f\left(\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} x_{k}\right) \leqslant \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(x_{k}\right)$ 。（四川大学 2002，北京工大 2010，南京信息工程大学2006，中南大学2010（ $\displaystyle n=3)$ ）
（1）对 $\displaystyle \forall x, x_{0} \in[a, b], f(x) \geqslant f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)$ ；
（2）对任意点 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} \in[a, b]$ 及 $\displaystyle k_{1}+k_{2}+\cdots+k_{n}=1, k_{i}>0, i=1,2, \cdots, n$ 有
$$
f\left(\sum_{i=1}^{n} k_{i} x_{i}\right)<\sum_{i=1}^{n} k_{i} f\left(x_{i}\right) \text {. }
$$
（3）对任意点 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} \in[a, b]$ 有不等式 $\displaystyle f\left(\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} x_{k}\right) \leqslant \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(x_{k}\right)$ 。（四川大学 2002，北京工大 2010，南京信息工程大学2006，中南大学2010（ $\displaystyle n=3)$ ）
第23题证明题
23．证明下列命题。
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上至多只有第一类间断点，且 $\displaystyle \forall x, y \in(a, b)$ ，有 $\displaystyle f\left(\frac{x+y}{2}\right) \leqslant \frac{f(x)+f(y)}{2}$ ．证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上连续。
（2）若 $\displaystyle f(x)$ 是定义在 $\displaystyle (a, b)$ 上的凸函数，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上内闭一致连续．
（3）若 $\displaystyle f(x)$ 是定义在 $\displaystyle [a, b]$ 上的凸函数，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 内有界．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上至多只有第一类间断点，且 $\displaystyle \forall x, y \in(a, b)$ ，有 $\displaystyle f\left(\frac{x+y}{2}\right) \leqslant \frac{f(x)+f(y)}{2}$ ．证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上连续。
（2）若 $\displaystyle f(x)$ 是定义在 $\displaystyle (a, b)$ 上的凸函数，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上内闭一致连续．
（3）若 $\displaystyle f(x)$ 是定义在 $\displaystyle [a, b]$ 上的凸函数，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 内有界．
第23题证明题
23．证明下列不等式．
（1）$\displaystyle \frac{x^{n}+y^{n}}{2} \geqslant\left(\frac{x+y}{2}\right)^{n}, x \geqslant 0, y \geqslant 0, n \geqslant 1$ ．
（2） $\displaystyle \mathrm{e}^{\frac{a+b}{2}} \leqslant \frac{\mathrm{e}^{a}+\mathrm{e}^{b}}{2}, \forall a, b \in \mathbf{R}$ ．
（1）$\displaystyle \frac{x^{n}+y^{n}}{2} \geqslant\left(\frac{x+y}{2}\right)^{n}, x \geqslant 0, y \geqslant 0, n \geqslant 1$ ．
（2） $\displaystyle \mathrm{e}^{\frac{a+b}{2}} \leqslant \frac{\mathrm{e}^{a}+\mathrm{e}^{b}}{2}, \forall a, b \in \mathbf{R}$ ．
第24题证明题
24．若函数 $\displaystyle F(x)$ 在区间 $\displaystyle (a, b)$ 上恒有 $\displaystyle F^{\prime \prime}(x)>0, p_{1}, p_{2}, \cdots, p_{n}$ 为 $\displaystyle n$ 个正数．证明：对任意 $\displaystyle n$ 个数 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} \in(a, b)$ 有不等式 $\displaystyle F\left(\frac{p_{1} x_{1}+p_{2} x_{2}+\cdots+p_{n} x_{n}}{p_{1}+p_{2}+\cdots+p_{n}}\right) \leqslant \frac{p_{1} F\left(x_{1}\right)+p_{2} F\left(x_{2}\right)+\cdots+p_{n} F\left(x_{n}\right)}{p_{1}+p_{2}+\cdots+p_{n}}$ 。}
第25题证明题
25．考察函数 $\displaystyle f(x)=x \ln x,(x>0)$ 的凸性，并由此证明下列不等式。
（1）$\displaystyle a^{a} b^{b} c^{c} \geqslant(a b c)^{\frac{a+b+c}{3}},(a>0, b>0, c>0)$ ，给出等号成立的条件。
（2）$\displaystyle a^{a} b^{b} \geqslant(a b)^{\frac{a+b}{2}},(a>0, b>0)$ 或 $\displaystyle a \ln a+b \ln b>(a+b) \ln \frac{a+b}{2}$ 。
（1）$\displaystyle a^{a} b^{b} c^{c} \geqslant(a b c)^{\frac{a+b+c}{3}},(a>0, b>0, c>0)$ ，给出等号成立的条件。
（2）$\displaystyle a^{a} b^{b} \geqslant(a b)^{\frac{a+b}{2}},(a>0, b>0)$ 或 $\displaystyle a \ln a+b \ln b>(a+b) \ln \frac{a+b}{2}$ 。
第26题证明题
