函数在一点连续的定义
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第1题证明题
1．试用 $\displaystyle \varepsilon-\delta$ 定义证明下列结论．
（1）$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}$ 在点 $\displaystyle x_{0}>0$ 处的连续性．
（2）$\displaystyle f(x)=\sin \frac{1}{x}$ 在 $\displaystyle (0, \infty)$ 内连续．
（1）$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}$ 在点 $\displaystyle x_{0}>0$ 处的连续性．
（2）$\displaystyle f(x)=\sin \frac{1}{x}$ 在 $\displaystyle (0, \infty)$ 内连续．
第2题未分类
2．确定常数 $\displaystyle \alpha$ ，使 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{(1+x)^{\alpha}-1}{x}, x>0, \text { 连续．} \\ 1, x \leqslant 0\end{array}\right.$
第2题证明题
2．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(0)=f(1),\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant 2(0 \leqslant x \leqslant 1)$ ．证明：$\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant 1(0<x<1)$ ．此估计式能否改进？
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上有二阶连续导数，且满足 $\displaystyle f(0)=f(1)$ 及 $\displaystyle \left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant M, x \in[0,1]$ ．试证：对一切 $\displaystyle x \in[0,1]$ 有 $\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant \frac{M}{2}$ 。
（1）设 $\displaystyle f(0)=f(1),\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant 2(0 \leqslant x \leqslant 1)$ ．证明：$\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant 1(0<x<1)$ ．此估计式能否改进？
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上有二阶连续导数，且满足 $\displaystyle f(0)=f(1)$ 及 $\displaystyle \left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant M, x \in[0,1]$ ．试证：对一切 $\displaystyle x \in[0,1]$ 有 $\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant \frac{M}{2}$ 。
第2题证明题
2．证明下列命题．
（1）证明：若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle R$ 上可积，且 $\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} f(x) \mathrm{d} x>0$ ，则存在 $\displaystyle [\alpha, \beta] \subset[a, b]$ 使 $\displaystyle f(x)>0, \forall x \in[\alpha, \beta]$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，且 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x<0$ ，证明：存在闭区间 $\displaystyle [\alpha, \beta] \subset[a, b]$ 使得当 $\displaystyle x \in[\alpha, \beta]$ 时，$\displaystyle f(x)<0$ ．
（3）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，对任意 $\displaystyle [\alpha, \beta] \subset[a, b]$ 有 $\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，则 $\displaystyle f(x) \equiv 0, x \in[a, b]$ ．
（4）若 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上连续，对任意 $\displaystyle (\alpha, \beta) \subset(a, b)$ 有 $\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} f(x) \mathrm{d} x=\int_{\alpha}^{\beta} g(x) \mathrm{d} x$ ，则 $\displaystyle f(x) \equiv g(x), x \in(a, b)$.
（5）若 $\displaystyle f(x) \geqslant 0$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，证明 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=0$ 的充要条件是 $\displaystyle f(x)$ 在连续点处有 $\displaystyle f(x) \equiv 0$ ．
（1）证明：若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle R$ 上可积，且 $\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} f(x) \mathrm{d} x>0$ ，则存在 $\displaystyle [\alpha, \beta] \subset[a, b]$ 使 $\displaystyle f(x)>0, \forall x \in[\alpha, \beta]$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，且 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x<0$ ，证明：存在闭区间 $\displaystyle [\alpha, \beta] \subset[a, b]$ 使得当 $\displaystyle x \in[\alpha, \beta]$ 时，$\displaystyle f(x)<0$ ．
（3）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，对任意 $\displaystyle [\alpha, \beta] \subset[a, b]$ 有 $\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，则 $\displaystyle f(x) \equiv 0, x \in[a, b]$ ．
（4）若 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上连续，对任意 $\displaystyle (\alpha, \beta) \subset(a, b)$ 有 $\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} f(x) \mathrm{d} x=\int_{\alpha}^{\beta} g(x) \mathrm{d} x$ ，则 $\displaystyle f(x) \equiv g(x), x \in(a, b)$.
