函数极限
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第5题求解题
5．设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [0,1]$ 上的连续函数，求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}}(\sin x)^{\alpha} \int_{x}^{1} \frac{f(t)}{t^{\alpha+1}} \mathrm{~d} t(\alpha>0)$ ．
第7题求解题
7．求证下列问题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 是以 $\displaystyle T$ 为周期的连续周期函数，求证 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) \mathrm{d} t$.
（2）求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \sin \frac{1}{x} \cdot \int_{0}^{x}|\sin t| \mathrm{d} t$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 是以 $\displaystyle T$ 为周期的连续周期函数，求证 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) \mathrm{d} t$.
（2）求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \sin \frac{1}{x} \cdot \int_{0}^{x}|\sin t| \mathrm{d} t$ ．
第9题证明题
9．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在任何有限区间上可积（或 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续），且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．求证： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=0$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在任何有限区间上可积（或 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续），且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=l$ ．证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=l$ ．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在任何有限区间上可积（或 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续），且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．求证： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=0$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在任何有限区间上可积（或 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续），且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=l$ ．证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=l$ ．
第10题证明题
10．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上单调增加，在任 意的有穷区间 $\displaystyle [0, T]$ 上 $\displaystyle f(x)$ 可积，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=C$ ．证明 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=C$ ．
第11题证明题
11．设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，证明．
（1） $\displaystyle \lim _{h \rightarrow 0^{+}} \int_{0}^{1} \frac{h}{h^{2}+x^{2}} f(x) \mathrm{d} x=\frac{\pi}{2} f(0)$ 。南京师大 2006 ，四川大学 2000 ，扬州大学 2009，西南交大 2007，湖南大学 2005，东南大学 2007，华东师大 2002，北京师大 1995）
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{n}{1+n^{2} x^{2}} f(x) \mathrm{d} x=\frac{\pi}{2} f(0)$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{\lambda \rightarrow \infty} \int_{0}^{\lambda} \frac{1}{1+x^{2}} f\left(\frac{x}{\lambda}\right) \mathrm{d} x=\frac{\pi}{2} f(0)$ 。
（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x \int_{0}^{1} \frac{f(t) \arctan (x t)}{1+t^{2} x^{2}} \mathrm{~d} t$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \int_{0}^{1} \frac{x \cos t}{t^{2}+x^{2}} \mathrm{~d} t=\frac{\pi}{2}$ ．
（1） $\displaystyle \lim _{h \rightarrow 0^{+}} \int_{0}^{1} \frac{h}{h^{2}+x^{2}} f(x) \mathrm{d} x=\frac{\pi}{2} f(0)$ 。南京师大 2006 ，四川大学 2000 ，扬州大学 2009，西南交大 2007，湖南大学 2005，东南大学 2007，华东师大 2002，北京师大 1995）
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{n}{1+n^{2} x^{2}} f(x) \mathrm{d} x=\frac{\pi}{2} f(0)$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{\lambda \rightarrow \infty} \int_{0}^{\lambda} \frac{1}{1+x^{2}} f\left(\frac{x}{\lambda}\right) \mathrm{d} x=\frac{\pi}{2} f(0)$ 。
（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x \int_{0}^{1} \frac{f(t) \arctan (x t)}{1+t^{2} x^{2}} \mathrm{~d} t$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \int_{0}^{1} \frac{x \cos t}{t^{2}+x^{2}} \mathrm{~d} t=\frac{\pi}{2}$ ．
第22题计算题
22．计算下列极限．
（1）设 $\displaystyle I_{n}=\int_{1}^{1+\frac{1}{n}} \frac{\sqrt{1+x^{n}}}{x} \mathrm{~d} x$ ，计算 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n I_{n}$ ．
（2）设 $\displaystyle I_{n}=\int_{1}^{1+\frac{1}{n}} \sqrt{1+x^{n}} \mathrm{~d} x$ ，计算 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} I_{n}$ 及 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n I_{n}$ 存在．
（1）设 $\displaystyle I_{n}=\int_{1}^{1+\frac{1}{n}} \frac{\sqrt{1+x^{n}}}{x} \mathrm{~d} x$ ，计算 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n I_{n}$ ．
（2）设 $\displaystyle I_{n}=\int_{1}^{1+\frac{1}{n}} \sqrt{1+x^{n}} \mathrm{~d} x$ ，计算 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} I_{n}$ 及 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n I_{n}$ 存在．
第29题证明题
29．证明下列结论。
（1）$\displaystyle f(x)=\frac{\sin x}{x}$ 在 $\displaystyle (0, \pi)$ ：一致连续．
（2）$\displaystyle f(x)=\frac{|\sin x|}{x}$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 与 $\displaystyle (-1,0)$ 上均一致连续，但在 $\displaystyle (-1,0) \cup(0,1)$ 上非一致连续．
（
（1）$\displaystyle f(x)=\frac{\sin x}{x}$ 在 $\displaystyle (0, \pi)$ ：一致连续．
（2）$\displaystyle f(x)=\frac{|\sin x|}{x}$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 与 $\displaystyle (-1,0)$ 上均一致连续，但在 $\displaystyle (-1,0) \cup(0,1)$ 上非一致连续．
（
第34题证明题
34．证明下列结论．
（1）函数 $\displaystyle \omega_{f}(\delta)=\sup \left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right|$（其中 $\displaystyle x_{1}, x_{2}$ 是 $\displaystyle (a, b)$ 中满足 $\displaystyle \left|x_{1}-x_{2}\right|<\delta$ 的任意两点）称为函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上的连续模数。证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上一致连续的充要条件为 $\displaystyle \lim _{\delta \rightarrow 0^{+}} \omega_{f}(\delta)=0$ 。
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上有界，证明： $\displaystyle \mathrm{e}^{f(x)}$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内一致连续当且仅当 $\displaystyle \lim _{\delta \rightarrow 0^{\circ}} \omega(f, \delta)=0$ ，其中 $\displaystyle \omega(f, \delta)=\sup _{\substack{\left|x_{1}-x_{1}\right|<\delta \\ x_{1}, x_{2} \in(a, b)}}\left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right|$ 。
（1）函数 $\displaystyle \omega_{f}(\delta)=\sup \left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right|$（其中 $\displaystyle x_{1}, x_{2}$ 是 $\displaystyle (a, b)$ 中满足 $\displaystyle \left|x_{1}-x_{2}\right|<\delta$ 的任意两点）称为函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上的连续模数。证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上一致连续的充要条件为 $\displaystyle \lim _{\delta \rightarrow 0^{+}} \omega_{f}(\delta)=0$ 。
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上有界，证明： $\displaystyle \mathrm{e}^{f(x)}$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内一致连续当且仅当 $\displaystyle \lim _{\delta \rightarrow 0^{\circ}} \omega(f, \delta)=0$ ，其中 $\displaystyle \omega(f, \delta)=\sup _{\substack{\left|x_{1}-x_{1}\right|<\delta \\ x_{1}, x_{2} \in(a, b)}}\left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right|$ 。