函数的单调性判别
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第1题证明题
1．证明下列不等式．
（1）当 $\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$ 时，$\displaystyle \frac{2}{\pi} x<\sin x<x$ 。
（2）当 $\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$ 时， $\displaystyle \sin x<x-\frac{1}{3 \pi} x^{3}$ ．
（3）当 $\displaystyle x>0$ 时，$\displaystyle x>\sin x>x-\frac{x^{3}}{3!}$ 。
（4）当 $\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$ 时， $\displaystyle \tan x>x+\frac{x^{3}}{3}$ 或 $\displaystyle \tan x>x-\frac{1}{2} x^{2}+\frac{1}{3} x^{3}$ ．
（5）当 $\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$ 时，$\displaystyle \frac{\tan x}{x}>\frac{x}{\sin x}$ ．
（6）当 $\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$ 时， $\displaystyle \tan x+2 \sin x>3 x$ 或 $\displaystyle \frac{1}{3} \tan x+\frac{2}{3} \sin x>x$ 。
（7）当 $\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$ 时， $\displaystyle \tan x+\sin x>2 x$ 。
（8）当 $\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$ 时，$\displaystyle \sqrt{1+\frac{x^{4}}{4}}-\frac{x^{2}}{2}>\cos x, x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ．
（9）当 $\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$ 时，$\displaystyle \frac{\cos x}{1+\sin x}<\frac{\ln (1+\sin x)}{x}$ ．
（10） $\displaystyle \cos x+\sin x>1+x-x^{2}, x \in(0,+\infty)$ ．
（1）当 $\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$ 时，$\displaystyle \frac{2}{\pi} x<\sin x<x$ 。
（2）当 $\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$ 时， $\displaystyle \sin x<x-\frac{1}{3 \pi} x^{3}$ ．
（3）当 $\displaystyle x>0$ 时，$\displaystyle x>\sin x>x-\frac{x^{3}}{3!}$ 。
（4）当 $\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$ 时， $\displaystyle \tan x>x+\frac{x^{3}}{3}$ 或 $\displaystyle \tan x>x-\frac{1}{2} x^{2}+\frac{1}{3} x^{3}$ ．
（5）当 $\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$ 时，$\displaystyle \frac{\tan x}{x}>\frac{x}{\sin x}$ ．
（6）当 $\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$ 时， $\displaystyle \tan x+2 \sin x>3 x$ 或 $\displaystyle \frac{1}{3} \tan x+\frac{2}{3} \sin x>x$ 。
（7）当 $\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$ 时， $\displaystyle \tan x+\sin x>2 x$ 。
（8）当 $\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$ 时，$\displaystyle \sqrt{1+\frac{x^{4}}{4}}-\frac{x^{2}}{2}>\cos x, x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ．
（9）当 $\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$ 时，$\displaystyle \frac{\cos x}{1+\sin x}<\frac{\ln (1+\sin x)}{x}$ ．
（10） $\displaystyle \cos x+\sin x>1+x-x^{2}, x \in(0,+\infty)$ ．
第2题证明题
2．证明下列不等式．
（1）$\displaystyle \frac{x}{1+x}<\ln (1+x)<x, x>0$ 。聊城大学2008，南京理工 2010，哈工大 2009，曲阜师大 2005，湘潭 大学 2008，上海大学 2003）
（2）$\displaystyle \frac{1}{1+x}<\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)<\frac{1}{x}, x>0$ 。
（3） $\displaystyle 0<\frac{1}{\ln (1+x)}-\frac{1}{x}<1, x>0$ ．
（4） $\displaystyle 0<\frac{1}{x}+\frac{1}{\ln (1-x)}<1, x<0$ ．
（1）$\displaystyle \frac{x}{1+x}<\ln (1+x)<x, x>0$ 。聊城大学2008，南京理工 2010，哈工大 2009，曲阜师大 2005，湘潭 大学 2008，上海大学 2003）
（2）$\displaystyle \frac{1}{1+x}<\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)<\frac{1}{x}, x>0$ 。
（3） $\displaystyle 0<\frac{1}{\ln (1+x)}-\frac{1}{x}<1, x>0$ ．
（4） $\displaystyle 0<\frac{1}{x}+\frac{1}{\ln (1-x)}<1, x<0$ ．
第2题求解题
2．在过原点 $\displaystyle O(0,0)$ 和点 $\displaystyle A(\pi, 0)$ 的曲线簇 $\displaystyle y=a \sin x(a>0)$ 中，求一条曲线 $\displaystyle L$ 使得从 $\displaystyle O$ 到 $\displaystyle A$的积分 $\displaystyle \int_{L}\left(1+y^{3}\right) \mathrm{d} x+(2 x+y) \mathrm{d} y$ 的值最小．
第3题证明题
3．证明下列不等式．
（1）当 $\displaystyle x \geqslant 0$ 时， $\displaystyle \ln (1+x)<\frac{x}{\sqrt{1+x}}$ ．
（2）当 $\displaystyle x \geqslant 0$ 时，$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x(x+1)}}>\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)$ 或 $\displaystyle \ln ^{2}\left(1+\frac{1}{x}\right)<\frac{1}{x(1+x)}$ ．
（3）当 $\displaystyle 0<x<1$ 时，$\displaystyle (1+x) \ln ^{2}(1+x)<x^{2}$ 。
（4）当 $\displaystyle x \geqslant 0$ 时， $\displaystyle \ln (1+x)<\sqrt{x}$ ．
（1）当 $\displaystyle x \geqslant 0$ 时， $\displaystyle \ln (1+x)<\frac{x}{\sqrt{1+x}}$ ．
（2）当 $\displaystyle x \geqslant 0$ 时，$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x(x+1)}}>\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)$ 或 $\displaystyle \ln ^{2}\left(1+\frac{1}{x}\right)<\frac{1}{x(1+x)}$ ．
（3）当 $\displaystyle 0<x<1$ 时，$\displaystyle (1+x) \ln ^{2}(1+x)<x^{2}$ 。
（4）当 $\displaystyle x \geqslant 0$ 时， $\displaystyle \ln (1+x)<\sqrt{x}$ ．
第4题证明题
4．证明下列不等式．
（1） $\displaystyle \arctan x+\frac{1}{x}>\frac{\pi}{2}, x>0$ 。
（2） $\displaystyle \ln (1+x)<x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}, x>0$ ．
（3）$\displaystyle x-\frac{x^{2}}{2}<\ln (1+x)<x-\frac{x^{2}}{2(1+x)}, x>0$ 。
（1） $\displaystyle \arctan x+\frac{1}{x}>\frac{\pi}{2}, x>0$ 。
（2） $\displaystyle \ln (1+x)<x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}, x>0$ ．
（3）$\displaystyle x-\frac{x^{2}}{2}<\ln (1+x)<x-\frac{x^{2}}{2(1+x)}, x>0$ 。
第5题证明题
5．证明下列不等式．
（1） $\displaystyle 2 x \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)<1+\frac{x}{1+x}, x>0$ ．
（2） $\displaystyle 1+x \ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)>\sqrt{1+x^{2}}, x \neq 0$ ．
（3）$\displaystyle \left(x^{2}-1\right) \ln x \geqslant(x-1)^{2}, x>0$ ．
（1） $\displaystyle 2 x \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)<1+\frac{x}{1+x}, x>0$ ．
（2） $\displaystyle 1+x \ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)>\sqrt{1+x^{2}}, x \neq 0$ ．
（3）$\displaystyle \left(x^{2}-1\right) \ln x \geqslant(x-1)^{2}, x>0$ ．
第6题证明题
6．证明下列不等式．
（1）$\displaystyle \frac{1-x}{1+x}<\mathrm{e}^{-2 x}$ 或 $\displaystyle \ln \frac{1+x}{1-x}>2 x,(0<x<1)$ ．
（2） $\displaystyle \ln (1+x)>\frac{\arctan x}{1+x},(x>0)$ ．
（3）$\displaystyle \frac{1}{\sin ^{2} x} \leqslant \frac{1}{x^{2}}+1-\frac{4}{\pi^{2}},\left(0<x \leqslant \frac{\pi}{2}\right)$ ．
（4） $\displaystyle 0<\frac{x}{2} \ln \frac{x+1}{x-1}-1<\frac{1}{3\left(x^{2}-1\right)},(x>1)$ ．
（5） $\displaystyle \mathrm{e}^{x}>1+(1+x) \ln (1+x),(x>0)$ ．
（1）$\displaystyle \frac{1-x}{1+x}<\mathrm{e}^{-2 x}$ 或 $\displaystyle \ln \frac{1+x}{1-x}>2 x,(0<x<1)$ ．
（2） $\displaystyle \ln (1+x)>\frac{\arctan x}{1+x},(x>0)$ ．