（5）若 $\displaystyle f(x) \geqslant 0$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，证明 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=0$ 的充要条件是 $\displaystyle f(x)$ 在连续点处有 $\displaystyle f(x) \equiv 0$ ．
第3题证明题
3．证明下列结论．
（1）证明：$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\sin \pi x, x \text { 为有理数，} \\ 0, x \text { 为无理数 }\end{array}\right.$ ，在 $\displaystyle x=n$（ $\displaystyle n$ 是整数）连续，而在其他点处间断．
（2）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\cos n x, x \text { 为有理数，证明函数 } f(x) \text { 在点 } x_{k}=k+\frac{1}{2} \text {（为任意整数）连续，而在其他 } \\ 0, x \text { 为无理数，}\end{array}\right.$点不连续．
（1）证明：$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\sin \pi x, x \text { 为有理数，} \\ 0, x \text { 为无理数 }\end{array}\right.$ ，在 $\displaystyle x=n$（ $\displaystyle n$ 是整数）连续，而在其他点处间断．
（2）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\cos n x, x \text { 为有理数，证明函数 } f(x) \text { 在点 } x_{k}=k+\frac{1}{2} \text {（为任意整数）连续，而在其他 } \\ 0, x \text { 为无理数，}\end{array}\right.$点不连续．
第5题证明题
5．举例或证明你的结论．
（1）是否存在在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上处处不连续的函数，它的绝对值却处处连续．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x_{0}$ 连续，证明：$\displaystyle |f(x)|$ 在 $\displaystyle x_{0}$ 也连续。问：如果 $\displaystyle f(x)$ 不连续，$\displaystyle |f(x)|$ 是不是也一定不连续？
（3）举出定义在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上的函数 $\displaystyle f(x)$ 的例子，使 $\displaystyle f(x)$ 仅在当 $\displaystyle x=1,2,3$ 时连续，而其余的点都是 $\displaystyle f(x)$ 的第二类间断点．
（1）是否存在在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上处处不连续的函数，它的绝对值却处处连续．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x_{0}$ 连续，证明：$\displaystyle |f(x)|$ 在 $\displaystyle x_{0}$ 也连续。问：如果 $\displaystyle f(x)$ 不连续，$\displaystyle |f(x)|$ 是不是也一定不连续？
（3）举出定义在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上的函数 $\displaystyle f(x)$ 的例子，使 $\displaystyle f(x)$ 仅在当 $\displaystyle x=1,2,3$ 时连续，而其余的点都是 $\displaystyle f(x)$ 的第二类间断点．
第6题证明题
6．举例或证明你的结论．
（1）定义函数如下：$\displaystyle R(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{q}, x=\frac{p}{q}, q>0, p, q \text { 是互质整数，}(0 \leqslant x \leqslant 1) \text { ，证明：} \\ 0, x=0,1 \text { 及无理数，}\end{array}\right.$
（1）$\displaystyle \forall x_{0} \in(0,1), \lim _{x \rightarrow x_{0}} R(x)=0$ ；（2）函数 $\displaystyle R(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 中的无理数点处连续，而在 $\displaystyle [0,1]$ 中的有理数点处不连续．
（2）给出一个一元函数 $\displaystyle f(x)$ ，在有理点都不连续，在无理点都连续，并证明之。
（1）定义函数如下：$\displaystyle R(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{q}, x=\frac{p}{q}, q>0, p, q \text { 是互质整数，}(0 \leqslant x \leqslant 1) \text { ，证明：} \\ 0, x=0,1 \text { 及无理数，}\end{array}\right.$
（1）$\displaystyle \forall x_{0} \in(0,1), \lim _{x \rightarrow x_{0}} R(x)=0$ ；（2）函数 $\displaystyle R(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 中的无理数点处连续，而在 $\displaystyle [0,1]$ 中的有理数点处不连续．
（2）给出一个一元函数 $\displaystyle f(x)$ ，在有理点都不连续，在无理点都连续，并证明之。
第7题证明题
7．证明下列结论．
（1）若函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 连续，则 $\displaystyle \varphi(x)=\min \{f(x), g(x)\}, \psi(x)=\max \{f(x), g(x)\}$ 也连续．
（2）设 $\displaystyle f_{1}(x), f_{2}(x), f_{3}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续。令 $\displaystyle f(x)$ 的值等于三值 $\displaystyle f_{1}(x), f_{2}(x), f_{3}(x)$ 中介于其他两值之间的那个值．证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续．
（3）令 $\displaystyle u_{n}(x)=\left\{\begin{array}{c}-n, x \leqslant n, \\ x, x \in(-n, n), f(x) \text { 为实函数，证明：} f(x) \text { 连续当且仅当 } g_{n}(x)=u_{n}[f(x)] \text { 对任 } \\ n, x \geqslant n,\end{array}\right.$意固定的 $\displaystyle n$ ，都是 $\displaystyle x$ 的连续函数．
（1）若函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 连续，则 $\displaystyle \varphi(x)=\min \{f(x), g(x)\}, \psi(x)=\max \{f(x), g(x)\}$ 也连续．
（2）设 $\displaystyle f_{1}(x), f_{2}(x), f_{3}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续。令 $\displaystyle f(x)$ 的值等于三值 $\displaystyle f_{1}(x), f_{2}(x), f_{3}(x)$ 中介于其他两值之间的那个值．证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续．