26．证明下列结论．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, c]$ 上可微，$\displaystyle f^{\prime}(x)$ 递减且 $\displaystyle f(0)=0$ ．证明：对于 $\displaystyle 0 \leqslant a \leqslant b \leqslant a+b \leqslant c$ ， $\displaystyle f(a+b) \leqslant f(a)+f(b)$ ．
（2）设 $\displaystyle a>0, b>0$ 。求证：当 $\displaystyle 0<p<1$ 时，$\displaystyle (a+b)^{p}<a^{p}+b^{p}$ ；当 $\displaystyle p>1$ 时，$\displaystyle (a+b)^{p}<2^{p-1}\left(a^{p}+b^{p}\right)$ ．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, c]$ 上可微，$\displaystyle f^{\prime}(x)$ 递减且 $\displaystyle f(0)=0$ ．证明：对于 $\displaystyle 0 \leqslant a \leqslant b \leqslant a+b \leqslant c$ ， $\displaystyle f(a+b) \leqslant f(a)+f(b)$ ．
（2）设 $\displaystyle a>0, b>0$ 。求证：当 $\displaystyle 0<p<1$ 时，$\displaystyle (a+b)^{p}<a^{p}+b^{p}$ ；当 $\displaystyle p>1$ 时，$\displaystyle (a+b)^{p}<2^{p-1}\left(a^{p}+b^{p}\right)$ ．
第36题证明题
36．设 $\displaystyle a_{n}>0, \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}=1$ ，定义函数 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}-x$ ，证明：（1）$\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle [0,1]$ 内的下凸函数； （2）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1)$ 内有根的充要条件是 $\displaystyle f^{\prime}(1)>0$ ．
第38题证明题
38．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)>0$ 。证明：$\displaystyle f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leqslant \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f(x)>0, f^{\prime \prime}(x)>0, x \in[a, b]$ 。证明：
$$
f(x)<\frac{2}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x, x \in[a, b] . }
$$
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二阶可导且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \geqslant 0$ ．试证明：
$\displaystyle f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leqslant \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \leqslant \frac{f(a)+f(b)}{2}$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,2]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \geqslant 0$ ．证明： $\displaystyle \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x \geqslant 2 f(1)$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)>0$ 。证明：$\displaystyle f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leqslant \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f(x)>0, f^{\prime \prime}(x)>0, x \in[a, b]$ 。证明：
$$
f(x)<\frac{2}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x, x \in[a, b] . }
$$
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二阶可导且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \geqslant 0$ ．试证明：
$\displaystyle f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leqslant \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \leqslant \frac{f(a)+f(b)}{2}$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,2]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \geqslant 0$ ．证明： $\displaystyle \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x \geqslant 2 f(1)$ ．
第39题证明题
39．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \geqslant 0$ 。证明： $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x \geqslant f\left(\frac{1}{2}\right)$ ．（中科 大 2008）
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \geqslant 0$ ．证明： $\displaystyle \int_{0}^{1} f\left(x^{\alpha}\right) \mathrm{d} x \geqslant f\left(\frac{1}{1+\alpha}\right)$ ，其中 $\displaystyle \alpha$ 为任意正数．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，且 $\displaystyle f\left(\frac{x+y}{2}\right) \leqslant \frac{f(x)+f(y)}{2}, \forall x, y \in[0,1]$ ，证明 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x \geqslant f\left(\frac{1}{2}\right)$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \geqslant 0$ 。证明： $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x \geqslant f\left(\frac{1}{2}\right)$ ．（中科 大 2008）