（3）$\displaystyle \frac{1}{\sin ^{2} x} \leqslant \frac{1}{x^{2}}+1-\frac{4}{\pi^{2}},\left(0<x \leqslant \frac{\pi}{2}\right)$ ．
（4） $\displaystyle 0<\frac{x}{2} \ln \frac{x+1}{x-1}-1<\frac{1}{3\left(x^{2}-1\right)},(x>1)$ ．
（5） $\displaystyle \mathrm{e}^{x}>1+(1+x) \ln (1+x),(x>0)$ ．
第6题证明题
6．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且满足 $\displaystyle \int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t \geqslant \int_{a}^{x} g(t) \mathrm{d} t, x \in[a, b)$ ．
（1）问：对任意 $\displaystyle x \in[a, b)$ 是否都成立 $\displaystyle f(x) \geqslant g(x)$ ？请证明或举例说明你的结论；
（2）若还满足 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(t) \mathrm{d} t=\int_{a}^{b} g(t) \mathrm{d} t$ ，试证： $\displaystyle \int_{a}^{b} x f(x) \mathrm{d} x \leqslant \int_{a}^{b} x g(x) \mathrm{d} x$ 。
（2）设 $\displaystyle g_{1}(x)$ 和 $\displaystyle g_{2}(x)$ 满足 $\displaystyle \int_{a}^{x} g_{1}(t) \mathrm{d} t \leqslant \int_{a}^{x} g_{2}(t) \mathrm{d} t, a \leqslant x<b, \int_{a}^{b} g_{1}(t) \mathrm{d} t=\int_{a}^{b} g_{2}(t) \mathrm{d} t$ 。又设 $\displaystyle f(x)$可微，非增，则 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) g_{1}(x) \mathrm{d} x \leqslant \int_{a}^{b} f(x) g_{2}(x) \mathrm{d} x$ 。
（3）证明： $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\cos x}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x \geqslant \int_{0}^{1} \frac{\sin x}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ．
（4）求证： $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x \leqslant \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且满足 $\displaystyle \int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t \geqslant \int_{a}^{x} g(t) \mathrm{d} t, x \in[a, b)$ ．
（1）问：对任意 $\displaystyle x \in[a, b)$ 是否都成立 $\displaystyle f(x) \geqslant g(x)$ ？请证明或举例说明你的结论；
（2）若还满足 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(t) \mathrm{d} t=\int_{a}^{b} g(t) \mathrm{d} t$ ，试证： $\displaystyle \int_{a}^{b} x f(x) \mathrm{d} x \leqslant \int_{a}^{b} x g(x) \mathrm{d} x$ 。
（2）设 $\displaystyle g_{1}(x)$ 和 $\displaystyle g_{2}(x)$ 满足 $\displaystyle \int_{a}^{x} g_{1}(t) \mathrm{d} t \leqslant \int_{a}^{x} g_{2}(t) \mathrm{d} t, a \leqslant x<b, \int_{a}^{b} g_{1}(t) \mathrm{d} t=\int_{a}^{b} g_{2}(t) \mathrm{d} t$ 。又设 $\displaystyle f(x)$可微，非增，则 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) g_{1}(x) \mathrm{d} x \leqslant \int_{a}^{b} f(x) g_{2}(x) \mathrm{d} x$ 。
（3）证明： $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\cos x}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x \geqslant \int_{0}^{1} \frac{\sin x}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ．
（4）求证： $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x \leqslant \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
第6题未分类
6．设 $\displaystyle F(x)=\mathrm{e}^{\frac{x^{2}}{2}} \int_{x}^{+\infty} \mathrm{e}^{-\frac{t^{2}}{2}} \mathrm{~d} t, x \in[0,+\infty)$ ，试证：（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} F(x)=0$ ；（2）$\displaystyle F(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 内单调递减．
第7题证明题
7．证明下列不等式．
（1）$\displaystyle \frac{\ln (1+x)}{\ln x}>\frac{x}{1+x},(x>1)$ ．
（2）$\displaystyle (a+1)^{\ln b}>(b+1)^{\ln a} \cdot(1<a<b)$ ．
（1）$\displaystyle \frac{\ln (1+x)}{\ln x}>\frac{x}{1+x},(x>1)$ ．
（2）$\displaystyle (a+1)^{\ln b}>(b+1)^{\ln a} \cdot(1<a<b)$ ．
第8题证明题
8．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可导，$\displaystyle f(a)=f(b)=k, f^{\prime}(a) \cdot f^{\prime}(b)>0$ 。求证存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f(\xi)=k$ ．
（2）设函数设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle f(a)=f(b)=0, f^{\prime}(a)=\sqrt{a^{2}+1}, f^{\prime}(b)=\sqrt{4+b^{2}}$ ．证明 $\displaystyle f(x)$在 $\displaystyle (a, b)$ 内至少有一个零点．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可导，$\displaystyle f(a)=f(b)=k, f^{\prime}(a) \cdot f^{\prime}(b)>0$ 。求证存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f(\xi)=k$ ．
（2）设函数设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle f(a)=f(b)=0, f^{\prime}(a)=\sqrt{a^{2}+1}, f^{\prime}(b)=\sqrt{4+b^{2}}$ ．证明 $\displaystyle f(x)$在 $\displaystyle (a, b)$ 内至少有一个零点．
第8题证明题
8．证明下列不等式．
（1）$\displaystyle \left(\frac{a+1}{b+1}\right)^{b+1} \geqslant\left(\frac{a}{b}\right)^{b}, a>0, b>0$ ．
（2）$\displaystyle a^{b^{\circ}}>b^{a^{A}}(a>b>1)$ ．
（1）$\displaystyle \left(\frac{a+1}{b+1}\right)^{b+1} \geqslant\left(\frac{a}{b}\right)^{b}, a>0, b>0$ ．
（2）$\displaystyle a^{b^{\circ}}>b^{a^{A}}(a>b>1)$ ．
第9题证明题
9．若 $\displaystyle 0<x<y<1$ 或 $\displaystyle 1<x<y$ ，证明：$\displaystyle \frac{y}{x}>\frac{y^{x}}{x^{y}}$ ．
第10题证明题
10．已知 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}0, x=0, \\ \alpha x+x^{2} \sin \frac{1}{x}, x \neq 0,\end{array}(\alpha>1)\right.$ ，求 $\displaystyle f^{\prime}(0)$ ，且问 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 的某邻域内是否单调？证明你的结论．
第10题证明题
10．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续且有有限导数，$\displaystyle f(x)$ 是非线性函数．证明：在 $\displaystyle (a, b)$ 内至少存在一点 $\displaystyle c$ 使 $\displaystyle \left|f^{\prime}(c)\right|>\left|\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right|$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，且 $\displaystyle f(x)$ 是非线性函数．试证：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)>\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ 。
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，且 $\displaystyle f(a)=f(b)$ 且不恒为常数．证明：存在两个不同的点 $\displaystyle \eta, \zeta \in(a, b)$ 使 $\displaystyle f^{\prime}(\zeta)>0, f^{\prime}(\eta)<0$ 。
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，且 $\displaystyle f(x)$ 是非线性函数，$\displaystyle f(a)=f(b)$ ．试证：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)>0$ 。
（5）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，且 $\displaystyle f(x)$ 是非线性函数，$\displaystyle f(a)<f(b)$ ．试证：存在 $\displaystyle \xi, \eta \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)<\frac{f(b)-f(a)}{b-a}<f^{\prime}(\eta)$ 。
（6）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导．证明：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)>\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ 的充要条件是 $\displaystyle f(x)$ 不是常数或线性函数．
（7）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，$\displaystyle c=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ ．试证：函数 $\displaystyle f(x)$ 具备下述性质中的一个：