（3）令 $\displaystyle u_{n}(x)=\left\{\begin{array}{c}-n, x \leqslant n, \\ x, x \in(-n, n), f(x) \text { 为实函数，证明：} f(x) \text { 连续当且仅当 } g_{n}(x)=u_{n}[f(x)] \text { 对任 } \\ n, x \geqslant n,\end{array}\right.$意固定的 $\displaystyle n$ ，都是 $\displaystyle x$ 的连续函数．
第8题证明题
8．证明下列结论．
（1）（复合函数的连续性）若 $\displaystyle g(x)$ 在点 $\displaystyle x_{0}$ 连续，记 $\displaystyle g\left(x_{0}\right)=u_{0}$ ，函数 $\displaystyle f(u)$ 在 $\displaystyle u_{0}$ 连续，则复合函数 $\displaystyle f(g(x))$ 在点 $\displaystyle x_{0}$ 连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(g(x))=\lim _{u \rightarrow u_{0}} f(u)=f\left(u_{0}\right)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle [a, A] \times[b, B]$ 上连续，$\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内连续且值域含于 $\displaystyle (A, B)$ ，则 $\displaystyle F(x)=f(x, \varphi(x))$ 在 $\displaystyle (a, A)$ 内连续．
（1）（复合函数的连续性）若 $\displaystyle g(x)$ 在点 $\displaystyle x_{0}$ 连续，记 $\displaystyle g\left(x_{0}\right)=u_{0}$ ，函数 $\displaystyle f(u)$ 在 $\displaystyle u_{0}$ 连续，则复合函数 $\displaystyle f(g(x))$ 在点 $\displaystyle x_{0}$ 连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(g(x))=\lim _{u \rightarrow u_{0}} f(u)=f\left(u_{0}\right)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle [a, A] \times[b, B]$ 上连续，$\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内连续且值域含于 $\displaystyle (A, B)$ ，则 $\displaystyle F(x)=f(x, \varphi(x))$ 在 $\displaystyle (a, A)$ 内连续．
第8题证明题
8．设 $\displaystyle f(x, y)$ 关于 $\displaystyle x, y$ 均是一元连续函数，举例说明 $\displaystyle f(x, y)$ 可以不是二元连续函数．证明：当 $\displaystyle f(x, y)$ 关于 $\displaystyle x$ 单调时，$\displaystyle f(x, y)$ 是二元连续函数．
第9题证明题
9．证明下列的结论．
（1）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上连续，对任意有理数 $\displaystyle r \in(a, b)$ 有 $\displaystyle f(x)=0$ ，则对任意 $\displaystyle x \in(a, b)$ 都有 $\displaystyle f(x)=0$ ．
（2）不存在在 $\displaystyle [a, b]$ 上不恒为零的连续函数，它在 $\displaystyle [a, b]$ 中的有理点都取值为零．
（1）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上连续，对任意有理数 $\displaystyle r \in(a, b)$ 有 $\displaystyle f(x)=0$ ，则对任意 $\displaystyle x \in(a, b)$ 都有 $\displaystyle f(x)=0$ ．
（2）不存在在 $\displaystyle [a, b]$ 上不恒为零的连续函数，它在 $\displaystyle [a, b]$ 中的有理点都取值为零．
第10题证明题
10．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 对任意 $\displaystyle x \in \mathbf{R}$ ，有 $\displaystyle f(x)=f\left(x^{2}\right)$ ，且 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 和 $\displaystyle x=1$ 处连续．证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上为常数。
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 连续且 $\displaystyle f(x)=f\left(x^{2}\right)$ 。证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上为常数。青岛理工 2013／2009，华东理工 2006）
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ ：连续，且 $\displaystyle \forall n, f\left(x+\frac{1}{n}\right)=f(x)$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle (0,+\infty)$ 的常值函数．
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上有定义，在 $\displaystyle x=0$ 处连续，$\displaystyle \forall x \in \mathbf{R}, f(x)=f(2 x)$ ．证明：函数 $\displaystyle f(x)$ 为常数。
（5）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 连续，试证对一切 $\displaystyle x$ 满足 $\displaystyle f(2 x)=f(x) \mathrm{e}^{x}$ 的充要条件是 $\displaystyle f(x)=f(0) \mathrm{e}^{x}$ ．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 对任意 $\displaystyle x \in \mathbf{R}$ ，有 $\displaystyle f(x)=f\left(x^{2}\right)$ ，且 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 和 $\displaystyle x=1$ 处连续．证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上为常数。
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 连续且 $\displaystyle f(x)=f\left(x^{2}\right)$ 。证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上为常数。青岛理工 2013／2009，华东理工 2006）
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ ：连续，且 $\displaystyle \forall n, f\left(x+\frac{1}{n}\right)=f(x)$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle (0,+\infty)$ 的常值函数．
