凸性判别法（二阶导数法）
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第23题证明题
23．证明下列不等式．
（1）$\displaystyle \frac{x^{n}+y^{n}}{2} \geqslant\left(\frac{x+y}{2}\right)^{n}, x \geqslant 0, y \geqslant 0, n \geqslant 1$ ．
（2） $\displaystyle \mathrm{e}^{\frac{a+b}{2}} \leqslant \frac{\mathrm{e}^{a}+\mathrm{e}^{b}}{2}, \forall a, b \in \mathbf{R}$ ．
（1）$\displaystyle \frac{x^{n}+y^{n}}{2} \geqslant\left(\frac{x+y}{2}\right)^{n}, x \geqslant 0, y \geqslant 0, n \geqslant 1$ ．
（2） $\displaystyle \mathrm{e}^{\frac{a+b}{2}} \leqslant \frac{\mathrm{e}^{a}+\mathrm{e}^{b}}{2}, \forall a, b \in \mathbf{R}$ ．
第25题证明题
25．考察函数 $\displaystyle f(x)=x \ln x,(x>0)$ 的凸性，并由此证明下列不等式。
（1）$\displaystyle a^{a} b^{b} c^{c} \geqslant(a b c)^{\frac{a+b+c}{3}},(a>0, b>0, c>0)$ ，给出等号成立的条件。
（2）$\displaystyle a^{a} b^{b} \geqslant(a b)^{\frac{a+b}{2}},(a>0, b>0)$ 或 $\displaystyle a \ln a+b \ln b>(a+b) \ln \frac{a+b}{2}$ 。
（1）$\displaystyle a^{a} b^{b} c^{c} \geqslant(a b c)^{\frac{a+b+c}{3}},(a>0, b>0, c>0)$ ，给出等号成立的条件。
（2）$\displaystyle a^{a} b^{b} \geqslant(a b)^{\frac{a+b}{2}},(a>0, b>0)$ 或 $\displaystyle a \ln a+b \ln b>(a+b) \ln \frac{a+b}{2}$ 。
第36题证明题
36．设 $\displaystyle a_{n}>0, \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}=1$ ，定义函数 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}-x$ ，证明：（1）$\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle [0,1]$ 内的下凸函数； （2）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1)$ 内有根的充要条件是 $\displaystyle f^{\prime}(1)>0$ ．