（1）存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)>c$ ；
（2）对 $\displaystyle \forall x \in[a, b]$ 有 $\displaystyle f(x)-f(a)=c(x-a)$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续且有有限导数，$\displaystyle f(x)$ 是非线性函数．证明：在 $\displaystyle (a, b)$ 内至少存在一点 $\displaystyle c$ 使 $\displaystyle \left|f^{\prime}(c)\right|>\left|\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right|$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，且 $\displaystyle f(x)$ 是非线性函数．试证：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)>\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ 。
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，且 $\displaystyle f(a)=f(b)$ 且不恒为常数．证明：存在两个不同的点 $\displaystyle \eta, \zeta \in(a, b)$ 使 $\displaystyle f^{\prime}(\zeta)>0, f^{\prime}(\eta)<0$ 。
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，且 $\displaystyle f(x)$ 是非线性函数，$\displaystyle f(a)=f(b)$ ．试证：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)>0$ 。
（5）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，且 $\displaystyle f(x)$ 是非线性函数，$\displaystyle f(a)<f(b)$ ．试证：存在 $\displaystyle \xi, \eta \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)<\frac{f(b)-f(a)}{b-a}<f^{\prime}(\eta)$ 。
（6）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导．证明：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)>\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ 的充要条件是 $\displaystyle f(x)$ 不是常数或线性函数．
（7）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，$\displaystyle c=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ ．试证：函数 $\displaystyle f(x)$ 具备下述性质中的一个：
（1）存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)>c$ ；
（2）对 $\displaystyle \forall x \in[a, b]$ 有 $\displaystyle f(x)-f(a)=c(x-a)$ ．
第10题证明题
10．证明不等式 $\displaystyle \mathrm{e}^{y}+x \ln x-x-x y \geqslant 0, x \geqslant 1, y \geqslant 0$ ．
第11题证明题
11．证明当 $\displaystyle \mathrm{e}<a<b$ 时 $\displaystyle a^{b}>b^{a}$ ，并由此比较下列大小。
（1）$\displaystyle (\sqrt{n})^{\sqrt{n+1}}$ 与 $\displaystyle (\sqrt{n+1})^{\sqrt{n}}, n>8$ ．
（2）$\displaystyle \pi^{\mathrm{e}}$ 与 $\displaystyle \mathrm{e}^{\pi}$ ．
（1）$\displaystyle (\sqrt{n})^{\sqrt{n+1}}$ 与 $\displaystyle (\sqrt{n+1})^{\sqrt{n}}, n>8$ ．
（2）$\displaystyle \pi^{\mathrm{e}}$ 与 $\displaystyle \mathrm{e}^{\pi}$ ．
第12题证明题
12．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上二次可微，且有界，证明 $\displaystyle \exists x_{0} \in(-\infty,+\infty)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)=0$ 。
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上二次连续可微，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow-x} f(x), \lim _{x \rightarrow+x} f(x)$ 存在．证明存在 $\displaystyle x_{0} \in(-\infty,+\infty)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)=0$ 。
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续，在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 二阶可微，且 $\displaystyle f(0)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 。证明：
（1）存在 $\displaystyle \xi_{1} \in(0,+\infty)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}\left(\xi_{1}\right)=0$ ；（2）存在 $\displaystyle \xi_{2} \in(0,+\infty)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}\left(\xi_{2}\right)=0$ 。
（3）存在一个数列 $\displaystyle \left\{\xi_{n}\right\} \in(0,+\infty)$ 使得 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \xi_{n}=+\infty$ 且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} f^{\prime}\left(\xi_{n}\right)=0$ 。
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 内具有连续的二阶导数，$\displaystyle f_{+}^{\prime}(0)<0$ 且 $\displaystyle x \geqslant 0$ 时 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \geqslant a>0, a$ 为常数．求证：存在唯一 $\displaystyle x^{*} \in(0,+\infty)$ 使得 $\displaystyle f\left(x^{*}\right)=\inf _{x>0} f(x)$ ．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上二次可微，且有界，证明 $\displaystyle \exists x_{0} \in(-\infty,+\infty)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)=0$ 。
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上二次连续可微，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow-x} f(x), \lim _{x \rightarrow+x} f(x)$ 存在．证明存在 $\displaystyle x_{0} \in(-\infty,+\infty)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)=0$ 。
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续，在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 二阶可微，且 $\displaystyle f(0)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 。证明：
（1）存在 $\displaystyle \xi_{1} \in(0,+\infty)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}\left(\xi_{1}\right)=0$ ；（2）存在 $\displaystyle \xi_{2} \in(0,+\infty)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}\left(\xi_{2}\right)=0$ 。
（3）存在一个数列 $\displaystyle \left\{\xi_{n}\right\} \in(0,+\infty)$ 使得 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \xi_{n}=+\infty$ 且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} f^{\prime}\left(\xi_{n}\right)=0$ 。
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 内具有连续的二阶导数，$\displaystyle f_{+}^{\prime}(0)<0$ 且 $\displaystyle x \geqslant 0$ 时 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \geqslant a>0, a$ 为常数．求证：存在唯一 $\displaystyle x^{*} \in(0,+\infty)$ 使得 $\displaystyle f\left(x^{*}\right)=\inf _{x>0} f(x)$ ．
第13题证明题
13．证明下列不等式．
（1）$\displaystyle \frac{\tan x_{2}}{x_{2}}>\frac{\tan x_{1}}{x_{1}}, x_{2}>x_{1}>0$ 。
（2）$\displaystyle \frac{\sin x_{1}}{\sin x_{2}}>\frac{x_{1}}{x_{2}}, \pi>x_{2}>x_{1}>0$ 。
（3）$\displaystyle \frac{\mathrm{e}^{a}-\mathrm{e}^{b}}{a-b}<\frac{\mathrm{e}^{a}+\mathrm{e}^{b}}{2},(a \neq b)$.
（4）$\displaystyle \frac{2}{a+b}<\frac{\ln a-\ln b}{a-b}<\frac{1}{\sqrt{a b}}, a, b>0, a \neq b$ ．
（5）对 $\displaystyle \forall a, b \in \mathbf{R}, \frac{|a+b|}{1+|a+b|} \leqslant \frac{|a|}{1+|a|}+\frac{|b|}{1+|b|}$ 。
（6）$\displaystyle \frac{\sin (\alpha+\beta)}{1+\sin (\alpha+\beta)} \leqslant \frac{\sin \alpha}{1+\sin \alpha}+\frac{\sin \beta}{1+\sin \beta}, \alpha, \beta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ．
（1）$\displaystyle \frac{\tan x_{2}}{x_{2}}>\frac{\tan x_{1}}{x_{1}}, x_{2}>x_{1}>0$ 。
（2）$\displaystyle \frac{\sin x_{1}}{\sin x_{2}}>\frac{x_{1}}{x_{2}}, \pi>x_{2}>x_{1}>0$ 。
（3）$\displaystyle \frac{\mathrm{e}^{a}-\mathrm{e}^{b}}{a-b}<\frac{\mathrm{e}^{a}+\mathrm{e}^{b}}{2},(a \neq b)$.