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上有定义，在 $\displaystyle x=0$ 处连续，$\displaystyle \forall x \in \mathbf{R}, f(x)=f(2 x)$ ．证明：函数 $\displaystyle f(x)$ 为常数。
（5）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 连续，试证对一切 $\displaystyle x$ 满足 $\displaystyle f(2 x)=f(x) \mathrm{e}^{x}$ 的充要条件是 $\displaystyle f(x)=f(0) \mathrm{e}^{x}$ ．
第11题证明题
11．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上满足 $\displaystyle f\left(x^{2}\right)=f(x)$ ，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=f(1)$ 。证 明： $\displaystyle f(x) \equiv f(1), x \in(0,+\infty)$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty, 0)$ 上满 足 $\displaystyle f\left(x^{3}\right)=f(x), \lim _{x \rightarrow-x} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=f(-1)$ ．证 明： $\displaystyle f(x) \equiv f(-1), x \in(-\infty, 0)$ ．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上满足 $\displaystyle f(2 x)=f(x)$ ，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A(A$ 为常数），证明：$\displaystyle f(x) \equiv A$ ．
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 0 点的某一邻域内有界，且满足 $\displaystyle f(\alpha x)=\beta f(x), \alpha>1, \beta>1$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 在 0 点连续．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上满足 $\displaystyle f\left(x^{2}\right)=f(x)$ ，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=f(1)$ 。证 明： $\displaystyle f(x) \equiv f(1), x \in(0,+\infty)$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty, 0)$ 上满 足 $\displaystyle f\left(x^{3}\right)=f(x), \lim _{x \rightarrow-x} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=f(-1)$ ．证 明： $\displaystyle f(x) \equiv f(-1), x \in(-\infty, 0)$ ．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上满足 $\displaystyle f(2 x)=f(x)$ ，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A(A$ 为常数），证明：$\displaystyle f(x) \equiv A$ ．
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 0 点的某一邻域内有界，且满足 $\displaystyle f(\alpha x)=\beta f(x), \alpha>1, \beta>1$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 在 0 点连续．
第11题证明题
11．证明下列结论．
（1）证 明 ：当 $\displaystyle x \geqslant 0$ 时，存在 $\displaystyle \theta(x) \in(0,1)$ 使 得 $\displaystyle \sqrt{x+1}-\sqrt{x}=\frac{1}{2 \sqrt{x+\theta(x)}}$ ．并 证 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \theta(x)=\frac{1}{4}, \lim _{x \rightarrow+\infty} \theta(x)=\frac{1}{2}$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle a$ 附近有二阶连续导数，$\displaystyle f^{\prime \prime}(a) \neq 0, f(a+h)=f(a)+f^{\prime}(a+\theta h) h$ ，试证： $\displaystyle \lim _{h \rightarrow 0} \theta=\frac{1}{2}$ 。
（3）设 $\displaystyle f(x+h)=f(x)+f^{\prime}(x) h+\cdots+\frac{h^{n}}{n!} f^{(n)}(x+\theta h), 0<\theta<1$ ，且 $\displaystyle f^{(n+1)}(x) \neq 0$ 。证 明： $\displaystyle \lim _{h \rightarrow 0} \theta=\frac{1}{n+1}$ ．（武汉理工 2002（ $\displaystyle n=3$ ））
（4）设 $\displaystyle h>0$ ，函数 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle U(a ; h)$ 内具有 $\displaystyle n+1$ 阶连续导数，且 $\displaystyle f^{\prime}(a)=f^{\prime \prime}(a)=\cdots=f^{(n)}(a)=0$ ， $\displaystyle f^{(n)}(a) \neq 0$ ．由中值定理，$\displaystyle f(a+h)-f(a)=f^{\prime}(a+\theta h) h, \theta \in(0,1)$ ．证明 $\displaystyle \lim _{h \rightarrow 0} \theta=\frac{1}{\sqrt[n]{n+1}}$ ．
（5）设 $\displaystyle x \geqslant 0$ 时，证明：存在唯一 $\displaystyle \theta(x) \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t=x \mathrm{e}^{\theta(x) x^{2}}$ ，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \theta(x)=1$ ．
（6）设 $\displaystyle x \geqslant 0$ 时，证明：存在唯一 $\displaystyle \theta(x) \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{t} \mathrm{~d} t=x \mathrm{e}^{\theta(x) x}$ ，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \theta(x)=1$ ．
（7）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上非负、严格递增的连续函数，$\displaystyle F_{n}(x)=f^{n}(x)$ ，由中值定理，$\displaystyle \exists \theta_{n} \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle F_{n}\left(\theta_{n}\right)=\int_{0}^{1} F_{n}(x) \mathrm{d} x$ 。证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \theta_{n}=1$ 。