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \geqslant 0$ ．证明： $\displaystyle \int_{0}^{1} f\left(x^{\alpha}\right) \mathrm{d} x \geqslant f\left(\frac{1}{1+\alpha}\right)$ ，其中 $\displaystyle \alpha$ 为任意正数．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，且 $\displaystyle f\left(\frac{x+y}{2}\right) \leqslant \frac{f(x)+f(y)}{2}, \forall x, y \in[0,1]$ ，证明 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x \geqslant f\left(\frac{1}{2}\right)$ ．
第40题证明题
40．证明下列命题．
（1）若 $\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle [0, a]$ 连续，$\displaystyle f(x)$ 二阶可导，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \geqslant 0, x \in(-\infty,+\infty)$ ，则
$\displaystyle \frac{1}{a} \int_{0}^{a} f(\varphi(t)) \mathrm{d} t \geqslant f\left(\frac{1}{a} \int_{0}^{a} \varphi(t) \mathrm{d} t\right)$ ．（山东师大 2011，西安理工 2011，天津大学 2007，地质大学 2003，厦门大学2010，东北师大 2000（区间为 $\displaystyle [a, b]$ ），郑州大学 2007（ $\displaystyle [0,1]$ ））
（2）设正值函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续．试证：
$\displaystyle \mathrm{e}^{\int_{0}^{1} \ln f(x) \mathrm{d} x} \leqslant \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ 或 $\displaystyle \ln \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x \geqslant \int_{0}^{1} \ln f(x) \mathrm{d} x$ 。
（3）若正值函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, a]$ 上连续，则 $\displaystyle a \mathrm{e}^{\frac{1}{a} \int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x} \geqslant \int_{0}^{a} \mathrm{e}^{f(x)} \mathrm{d} x$ ．
（4）函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积， $\displaystyle \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x=1, g(x) \geqslant 0$ ，且 $\displaystyle \varphi^{\prime \prime}(x) \geqslant 0$ ，证明：
$$
\varphi\left(\int_{a}^{b} g(x) f(x) \mathrm{d} x\right) \leqslant \int_{a}^{b} g(x) \varphi(f(x)) \mathrm{d} x . }
$$
（1）若 $\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle [0, a]$ 连续，$\displaystyle f(x)$ 二阶可导，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \geqslant 0, x \in(-\infty,+\infty)$ ，则
$\displaystyle \frac{1}{a} \int_{0}^{a} f(\varphi(t)) \mathrm{d} t \geqslant f\left(\frac{1}{a} \int_{0}^{a} \varphi(t) \mathrm{d} t\right)$ ．（山东师大 2011，西安理工 2011，天津大学 2007，地质大学 2003，厦门大学2010，东北师大 2000（区间为 $\displaystyle [a, b]$ ），郑州大学 2007（ $\displaystyle [0,1]$ ））
（2）设正值函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续．试证：
$\displaystyle \mathrm{e}^{\int_{0}^{1} \ln f(x) \mathrm{d} x} \leqslant \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ 或 $\displaystyle \ln \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x \geqslant \int_{0}^{1} \ln f(x) \mathrm{d} x$ 。
（3）若正值函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, a]$ 上连续，则 $\displaystyle a \mathrm{e}^{\frac{1}{a} \int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x} \geqslant \int_{0}^{a} \mathrm{e}^{f(x)} \mathrm{d} x$ ．
（4）函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积， $\displaystyle \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x=1, g(x) \geqslant 0$ ，且 $\displaystyle \varphi^{\prime \prime}(x) \geqslant 0$ ，证明：
$$
\varphi\left(\int_{a}^{b} g(x) f(x) \mathrm{d} x\right) \leqslant \int_{a}^{b} g(x) \varphi(f(x)) \mathrm{d} x . }
$$
第44题证明题
44．设 $\displaystyle f(x):[0,1] \rightarrow[0,1]$ 二阶连续可导，$\displaystyle f(0)=f(1)=0, f^{\prime \prime}(x)<0, x \in[0,1]$ ．记曲线 $\displaystyle \{(x, f(x)) \mid x \in[0,1]\}$ 的长度为 $\displaystyle L$ ．证明 $\displaystyle L<3$ ．