（4）$\displaystyle \frac{2}{a+b}<\frac{\ln a-\ln b}{a-b}<\frac{1}{\sqrt{a b}}, a, b>0, a \neq b$ ．
（5）对 $\displaystyle \forall a, b \in \mathbf{R}, \frac{|a+b|}{1+|a+b|} \leqslant \frac{|a|}{1+|a|}+\frac{|b|}{1+|b|}$ 。
（6）$\displaystyle \frac{\sin (\alpha+\beta)}{1+\sin (\alpha+\beta)} \leqslant \frac{\sin \alpha}{1+\sin \alpha}+\frac{\sin \beta}{1+\sin \beta}, \alpha, \beta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ．
第14题证明题
14．证明下列不等式．
（1）$\displaystyle \frac{a-b}{a}<\ln \frac{a}{b}<\frac{a-b}{b}, 0<b<a$ ．
（2）$\displaystyle \frac{b-a}{b^{2}+1}<\arctan b-\arctan a<\frac{b-a}{a^{2}+1}, 0<a<b$ ．
（3） $\displaystyle \ln ^{2} b-\ln ^{2} a>\frac{4}{\mathrm{e}^{2}}(b-a), \mathrm{e}<a<b<\mathrm{e}^{2}$ 。
（1）$\displaystyle \frac{a-b}{a}<\ln \frac{a}{b}<\frac{a-b}{b}, 0<b<a$ ．
（2）$\displaystyle \frac{b-a}{b^{2}+1}<\arctan b-\arctan a<\frac{b-a}{a^{2}+1}, 0<a<b$ ．
（3） $\displaystyle \ln ^{2} b-\ln ^{2} a>\frac{4}{\mathrm{e}^{2}}(b-a), \mathrm{e}<a<b<\mathrm{e}^{2}$ 。
第15题证明题
15．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\cdots+\frac{x^{n}}{n!}$ 。证明：当 $\displaystyle n$ 为偶数时，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上无零点；当 $\displaystyle n$ 为奇数时，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上有且只有一个零点。
（2）证明：奇次多项式至少存在一个实根．
（3）方程 $\displaystyle x^{n}+p x+q=0$（ $\displaystyle n$ 为正整数）当 $\displaystyle n$ 为偶数时至多有两个实根；当 $\displaystyle n$ 为奇数时至多有三个实根．
（4）设 $\displaystyle a>0, b>0$ ，证明方程 $\displaystyle x^{3}+a x+b=0$ 有唯一的负实根．
（1）设 $\displaystyle f(x)=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\cdots+\frac{x^{n}}{n!}$ 。证明：当 $\displaystyle n$ 为偶数时，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上无零点；当 $\displaystyle n$ 为奇数时，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上有且只有一个零点。
（2）证明：奇次多项式至少存在一个实根．
（3）方程 $\displaystyle x^{n}+p x+q=0$（ $\displaystyle n$ 为正整数）当 $\displaystyle n$ 为偶数时至多有两个实根；当 $\displaystyle n$ 为奇数时至多有三个实根．
（4）设 $\displaystyle a>0, b>0$ ，证明方程 $\displaystyle x^{3}+a x+b=0$ 有唯一的负实根．
第15题证明题
15．证明下列不等式．
（1）$\displaystyle \left|\mathrm{e}^{t}-1-t\right| \leqslant t^{2},|t| \leqslant 1$ ．
（2） $\displaystyle 2^{x} \geqslant 1+x^{2}, x \in[0,1]$ ．
（3） $\displaystyle \mathrm{e}^{x}-1>(1+x) \ln (1+x), x>0$ ．
（4）设 $\displaystyle p$ 为常数，$\displaystyle p>\ln 2-1$ ．证明：当 $\displaystyle x \in(0,+\infty)$ 时，不等式 $\displaystyle x^{2}-2 p x+1<\mathrm{e}^{x}$ 成立．
（5）设常数 $\displaystyle p>\mathrm{e}$ 。证明：当 $\displaystyle x \in(0,+\infty)$ 时不等式 $\displaystyle p \mathrm{e}^{-x}+x^{2}-x>1$ 成立．
（1）$\displaystyle \left|\mathrm{e}^{t}-1-t\right| \leqslant t^{2},|t| \leqslant 1$ ．
（2） $\displaystyle 2^{x} \geqslant 1+x^{2}, x \in[0,1]$ ．
（3） $\displaystyle \mathrm{e}^{x}-1>(1+x) \ln (1+x), x>0$ ．
（4）设 $\displaystyle p$ 为常数，$\displaystyle p>\ln 2-1$ ．证明：当 $\displaystyle x \in(0,+\infty)$ 时，不等式 $\displaystyle x^{2}-2 p x+1<\mathrm{e}^{x}$ 成立．
（5）设常数 $\displaystyle p>\mathrm{e}$ 。证明：当 $\displaystyle x \in(0,+\infty)$ 时不等式 $\displaystyle p \mathrm{e}^{-x}+x^{2}-x>1$ 成立．
第15题证明题
15．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可微，且当 $\displaystyle x \in(0,1)$ 时， $\displaystyle 0<f^{\prime}(x)<1, f(0)=0$ 。证 $\displaystyle \left(\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right)^{2}>\int_{0}^{1} f^{3}(x) \mathrm{d} x$ 。
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 上可导，$\displaystyle f(a)=0, f^{\prime}(x) \geqslant 1$ ．证明
$$
\int_{a}^{b}(f(x))^{3} \mathrm{~d} x \geqslant\left(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right)^{2} \text {. }
$$
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续， $\displaystyle 0 \leqslant f(x) \leqslant x$ 。试证： $\displaystyle \int_{0}^{1} x^{2} f(x) \mathrm{d} x \geqslant\left(\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right)^{2}$ ，并求等号成立时所有的 $\displaystyle f(x)$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可微，且当 $\displaystyle x \in(0,1)$ 时， $\displaystyle 0<f^{\prime}(x)<1, f(0)=0$ 。证 $\displaystyle \left(\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right)^{2}>\int_{0}^{1} f^{3}(x) \mathrm{d} x$ 。
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 上可导，$\displaystyle f(a)=0, f^{\prime}(x) \geqslant 1$ ．证明
$$
\int_{a}^{b}(f(x))^{3} \mathrm{~d} x \geqslant\left(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right)^{2} \text {. }
$$
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续， $\displaystyle 0 \leqslant f(x) \leqslant x$ 。试证： $\displaystyle \int_{0}^{1} x^{2} f(x) \mathrm{d} x \geqslant\left(\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right)^{2}$ ，并求等号成立时所有的 $\displaystyle f(x)$ ．
第16题证明题
16．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)=\sin x-\frac{1}{\ln x}$ ，证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [2,+\infty)$ 内有无穷多个零点．
（2）证明方程 $\displaystyle x \mathrm{e}^{x}=2$ 在区间 $\displaystyle (0,1)$ 内有且仅有一个实根．
（1）设 $\displaystyle f(x)=\sin x-\frac{1}{\ln x}$ ，证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [2,+\infty)$ 内有无穷多个零点．
（2）证明方程 $\displaystyle x \mathrm{e}^{x}=2$ 在区间 $\displaystyle (0,1)$ 内有且仅有一个实根．
第16题求解题
16．已知不等式 $\displaystyle A \mathrm{e}^{-x}+x^{2}-x \geqslant 1$ 对一切 $\displaystyle x \in(1,+\infty)$ 成立，求常数 $\displaystyle A$ 的取值范围．
第17题讨论/判定题
17．研究下列方程的实根。
（1）设 $\displaystyle k>0$ ，试问 $\displaystyle k$ 为何值时，方程 $\displaystyle \arctan x-k x=0$ 存在正实根．
（2）设当 $\displaystyle k>0$ 时，方程 $\displaystyle k x+\frac{1}{x^{2}}=1$ 有且仅有一个解，求 $\displaystyle k$ 的取值范围．
（3）讨论曲线 $\displaystyle y=4 \ln x+k$ 与 $\displaystyle y=4 x+\ln ^{4} x$ 的交点的个数，其中 $\displaystyle k$ 为参数．
（1）设 $\displaystyle k>0$ ，试问 $\displaystyle k$ 为何值时，方程 $\displaystyle \arctan x-k x=0$ 存在正实根．
（2）设当 $\displaystyle k>0$ 时，方程 $\displaystyle k x+\frac{1}{x^{2}}=1$ 有且仅有一个解，求 $\displaystyle k$ 的取值范围．
（3）讨论曲线 $\displaystyle y=4 \ln x+k$ 与 $\displaystyle y=4 x+\ln ^{4} x$ 的交点的个数，其中 $\displaystyle k$ 为参数．
第17题证明题
17．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一阶可微，$\displaystyle f(0)=0$ ，且 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内单调递减．证明：$\displaystyle \frac{f(x)}{x}$在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内单调递减．
第17题证明题
17．证明下列不等式．
（1）设 $\displaystyle p>1, q>1, \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ 。证明：$\displaystyle x^{\frac{1}{p}} \leqslant \frac{1}{p} x+\frac{1}{q},(\forall x>0)$ ，并证明当且仅当 $\displaystyle x=1$ 时等式成立．