（1）证 明 ：当 $\displaystyle x \geqslant 0$ 时，存在 $\displaystyle \theta(x) \in(0,1)$ 使 得 $\displaystyle \sqrt{x+1}-\sqrt{x}=\frac{1}{2 \sqrt{x+\theta(x)}}$ ．并 证 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \theta(x)=\frac{1}{4}, \lim _{x \rightarrow+\infty} \theta(x)=\frac{1}{2}$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle a$ 附近有二阶连续导数，$\displaystyle f^{\prime \prime}(a) \neq 0, f(a+h)=f(a)+f^{\prime}(a+\theta h) h$ ，试证： $\displaystyle \lim _{h \rightarrow 0} \theta=\frac{1}{2}$ 。
（3）设 $\displaystyle f(x+h)=f(x)+f^{\prime}(x) h+\cdots+\frac{h^{n}}{n!} f^{(n)}(x+\theta h), 0<\theta<1$ ，且 $\displaystyle f^{(n+1)}(x) \neq 0$ 。证 明： $\displaystyle \lim _{h \rightarrow 0} \theta=\frac{1}{n+1}$ ．（武汉理工 2002（ $\displaystyle n=3$ ））
（4）设 $\displaystyle h>0$ ，函数 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle U(a ; h)$ 内具有 $\displaystyle n+1$ 阶连续导数，且 $\displaystyle f^{\prime}(a)=f^{\prime \prime}(a)=\cdots=f^{(n)}(a)=0$ ， $\displaystyle f^{(n)}(a) \neq 0$ ．由中值定理，$\displaystyle f(a+h)-f(a)=f^{\prime}(a+\theta h) h, \theta \in(0,1)$ ．证明 $\displaystyle \lim _{h \rightarrow 0} \theta=\frac{1}{\sqrt[n]{n+1}}$ ．
（5）设 $\displaystyle x \geqslant 0$ 时，证明：存在唯一 $\displaystyle \theta(x) \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t=x \mathrm{e}^{\theta(x) x^{2}}$ ，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \theta(x)=1$ ．
（6）设 $\displaystyle x \geqslant 0$ 时，证明：存在唯一 $\displaystyle \theta(x) \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{t} \mathrm{~d} t=x \mathrm{e}^{\theta(x) x}$ ，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \theta(x)=1$ ．
（7）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上非负、严格递增的连续函数，$\displaystyle F_{n}(x)=f^{n}(x)$ ，由中值定理，$\displaystyle \exists \theta_{n} \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle F_{n}\left(\theta_{n}\right)=\int_{0}^{1} F_{n}(x) \mathrm{d} x$ 。证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \theta_{n}=1$ 。
第12题证明题
12．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上连续，证明： $\displaystyle \lim _{y \rightarrow 0^{+}} \int_{-1}^{1} \frac{y}{y^{2}+x^{2}} f(x) \mathrm{d} x=\pi f(0)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上有界且连续，证明： $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0^{+}} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{t}{t^{2}+x^{2}} f(x) \mathrm{d} x=\pi f(0)$．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0,1]$ 上单调增加．证明： $\displaystyle \lim _{y \rightarrow+\infty} \int_{0}^{1} f(x) \frac{\sin x y}{x} \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} \pi f\left(0^{+}\right)$．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上连续，证明： $\displaystyle \lim _{y \rightarrow 0^{+}} \int_{-1}^{1} \frac{y}{y^{2}+x^{2}} f(x) \mathrm{d} x=\pi f(0)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上有界且连续，证明： $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0^{+}} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{t}{t^{2}+x^{2}} f(x) \mathrm{d} x=\pi f(0)$．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0,1]$ 上单调增加．证明： $\displaystyle \lim _{y \rightarrow+\infty} \int_{0}^{1} f(x) \frac{\sin x y}{x} \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} \pi f\left(0^{+}\right)$．
第13题证明题
13．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 为非常值连续周期函数，证明：$\displaystyle f(x)$ 必有最小正周期．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上的周期函数，其周期小于任意小的正数．证明：若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上连续，则 $\displaystyle f(x)$ 为常值函数．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 为非常值连续周期函数，证明：$\displaystyle f(x)$ 必有最小正周期．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上的周期函数，其周期小于任意小的正数．证明：若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上连续，则 $\displaystyle f(x)$ 为常值函数．
第15题未分类
15．若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 内有定义，且 $\displaystyle \mathrm{e}^{x} f(x)$ 与 $\displaystyle \mathrm{e}^{-f(x)}$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 内都是单调递增的，试证 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 内连续．
第15题证明题
15．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，证明下面结论．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n \int_{0}^{1} x^{n} f(x) \mathrm{d} x=f(1)$ ；
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty}(n+1) \int_{0}^{1} x^{n} f(x) \mathrm{d} x=f(1) ;$
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} x^{n} f(x) \mathrm{d} x=0$ ；
（4）设 $\displaystyle p(x)$ 为实系数多项式。证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}(n+1) \int_{0}^{1} x^{n} p(x) \mathrm{d} x=p(1)$ 。如果 $\displaystyle f(x)$ 为区间 $\displaystyle [0,1]$ 上的连续函数，关于下式 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}(n+1) \int_{0}^{1} x^{n} f(x) \mathrm{d} x$ ，你能得一个什么结论，并证明你的结论。
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n \int_{0}^{1} x^{n} f(x) \mathrm{d} x=f(1)$ ；
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty}(n+1) \int_{0}^{1} x^{n} f(x) \mathrm{d} x=f(1) ;$
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} x^{n} f(x) \mathrm{d} x=0$ ；
（4）设 $\displaystyle p(x)$ 为实系数多项式。证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}(n+1) \int_{0}^{1} x^{n} p(x) \mathrm{d} x=p(1)$ 。如果 $\displaystyle f(x)$ 为区间 $\displaystyle [0,1]$ 上的连续函数，关于下式 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}(n+1) \int_{0}^{1} x^{n} f(x) \mathrm{d} x$ ，你能得一个什么结论，并证明你的结论。
第18题求解题
18．设连续函数 $\displaystyle f(x): \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ 在所有无理数处取有理数，且 $\displaystyle f(0)=1$ ，求 $\displaystyle f(x)$ ．
第18题证明题
18．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上连续，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} f\left(\frac{x^{n}}{1+x}\right) \mathrm{d} x=f(0)$ ．
第19题证明题
19．证明或求下列极限．
（1）求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} f\left(x^{n}\right) \mathrm{d} x$ ，其中设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续．
（2）求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \ln \left(1+x^{n}\right) \mathrm{d} x$ 。中科院 2011）
（3）求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{1+x^{n}} \mathrm{~d} x$ ．
（4）证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x^{n}} \mathrm{~d} x=1$ ．
（5）证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{-x^{n}} \mathrm{~d} x=1$ ．
（6）证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x^{n} \mathrm{~d} x=0$ ．
（1）求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} f\left(x^{n}\right) \mathrm{d} x$ ，其中设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续．
（2）求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \ln \left(1+x^{n}\right) \mathrm{d} x$ 。中科院 2011）
（3）求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{1+x^{n}} \mathrm{~d} x$ ．
（4）证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x^{n}} \mathrm{~d} x=1$ ．
（5）证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{-x^{n}} \mathrm{~d} x=1$ ．
（6）证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x^{n} \mathrm{~d} x=0$ ．
第20题证明题
20．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，证明：函数 $\displaystyle M(x)=\sup _{a<t<x} f(t), m(x)=\inf _{a<t<x} f(t)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，记 $\displaystyle g(x)=\max _{a<t<x} t^{2} \int_{a}^{t} f(s) \mathrm{d} s, a \leqslant x \leqslant b$ ，求证：$\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续。
（3）$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle [a, b] \times[c, d](a, b, c, d$ 为实数，且 $\displaystyle a<b, c<d)$ 上连续．令 $\displaystyle g(x)=\sup _{y \in[c, d]} f(x, y)$ ， $\displaystyle x \in[a, b]$ ，证明：在 $\displaystyle [a, b]$ 上 $\displaystyle g(x)$ 连续．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，证明：函数 $\displaystyle M(x)=\sup _{a<t<x} f(t), m(x)=\inf _{a<t<x} f(t)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，记 $\displaystyle g(x)=\max _{a<t<x} t^{2} \int_{a}^{t} f(s) \mathrm{d} s, a \leqslant x \leqslant b$ ，求证：$\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续。