（2）设 $\displaystyle p>1, q>1, \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ ，证明：对 $\displaystyle \forall x>0, \frac{1}{p} x^{p}+\frac{1}{q} \geqslant x$ 。
（3）证明：对 $\displaystyle \forall x>0,0<p<1, x^{p}-p x \leqslant 1-p$ ．
（1）设 $\displaystyle p>1, q>1, \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ 。证明：$\displaystyle x^{\frac{1}{p}} \leqslant \frac{1}{p} x+\frac{1}{q},(\forall x>0)$ ，并证明当且仅当 $\displaystyle x=1$ 时等式成立．
（2）设 $\displaystyle p>1, q>1, \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ ，证明：对 $\displaystyle \forall x>0, \frac{1}{p} x^{p}+\frac{1}{q} \geqslant x$ 。
（3）证明：对 $\displaystyle \forall x>0,0<p<1, x^{p}-p x \leqslant 1-p$ ．
第18题求解题
18．研究下列方程的实根。
（1）求 $\displaystyle f(x)=a x-\ln x$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上的极值；求方程 $\displaystyle a x=\ln x$ 有两个正实根的条件。
（2）试研究方程 $\displaystyle a x=\ln x,(a>0)$ 的实根的个数。
（1）求 $\displaystyle f(x)=a x-\ln x$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上的极值；求方程 $\displaystyle a x=\ln x$ 有两个正实根的条件。
（2）试研究方程 $\displaystyle a x=\ln x,(a>0)$ 的实根的个数。
第18题证明题
18．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 为奇函数，在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内连续单调递增，又设 $\displaystyle F(x)=\int_{0}^{x}(x-2 t) f(t) \mathrm{d} t$ 。证明： （1）$\displaystyle F(x)$ 为奇函数，（2）$\displaystyle F(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上单调递减．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内连续，并且是单调增加的奇函数，又设 $\displaystyle g(x)=\int_{0}^{x}(2 t-x) f(x-t) \mathrm{d} t$ ．试判断 $\displaystyle g(x)$ 的单调性和奇偶性并证明之．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 为奇函数，在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内连续单调递增，又设 $\displaystyle F(x)=\int_{0}^{x}(x-3 t) f(t) \mathrm{d} t$ ．证明： （1）$\displaystyle F(x)$ 为奇函数，（2）$\displaystyle F(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上单调递减．
（4）证明：若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续，$\displaystyle f(x)>0$ ，则 $\displaystyle \varphi(x)=\frac{\int_{0}^{x} t f(t) \mathrm{d} t}{\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t}$ 为 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上的严格单调递增．
（5）证明：若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续递增，$\displaystyle F(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x-a} \int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t, x \in(a, b], \text { 则 } F(x) \text { 为 }[a, b] \text { 上的 } \\ f(a), x=a,\end{array}\right.$单调增函数．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 为奇函数，在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内连续单调递增，又设 $\displaystyle F(x)=\int_{0}^{x}(x-2 t) f(t) \mathrm{d} t$ 。证明： （1）$\displaystyle F(x)$ 为奇函数，（2）$\displaystyle F(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上单调递减．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内连续，并且是单调增加的奇函数，又设 $\displaystyle g(x)=\int_{0}^{x}(2 t-x) f(x-t) \mathrm{d} t$ ．试判断 $\displaystyle g(x)$ 的单调性和奇偶性并证明之．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 为奇函数，在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内连续单调递增，又设 $\displaystyle F(x)=\int_{0}^{x}(x-3 t) f(t) \mathrm{d} t$ ．证明： （1）$\displaystyle F(x)$ 为奇函数，（2）$\displaystyle F(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上单调递减．
（4）证明：若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续，$\displaystyle f(x)>0$ ，则 $\displaystyle \varphi(x)=\frac{\int_{0}^{x} t f(t) \mathrm{d} t}{\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t}$ 为 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上的严格单调递增．
（5）证明：若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续递增，$\displaystyle F(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x-a} \int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t, x \in(a, b], \text { 则 } F(x) \text { 为 }[a, b] \text { 上的 } \\ f(a), x=a,\end{array}\right.$单调增函数．
第19题未分类
19．研究下列方程的实根．
（1）$\displaystyle x=\mathrm{e}^{a x},(a>0)$ ．
（2）$\displaystyle x \ln x+a=0$ ．
（3） $\displaystyle \ln x=a x^{2}, ~(a>0)$ 。
（1）$\displaystyle x=\mathrm{e}^{a x},(a>0)$ ．
（2）$\displaystyle x \ln x+a=0$ ．
（3） $\displaystyle \ln x=a x^{2}, ~(a>0)$ 。
第19题证明题
19．证明下列结论．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 连续，$\displaystyle f(0)=f(1)=0, f^{\prime \prime}(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 存在，$\displaystyle f^{\prime \prime}(x)+2 f^{\prime}(x)+f(x)>0$ ．求证：$\displaystyle f(x) \leqslant 0, \forall x \in(0,1)$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在实数集 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上可导，满足：存在常数 $\displaystyle \mu>0$ 使 $\displaystyle |f(x)| \leqslant \frac{\mu}{|x|^{2005}}$ ， $\displaystyle x^{2004}\left|x f^{\prime}(x)+x f(x)+2005 f(x)\right| \leqslant 1$ ．求证：$\displaystyle \left|x^{2005} f(x)\right| \leqslant 1$ ．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 连续，$\displaystyle f(0)=f(1)=0, f^{\prime \prime}(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 存在，$\displaystyle f^{\prime \prime}(x)+2 f^{\prime}(x)+f(x)>0$ ．求证：$\displaystyle f(x) \leqslant 0, \forall x \in(0,1)$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在实数集 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上可导，满足：存在常数 $\displaystyle \mu>0$ 使 $\displaystyle |f(x)| \leqslant \frac{\mu}{|x|^{2005}}$ ， $\displaystyle x^{2004}\left|x f^{\prime}(x)+x f(x)+2005 f(x)\right| \leqslant 1$ ．求证：$\displaystyle \left|x^{2005} f(x)\right| \leqslant 1$ ．
第19题证明题
19．证明下列不等式：
（1）证明：（1）$\displaystyle x^{n}(1-x)<\frac{1}{n \mathrm{e}},\left(0<x<1, n \in \mathbf{N}^{+}\right)$；（2）$\displaystyle x^{y}+y^{x}>1,(x, y>0)$ 。
（2）证明：$\displaystyle y x^{y}(1-x)<\frac{1}{\mathrm{e}},(0<x<1,0<y<+\infty)$ ．
（1）证明：（1）$\displaystyle x^{n}(1-x)<\frac{1}{n \mathrm{e}},\left(0<x<1, n \in \mathbf{N}^{+}\right)$；（2）$\displaystyle x^{y}+y^{x}>1,(x, y>0)$ 。
（2）证明：$\displaystyle y x^{y}(1-x)<\frac{1}{\mathrm{e}},(0<x<1,0<y<+\infty)$ ．
第22题证明题
22．证明下列命题．
（1）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 可导，$\displaystyle f(0)=0, \forall x \in[0,+\infty)$ 有 $\displaystyle 0 \leqslant f^{\prime}(x) \leqslant f(x)$ ．证明 $\displaystyle f(x) \equiv 0$ ．
（2）若函数 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数，且对一切 $\displaystyle x \in[a, b]$ 有 $\displaystyle \int_{a}^{x} f(u) \mathrm{d} u \geqslant f(x) \geqslant 0$ ．证明 $\displaystyle f(x) \equiv 0$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上连续，$\displaystyle f(x) \leqslant \int_{a}^{x} f(u) \mathrm{d} u, x \in \mathbf{R}$ 。证明 $\displaystyle f(x) \leqslant 0$ 。（广西师大 2005，河南师大
2012（［a，b］））
（4）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，$\displaystyle f(a)=0, f(x)>0, x \in(a, b]$ ．证明：不存在常数 $\displaystyle M \geqslant 0$ 使 $\displaystyle 0 \leqslant f^{\prime}(x) \leqslant M f(x), x \in[a, b]$ ．
（1）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 可导，$\displaystyle f(0)=0, \forall x \in[0,+\infty)$ 有 $\displaystyle 0 \leqslant f^{\prime}(x) \leqslant f(x)$ ．证明 $\displaystyle f(x) \equiv 0$ ．
（2）若函数 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数，且对一切 $\displaystyle x \in[a, b]$ 有 $\displaystyle \int_{a}^{x} f(u) \mathrm{d} u \geqslant f(x) \geqslant 0$ ．证明 $\displaystyle f(x) \equiv 0$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上连续，$\displaystyle f(x) \leqslant \int_{a}^{x} f(u) \mathrm{d} u, x \in \mathbf{R}$ 。证明 $\displaystyle f(x) \leqslant 0$ 。（广西师大 2005，河南师大
2012（［a，b］））
（4）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，$\displaystyle f(a)=0, f(x)>0, x \in(a, b]$ ．证明：不存在常数 $\displaystyle M \geqslant 0$ 使 $\displaystyle 0 \leqslant f^{\prime}(x) \leqslant M f(x), x \in[a, b]$ ．
第25题证明题
25．证明下列结论．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 内连续，在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 内可导，当 $\displaystyle x>a$ 时 $\displaystyle f^{\prime}(x)>k>0$ ．证明：若 $\displaystyle f(a)<0$ ，则方程 $\displaystyle f(x)=0$ 在 $\displaystyle \left(a, a-\frac{f(a)}{k}\right)$（或 $\displaystyle (a,+\infty)$ ）内有且仅有一个实根．
（2）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty, 1)$ 存在二阶导数，$\displaystyle f^{\prime}(1)>0, f(1)>0, f^{\prime}(x)$ 严格单调减少。证明：$\displaystyle f(x)$
在 $\displaystyle (-\infty, 1)$ 内至少有一个实根．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 内连续，在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 内二阶可导，$\displaystyle f(a)>0, f^{\prime}(a)<0$ 且 $\displaystyle x>a$ 时 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \leqslant 0$ ．求证：（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=-\infty$ ；（2）在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 内方程 $\displaystyle f(x)=0$ 有且仅有一个实根．（浙江大学 2003，西安电子科技 2008 ，北京科技 2009 ，厦门大学 $\displaystyle 2005 / 2004$ ，上海理工 2005 ，南京师大 2003 ，西安建筑科技2006，中山大学2009（ $\displaystyle \mathrm{a}=1$ ），安徽师大2007）
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 内连续，$\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \leqslant 0, f(1)=2, f^{\prime}(1)=-3$ 。求证：在 $\displaystyle (1, \infty)$ 内方程 $\displaystyle f(x)=0$ 有且仅有一个实根．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 内连续，在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 内可导，当 $\displaystyle x>a$ 时 $\displaystyle f^{\prime}(x)>k>0$ ．证明：若 $\displaystyle f(a)<0$ ，则方程 $\displaystyle f(x)=0$ 在 $\displaystyle \left(a, a-\frac{f(a)}{k}\right)$（或 $\displaystyle (a,+\infty)$ ）内有且仅有一个实根．
（2）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty, 1)$ 存在二阶导数，$\displaystyle f^{\prime}(1)>0, f(1)>0, f^{\prime}(x)$ 严格单调减少。证明：$\displaystyle f(x)$
在 $\displaystyle (-\infty, 1)$ 内至少有一个实根．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 内连续，在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 内二阶可导，$\displaystyle f(a)>0, f^{\prime}(a)<0$ 且 $\displaystyle x>a$ 时 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \leqslant 0$ ．求证：（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=-\infty$ ；（2）在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 内方程 $\displaystyle f(x)=0$ 有且仅有一个实根．（浙江大学 2003，西安电子科技 2008 ，北京科技 2009 ，厦门大学 $\displaystyle 2005 / 2004$ ，上海理工 2005 ，南京师大 2003 ，西安建筑科技2006，中山大学2009（ $\displaystyle \mathrm{a}=1$ ），安徽师大2007）
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 内连续，$\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \leqslant 0, f(1)=2, f^{\prime}(1)=-3$ 。求证：在 $\displaystyle (1, \infty)$ 内方程 $\displaystyle f(x)=0$ 有且仅有一个实根．
第25题证明题
25．设定义在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上的非负连续函数 $\displaystyle f(x)$ ，满足 $\displaystyle f(x) \leqslant \int_{0}^{x}(f(t))^{a} \mathrm{~d} t$ ，（ $\displaystyle a$ 为常数）．证明：（1）当 $\displaystyle a \geqslant 1$ 时，$\displaystyle f(x) \equiv 0$ ；（2）举例说明，当 $\displaystyle 0<a<1$ 时，$\displaystyle f(x)$ 不一定恒为 0 ．
第26题证明题
26．证明下列结论．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, c]$ 上可微，$\displaystyle f^{\prime}(x)$ 递减且 $\displaystyle f(0)=0$ ．证明：对于 $\displaystyle 0 \leqslant a \leqslant b \leqslant a+b \leqslant c$ ， $\displaystyle f(a+b) \leqslant f(a)+f(b)$ ．
（2）设 $\displaystyle a>0, b>0$ 。求证：当 $\displaystyle 0<p<1$ 时，$\displaystyle (a+b)^{p}<a^{p}+b^{p}$ ；当 $\displaystyle p>1$ 时，$\displaystyle (a+b)^{p}<2^{p-1}\left(a^{p}+b^{p}\right)$ ．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, c]$ 上可微，$\displaystyle f^{\prime}(x)$ 递减且 $\displaystyle f(0)=0$ ．证明：对于 $\displaystyle 0 \leqslant a \leqslant b \leqslant a+b \leqslant c$ ， $\displaystyle f(a+b) \leqslant f(a)+f(b)$ ．
（2）设 $\displaystyle a>0, b>0$ 。求证：当 $\displaystyle 0<p<1$ 时，$\displaystyle (a+b)^{p}<a^{p}+b^{p}$ ；当 $\displaystyle p>1$ 时，$\displaystyle (a+b)^{p}<2^{p-1}\left(a^{p}+b^{p}\right)$ ．
第27题证明题
27．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上可微，且 $\displaystyle f^{\prime}(x) \geqslant K>0$ ．证明：（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty$ ； （2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+f^{2}(n)}$ 收敛．
第28题未分类
28．设 $\displaystyle f(x) \in C[0,1]$ ．证 明：（1）存 在一 点 $\displaystyle \xi \in[0,1]$ 使 $\displaystyle \sin ^{2}(\pi f(\xi))=\xi$ ；（2）若 $\displaystyle f(x)=x$ ，则 $\displaystyle \sin ^{2}(\pi x)=x$ 有且仅有三个根．
第28题证明题
28．证明下列命题（Cauchy 不等式及 Schwarz 不等式）。
（1）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积。证明 Schwarz 不等式
$\displaystyle \left(\int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x\right)^{2} \leqslant \int_{a}^{b}(f(x))^{2} \mathrm{~d} x \cdot \int_{a}^{b}(g(x))^{2} \mathrm{~d} x$ 。
（2）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续。证明 $\displaystyle \left(\int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x\right)^{2} \leqslant \int_{a}^{b}(f(x))^{2} \mathrm{~d} x \cdot \int_{a}^{b}(g(x))^{2} \mathrm{~d} x$.