（3）$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle [a, b] \times[c, d](a, b, c, d$ 为实数，且 $\displaystyle a<b, c<d)$ 上连续．令 $\displaystyle g(x)=\sup _{y \in[c, d]} f(x, y)$ ， $\displaystyle x \in[a, b]$ ，证明：在 $\displaystyle [a, b]$ 上 $\displaystyle g(x)$ 连续．
第23题证明题
23．证明下列命题。
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上至多只有第一类间断点，且 $\displaystyle \forall x, y \in(a, b)$ ，有 $\displaystyle f\left(\frac{x+y}{2}\right) \leqslant \frac{f(x)+f(y)}{2}$ ．证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上连续。
（2）若 $\displaystyle f(x)$ 是定义在 $\displaystyle (a, b)$ 上的凸函数，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上内闭一致连续．
（3）若 $\displaystyle f(x)$ 是定义在 $\displaystyle [a, b]$ 上的凸函数，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 内有界．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上至多只有第一类间断点，且 $\displaystyle \forall x, y \in(a, b)$ ，有 $\displaystyle f\left(\frac{x+y}{2}\right) \leqslant \frac{f(x)+f(y)}{2}$ ．证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上连续。
（2）若 $\displaystyle f(x)$ 是定义在 $\displaystyle (a, b)$ 上的凸函数，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上内闭一致连续．
（3）若 $\displaystyle f(x)$ 是定义在 $\displaystyle [a, b]$ 上的凸函数，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 内有界．
第24题证明题
24．设函数 $\displaystyle f(x)=\sin \frac{\pi}{x}, x \in(0,1)$ ．证明：$\displaystyle f(x)$ 连续。问 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 是否一致连续？（请说明理由）．
第26题证明题
26．证明下列结论．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内连续，且 $\displaystyle f(a+0)$ 与 $\displaystyle f(b-0)$ 为有限值．证明：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内有界；（2）若存在 $\displaystyle \eta \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f(\eta) \leqslant \min \{f(a+0), f(b-0)\}$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内能取得最小值．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)=c$ ，当 $\displaystyle c$ 为有限值时，证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$内取得最大值或最小值．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内连续，且 $\displaystyle f(a+0)$ 与 $\displaystyle f(b-0)$ 为有限值．证明：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内有界；（2）若存在 $\displaystyle \eta \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f(\eta) \leqslant \min \{f(a+0), f(b-0)\}$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内能取得最小值．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)=c$ ，当 $\displaystyle c$ 为有限值时，证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$内取得最大值或最小值．
第27题证明题
27．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, \pi]$ 上连续，且在 $\displaystyle x=0$ 处可导，证明：
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\pi} f(x)\left(\frac{1}{2}+\cos x+\cos 2 x+\cdots+\cos n x\right) \mathrm{d} x=\frac{\pi}{2} f(0) \text {. }
$$
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\pi} f(x)\left(\frac{1}{2}+\cos x+\cos 2 x+\cdots+\cos n x\right) \mathrm{d} x=\frac{\pi}{2} f(0) \text {. }
$$
第32题证明题
32．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且有数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}: x_{n} \in[a, b], n=1,2, \cdots$ ，使得 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=A$ ，则存在 $\displaystyle x_{0} \in[a, b]$ 使 $\displaystyle f\left(x_{0}\right)=A$.
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ ：连续，且有唯一的最大值点 $\displaystyle x_{0} \in[a, b]$ ．若有数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}: x_{n} \in[a, b], n=1,2, \cdots$ ，使得 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} f\left(x_{n}\right)=f\left(x_{0}\right)$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=x_{0}$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且有数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}: x_{n} \in[a, b], n=1,2, \cdots$ ，使得 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=A$ ，则存在 $\displaystyle x_{0} \in[a, b]$ 使 $\displaystyle f\left(x_{0}\right)=A$.