（1）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积。证明 Schwarz 不等式
$\displaystyle \left(\int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x\right)^{2} \leqslant \int_{a}^{b}(f(x))^{2} \mathrm{~d} x \cdot \int_{a}^{b}(g(x))^{2} \mathrm{~d} x$ 。
（2）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续。证明 $\displaystyle \left(\int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x\right)^{2} \leqslant \int_{a}^{b}(f(x))^{2} \mathrm{~d} x \cdot \int_{a}^{b}(g(x))^{2} \mathrm{~d} x$.
第28题未分类
28．设 $\displaystyle f(u)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上有连续导函数，$\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant R^{2}\right\}, F(t)=\iint_{D} f\left(x^{2}+y^{2}+t^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ， $\displaystyle t \in(-\infty,+\infty)$ ．（1）证明：$\displaystyle F(t)$ 可导，并求 $\displaystyle F^{\prime}(t)$ ；（2）若 $\displaystyle f(u)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上单调递增，则 $\displaystyle F(t)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上单调递增．
第29题证明题
29．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，$\displaystyle f^{\prime}(x)>g^{\prime}(x), x \in(a, b), f(a)>g(a)$ ．证明：$\displaystyle f(x)>g(x), x \in[a, b]$ ．
（2）若 $\displaystyle f(x), g(x)$ 都 是 可 微 函 数，且 当 $\displaystyle x \geqslant a$ 时，$\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant g^{\prime}(x)$ 。则 当 $\displaystyle x \geqslant a$ 时， $\displaystyle |f(x)-f(a)| \leqslant g(x)-g(a)$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，$\displaystyle f^{\prime}(x)>g^{\prime}(x), x \in(a, b), f(a)>g(a)$ ．证明：$\displaystyle f(x)>g(x), x \in[a, b]$ ．
（2）若 $\displaystyle f(x), g(x)$ 都 是 可 微 函 数，且 当 $\displaystyle x \geqslant a$ 时，$\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant g^{\prime}(x)$ 。则 当 $\displaystyle x \geqslant a$ 时， $\displaystyle |f(x)-f(a)| \leqslant g(x)-g(a)$ ．
第30题证明题
30．设 $\displaystyle f(x)$ 于 $\displaystyle [a,+\infty)$ 可导，且 $\displaystyle f^{\prime}(x) \geqslant c>0$（ $\displaystyle c$ 为常数）．证明：（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty$ ；（2）$\displaystyle f(x)$ 于 $\displaystyle [a,+\infty)$ 必有最小值．
第30题证明题
30．设在 $\displaystyle [a, b]$ 上，$\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \geqslant\left|g^{\prime}(x)\right|, f^{\prime}(x) \neq 0$ ．证明：
（1）$\displaystyle |\Delta f(x)| \geqslant|\Delta g(x)|$ ，且在 $\displaystyle \left(\frac{1}{2}, x\right)$ 上 $\displaystyle |\Delta \arctan x| \leqslant \Delta \ln \left(1+x^{2}\right)$ ；
（2）在 $\displaystyle \left[\frac{1}{2}, 1\right] \mathrm{t} \arctan x-\ln \left(1+x^{2}\right) \geqslant \frac{\pi}{4}-\ln 2$ ．
（1）$\displaystyle |\Delta f(x)| \geqslant|\Delta g(x)|$ ，且在 $\displaystyle \left(\frac{1}{2}, x\right)$ 上 $\displaystyle |\Delta \arctan x| \leqslant \Delta \ln \left(1+x^{2}\right)$ ；
（2）在 $\displaystyle \left[\frac{1}{2}, 1\right] \mathrm{t} \arctan x-\ln \left(1+x^{2}\right) \geqslant \frac{\pi}{4}-\ln 2$ ．
第31题证明题
31．证明下列不等式．
（1）$\displaystyle \frac{2}{3} n \sqrt{n} \leqslant \sum_{k=1}^{n} \sqrt{k}<\left(\frac{2}{3} n+\frac{1}{2}\right) \sqrt{n}$ ．
（2） $\displaystyle 2 \sqrt{n+1}-2 \leqslant \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}}<2 \sqrt{n}-1$ ．
（3）对任何正整数 $\displaystyle n \geqslant 2, \frac{1}{2} \leqslant \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}-\ln n<1$ ．
（4）若 $\displaystyle \lambda=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$ ，证明： $\displaystyle \mathrm{e}^{\lambda}>n+1$ ．
（5） $\displaystyle 0<\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}-\ln (n+1) \leqslant \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{2}}<1$ 。
（6） $\displaystyle 2<\mathrm{e}<3$ ．
其中 $\displaystyle n$ 为正整数。
（1）$\displaystyle \frac{2}{3} n \sqrt{n} \leqslant \sum_{k=1}^{n} \sqrt{k}<\left(\frac{2}{3} n+\frac{1}{2}\right) \sqrt{n}$ ．
（2） $\displaystyle 2 \sqrt{n+1}-2 \leqslant \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}}<2 \sqrt{n}-1$ ．
（3）对任何正整数 $\displaystyle n \geqslant 2, \frac{1}{2} \leqslant \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}-\ln n<1$ ．
（4）若 $\displaystyle \lambda=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$ ，证明： $\displaystyle \mathrm{e}^{\lambda}>n+1$ ．
（5） $\displaystyle 0<\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}-\ln (n+1) \leqslant \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{2}}<1$ 。
（6） $\displaystyle 2<\mathrm{e}<3$ ．
其中 $\displaystyle n$ 为正整数。
第32题证明题
32．证明下列命题．
（1）证明：集合 $\displaystyle A=\left\{\alpha \mid \forall x>0,\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+\alpha}>\mathrm{e}\right\}$ 有最小值，并求最小值．
（2）对任意的 $\displaystyle n=1,2,3, \cdots$ ，求能使不等式 $\displaystyle \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+\alpha} \leqslant \mathrm{e} \leqslant\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+\beta}$ 成立的 $\displaystyle \alpha$ 最大值与 $\displaystyle \beta$ 最小值．
（3）证明对任何自然数 $\displaystyle n$ 有 $\displaystyle 0<\mathrm{e}-\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}<\frac{3}{n}$ ．
（1）证明：集合 $\displaystyle A=\left\{\alpha \mid \forall x>0,\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+\alpha}>\mathrm{e}\right\}$ 有最小值，并求最小值．
（2）对任意的 $\displaystyle n=1,2,3, \cdots$ ，求能使不等式 $\displaystyle \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+\alpha} \leqslant \mathrm{e} \leqslant\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+\beta}$ 成立的 $\displaystyle \alpha$ 最大值与 $\displaystyle \beta$ 最小值．
（3）证明对任何自然数 $\displaystyle n$ 有 $\displaystyle 0<\mathrm{e}-\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}<\frac{3}{n}$ ．
第32题证明题
32．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可微，$\displaystyle f(a)=f(b)=0, f(x)$ 不恒为正．求证： $\displaystyle \int_{a}^{b} x f(x) f^{\prime}(x) \mathrm{d} x<0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle [a, b]$ 上具有连续的导数，$\displaystyle f(a)=f(b)=0, \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x=1$ 。证明：（1） $\displaystyle \int_{a}^{b} x f(x) f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=-\frac{1}{2}$ ；
（2） $\displaystyle \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x \int_{a}^{b} x^{2} f^{2}(x) \mathrm{d} x>\frac{1}{4}$ ；（3） $\displaystyle \int_{a}^{b} x^{2}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x>\frac{1}{4}$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 有连续的导数，$\displaystyle f(0)=f(1)=0, \int_{0}^{1} x^{2} f^{2}(x) \mathrm{d} x=1$ ．证明： $\displaystyle \int_{0}^{1} x^{4}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x \geqslant \frac{9}{4}$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可微，$\displaystyle f(a)=f(b)=0, f(x)$ 不恒为正．求证： $\displaystyle \int_{a}^{b} x f(x) f^{\prime}(x) \mathrm{d} x<0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle [a, b]$ 上具有连续的导数，$\displaystyle f(a)=f(b)=0, \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x=1$ 。证明：（1） $\displaystyle \int_{a}^{b} x f(x) f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=-\frac{1}{2}$ ；
（2） $\displaystyle \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x \int_{a}^{b} x^{2} f^{2}(x) \mathrm{d} x>\frac{1}{4}$ ；（3） $\displaystyle \int_{a}^{b} x^{2}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x>\frac{1}{4}$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 有连续的导数，$\displaystyle f(0)=f(1)=0, \int_{0}^{1} x^{2} f^{2}(x) \mathrm{d} x=1$ ．证明： $\displaystyle \int_{0}^{1} x^{4}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x \geqslant \frac{9}{4}$ ．
第35题求解题
35．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上有二阶导数，$\displaystyle f(0) \geqslant 0, f^{\prime}(0) \geqslant 0$ ，且满足 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \geqslant f(x)$ ．求证：$\displaystyle f(x) \geqslant f(0)+f^{\prime}(0) x,(x \in[0,+\infty))$.
第35题证明题
35．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可微，$\displaystyle f(a)=0$ 。求证： $\displaystyle \int_{a}^{b}\left|f(x) f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x \leqslant \frac{b-a}{2} \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x$ ，且等号成立时有 $\displaystyle f(x)=c(x-a), \mathrm{c}$ 为某常数．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可微，$\displaystyle f\left(\frac{a+b}{2}\right)=0$ ．求证： $\displaystyle \int_{a}^{b}\left|f(x) f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x \leqslant \frac{b-a}{4} \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可微，$\displaystyle f(a)=0$ 。求证： $\displaystyle \int_{a}^{b}\left|f(x) f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x \leqslant \frac{b-a}{2} \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x$ ，且等号成立时有 $\displaystyle f(x)=c(x-a), \mathrm{c}$ 为某常数．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可微，$\displaystyle f\left(\frac{a+b}{2}\right)=0$ ．求证： $\displaystyle \int_{a}^{b}\left|f(x) f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x \leqslant \frac{b-a}{4} \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x$ ．
第36题求解题
36．设 $\displaystyle x>-1$ ，可微 函 数 $\displaystyle f(x)$ 满 足 $\displaystyle f^{\prime}(x)+f(x)-\frac{1}{1+x} \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=0, f(0)=1$ ．求 证 $\displaystyle \mathrm{e}^{-x} \leqslant f(x)<1,(x \geqslant 0)$ ．
第42题证明题
42．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle h(t)$ 是 $\displaystyle f(t)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上的一个原函数，$\displaystyle f(t) \leqslant h(t), t \in[a, b]$ ．试证：$\displaystyle f(t) \leqslant h(a) \mathrm{e}^{t-a}$ ， （ $\displaystyle a \leqslant t \leqslant b$ ）．
（2）设 $\displaystyle g(x)$ 为 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续非负函数，$\displaystyle x_{0} \in[a, b]$ ，且存在 $\displaystyle \delta>0, k>0$ 使得 $\displaystyle y(t)$ 满足 $\displaystyle y(x) \leqslant \delta+k \int_{x_{0}}^{x} y(t) \mathrm{d} t, x \in[a, b]$ 。试证：$\displaystyle y(x) \leqslant \delta \mathrm{e}^{k\left(x-x_{0}\right)}, x \in[a, b]$ 。
（3）设 $\displaystyle x_{0} \in(-\infty,+\infty), \varphi(x)$ 和 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \left[x_{0}, x_{0}+h\right]$ 上连续，且存在 $\displaystyle M>0, K>0$ 使得
$$
|\varphi(x)| \leqslant M\left(1+K \int_{x_{0}}^{x}|\varphi(t) f(t)| \mathrm{d} t\right), x \in\left(x_{0}, x_{0}+h\right)
$$
（1）设 $\displaystyle h(t)$ 是 $\displaystyle f(t)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上的一个原函数，$\displaystyle f(t) \leqslant h(t), t \in[a, b]$ ．试证：$\displaystyle f(t) \leqslant h(a) \mathrm{e}^{t-a}$ ， （ $\displaystyle a \leqslant t \leqslant b$ ）．
（2）设 $\displaystyle g(x)$ 为 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续非负函数，$\displaystyle x_{0} \in[a, b]$ ，且存在 $\displaystyle \delta>0, k>0$ 使得 $\displaystyle y(t)$ 满足 $\displaystyle y(x) \leqslant \delta+k \int_{x_{0}}^{x} y(t) \mathrm{d} t, x \in[a, b]$ 。试证：$\displaystyle y(x) \leqslant \delta \mathrm{e}^{k\left(x-x_{0}\right)}, x \in[a, b]$ 。
（3）设 $\displaystyle x_{0} \in(-\infty,+\infty), \varphi(x)$ 和 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \left[x_{0}, x_{0}+h\right]$ 上连续，且存在 $\displaystyle M>0, K>0$ 使得
$$
|\varphi(x)| \leqslant M\left(1+K \int_{x_{0}}^{x}|\varphi(t) f(t)| \mathrm{d} t\right), x \in\left(x_{0}, x_{0}+h\right)
$$
第43题证明题
43．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [2,+\infty)$ 上可导，$\displaystyle f(x)>0$ ，且 $\displaystyle (x f(x))^{\prime} \leqslant-k f(x)$ ，其中 $\displaystyle k$ 为常数．证明 $\displaystyle f(x) \leqslant A x^{-(k+1)}$ ，其中 $\displaystyle A$ 为与 $\displaystyle x$ 无关的常数．
第44题证明题
44．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle x^{n}+n x-1=0, n=1,2, \cdots$ 。证明：此方程存在唯一的正实根 $\displaystyle x_{n}$ ，并证明当 $\displaystyle \alpha>1$ 时，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x_{n}^{\alpha}$ 收玫．
（2）设 $\displaystyle (x-1)^{n}+n x-n-1=0, n=1,2, \cdots$ 证明：此方程存在唯一的正实根 $\displaystyle x_{n}$ ，并证明当 $\displaystyle \alpha>0$ 时，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{x_{n}}{x_{n}+\alpha}\right)^{n}$ 收敛．
（1）设 $\displaystyle x^{n}+n x-1=0, n=1,2, \cdots$ 。证明：此方程存在唯一的正实根 $\displaystyle x_{n}$ ，并证明当 $\displaystyle \alpha>1$ 时，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x_{n}^{\alpha}$ 收玫．
（2）设 $\displaystyle (x-1)^{n}+n x-n-1=0, n=1,2, \cdots$ 证明：此方程存在唯一的正实根 $\displaystyle x_{n}$ ，并证明当 $\displaystyle \alpha>0$ 时，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{x_{n}}{x_{n}+\alpha}\right)^{n}$ 收敛．