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ ：连续，且有唯一的最大值点 $\displaystyle x_{0} \in[a, b]$ ．若有数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}: x_{n} \in[a, b], n=1,2, \cdots$ ，使得 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} f\left(x_{n}\right)=f\left(x_{0}\right)$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=x_{0}$ ．
第32题证明题
32．证明：函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{e}^{-\frac{1}{x^{2}}}, x \neq 0 \\ 0, x=0\end{array}\right.$ 在 $\displaystyle x=0$ 处 $\displaystyle f^{(n)}(0)=0, n=1,2,3 \cdots$
第33题证明题
33．用确界存在定理证明：如果 $\displaystyle f(x)$ 是区间 $\displaystyle I$ 上的连续函数，则 $\displaystyle f(I)$ 是一个区间．
第33题求解题
33．设 $\displaystyle f(x)=a_{1} \sin x+a_{2} \sin (2 x)+\cdots+a_{n} \sin (n x)$ ，且 $\displaystyle |f(x)| \leqslant|\sin x|, a_{i}(i=1,2, \cdots, n)$ 为实常数。求证：$\displaystyle \left|a_{1}+2 a_{2}+\cdots+n a_{n}\right| \leqslant 1$ ．
第36题未分类
36．判断题．
（1）设 $\displaystyle f \in C(a, b)$ ，若存在 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=A<0, \lim _{x \rightarrow b} f(x)=B>0$ ，则必存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f(\xi)=0$ ．
（1）设 $\displaystyle f \in C(a, b)$ ，若存在 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=A<0, \lim _{x \rightarrow b} f(x)=B>0$ ，则必存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f(\xi)=0$ ．
第36题证明题
36．用一致连续定义证明下列结论。
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, c]$ 和 $\displaystyle [c, b)$ 上都一致连续，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上也一致连续．并举例说明将 $\displaystyle (a, c]$ 换成 $\displaystyle (a, c)$ 时，结论不一定成立。
（2）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle f(x) \neq 0$ ，用定义证明：$\displaystyle \frac{1}{f(x)}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致连续．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, c]$ 和 $\displaystyle [c, b)$ 上都一致连续，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上也一致连续．并举例说明将 $\displaystyle (a, c]$ 换成 $\displaystyle (a, c)$ 时，结论不一定成立。
（2）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle f(x) \neq 0$ ，用定义证明：$\displaystyle \frac{1}{f(x)}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致连续．
第39题证明题
39．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 十连续，满足 $\displaystyle 0 \leqslant f(x) \leqslant x, x \in[0,+\infty)$ ，设 $\displaystyle a_{1} \geqslant 0, a_{n+1}=f\left(a_{n}\right), n=1,2, \cdots$ 。证明：（1）$\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为收敛数列；（2）设 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} a_{n}=t$ ，则有 $\displaystyle f(t)=t$ ；（3）若条件改为 $\displaystyle 0 \leqslant f(x)<x, x \in(0,+\infty)$ ，则 $\displaystyle t=0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, a]$ ：有二阶连续导数，$\displaystyle f^{\prime}(0)=1, f^{\prime \prime}(0) \neq 0,0 \leqslant f(x)<x, x \in(0, a)$ ．设 $\displaystyle x_{1} \in(0, a), x_{n+1}=f\left(x_{n}\right), n=1,2, \cdots$ ，证明：（1）$\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 为收敛数列并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} x_{n}$ ；（2）$\displaystyle \left\{n x_{n}\right\}$ 是否收敛？若不收敛，则说明理由。若收敛，则求极限。
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 十连续，满足 $\displaystyle 0 \leqslant f(x) \leqslant x, x \in[0,+\infty)$ ，设 $\displaystyle a_{1} \geqslant 0, a_{n+1}=f\left(a_{n}\right), n=1,2, \cdots$ 。证明：（1）$\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为收敛数列；（2）设 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} a_{n}=t$ ，则有 $\displaystyle f(t)=t$ ；（3）若条件改为 $\displaystyle 0 \leqslant f(x)<x, x \in(0,+\infty)$ ，则 $\displaystyle t=0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, a]$ ：有二阶连续导数，$\displaystyle f^{\prime}(0)=1, f^{\prime \prime}(0) \neq 0,0 \leqslant f(x)<x, x \in(0, a)$ ．设 $\displaystyle x_{1} \in(0, a), x_{n+1}=f\left(x_{n}\right), n=1,2, \cdots$ ，证明：（1）$\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 为收敛数列并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} x_{n}$ ；（2）$\displaystyle \left\{n x_{n}\right\}$ 是否收敛？若不收敛，则说明理由。若收敛，则求极限。