函数的四则运算
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第3题证明题
3．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上连续，且对在 $\displaystyle (a, b)$ 的任意可积函数 $\displaystyle g(x)$ 有 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=0$ ，则 $\displaystyle f(x) \equiv 0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且对任意满足 $\displaystyle \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x=0$ 的连续函数 $\displaystyle g(x)$ 有 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=0$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 恒等于常数．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且对于所有那些在 $\displaystyle [a, b]$ 上满足附加条件 $\displaystyle g(a)=g(b)=0$ 的连续函数 $\displaystyle g(x)$ 有 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=0$ ．证明：$\displaystyle f(x) \equiv 0, x \in[a, b]$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上连续，且对在 $\displaystyle (a, b)$ 的任意可积函数 $\displaystyle g(x)$ 有 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=0$ ，则 $\displaystyle f(x) \equiv 0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且对任意满足 $\displaystyle \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x=0$ 的连续函数 $\displaystyle g(x)$ 有 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=0$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 恒等于常数．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且对于所有那些在 $\displaystyle [a, b]$ 上满足附加条件 $\displaystyle g(a)=g(b)=0$ 的连续函数 $\displaystyle g(x)$ 有 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=0$ ．证明：$\displaystyle f(x) \equiv 0, x \in[a, b]$ ．
第5题证明题
5．证明下列结论．
（1）若函数 $\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle g(x)$ 在有限开区间 $\displaystyle (a, b)$ 上一致连续，则 $\displaystyle f(x) g(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上一致连续．试举例说明把＂有限开区间＂的有限去掉，结论不成立．
（2）若函数 $\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上一致连续且有界，则 $\displaystyle f(x) g(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上一致连续．
（3）若函数 $\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致连续，问函数 $\displaystyle f(x) g(x), \max \{f(x), g(x)\}$ ， $\displaystyle \min \{f(x), g(x)\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上是否一致连续？（证明或举例）．
（4）若函数 $\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle g(x)$ 在区间 $\displaystyle I$ 十一致连续，问 $\displaystyle f(x)+g(x), f(x) g(x), \frac{f(x)}{g(x)}(\forall x \in I, g(x) \neq 0)$在 $\displaystyle I$ 上是否一致连续？
（5）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续，问 $\displaystyle f^{2}(x), \sqrt{f(x)}$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续吗？证明或举反例．
（1）若函数 $\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle g(x)$ 在有限开区间 $\displaystyle (a, b)$ 上一致连续，则 $\displaystyle f(x) g(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上一致连续．试举例说明把＂有限开区间＂的有限去掉，结论不成立．
（2）若函数 $\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上一致连续且有界，则 $\displaystyle f(x) g(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上一致连续．
（3）若函数 $\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致连续，问函数 $\displaystyle f(x) g(x), \max \{f(x), g(x)\}$ ， $\displaystyle \min \{f(x), g(x)\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上是否一致连续？（证明或举例）．
（4）若函数 $\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle g(x)$ 在区间 $\displaystyle I$ 十一致连续，问 $\displaystyle f(x)+g(x), f(x) g(x), \frac{f(x)}{g(x)}(\forall x \in I, g(x) \neq 0)$在 $\displaystyle I$ 上是否一致连续？
（5）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续，问 $\displaystyle f^{2}(x), \sqrt{f(x)}$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续吗？证明或举反例．
第7题证明题
7．证明下列结论．
（1）若函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 连续，则 $\displaystyle \varphi(x)=\min \{f(x), g(x)\}, \psi(x)=\max \{f(x), g(x)\}$ 也连续．
（2）设 $\displaystyle f_{1}(x), f_{2}(x), f_{3}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续。令 $\displaystyle f(x)$ 的值等于三值 $\displaystyle f_{1}(x), f_{2}(x), f_{3}(x)$ 中介于其他两值之间的那个值．证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续．
（3）令 $\displaystyle u_{n}(x)=\left\{\begin{array}{c}-n, x \leqslant n, \\ x, x \in(-n, n), f(x) \text { 为实函数，证明：} f(x) \text { 连续当且仅当 } g_{n}(x)=u_{n}[f(x)] \text { 对任 } \\ n, x \geqslant n,\end{array}\right.$意固定的 $\displaystyle n$ ，都是 $\displaystyle x$ 的连续函数．
（1）若函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 连续，则 $\displaystyle \varphi(x)=\min \{f(x), g(x)\}, \psi(x)=\max \{f(x), g(x)\}$ 也连续．
（2）设 $\displaystyle f_{1}(x), f_{2}(x), f_{3}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续。令 $\displaystyle f(x)$ 的值等于三值 $\displaystyle f_{1}(x), f_{2}(x), f_{3}(x)$ 中介于其他两值之间的那个值．证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续．
（3）令 $\displaystyle u_{n}(x)=\left\{\begin{array}{c}-n, x \leqslant n, \\ x, x \in(-n, n), f(x) \text { 为实函数，证明：} f(x) \text { 连续当且仅当 } g_{n}(x)=u_{n}[f(x)] \text { 对任 } \\ n, x \geqslant n,\end{array}\right.$意固定的 $\displaystyle n$ ，都是 $\displaystyle x$ 的连续函数．
第29题证明题
29．证明下列命题（Schwarz 不等式的应用）．
（1）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle f(x)>0$ ．证明 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \int_{a}^{b} \frac{1}{f(x)} \mathrm{d} x \geqslant(b-a)^{2}$ ．（扬州大学 2005，北京理工 2005，浙江师大 2005，山东大学 2000／2002，浙江理工 2009，计量学院 2009，青岛大学 2010，广西大学 2007，中科院 1999，哈工大，北京科技 $\displaystyle 2003([a, b]=[0,1])$ ，北京工大 $\displaystyle 2004([a, b]=[0,1])$ ，上海理工 $\displaystyle \left.2003\left(f(x)=\mathrm{e}^{x^{2}}\right)\right) \quad$ 。
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，证明 $\displaystyle \left(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right)^{2} \leqslant(b-a) \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x$ 。
（3）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，证明 $\displaystyle \iint_{D} \frac{f(x)}{f(y)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \geqslant(b-a)^{2}$ ，其中 $\displaystyle D=[a, b] \times[a, b]$ ．
（4）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，证明 $\displaystyle \iint_{D} \mathrm{e}^{f(x)-f(y)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \geqslant(b-a)^{2}$ ，其中 $\displaystyle D=[a, b] \times[a, b]$ ．
（5）证明 $\displaystyle \int_{0}^{\pi} x \mathrm{e}^{\sin x} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{e}^{-\cos x} \mathrm{~d} x \geqslant \frac{\pi}{4}$ ．
（1）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle f(x)>0$ ．证明 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \int_{a}^{b} \frac{1}{f(x)} \mathrm{d} x \geqslant(b-a)^{2}$ ．（扬州大学 2005，北京理工 2005，浙江师大 2005，山东大学 2000／2002，浙江理工 2009，计量学院 2009，青岛大学 2010，广西大学 2007，中科院 1999，哈工大，北京科技 $\displaystyle 2003([a, b]=[0,1])$ ，北京工大 $\displaystyle 2004([a, b]=[0,1])$ ，上海理工 $\displaystyle \left.2003\left(f(x)=\mathrm{e}^{x^{2}}\right)\right) \quad$ 。
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，证明 $\displaystyle \left(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right)^{2} \leqslant(b-a) \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x$ 。
（3）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，证明 $\displaystyle \iint_{D} \frac{f(x)}{f(y)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \geqslant(b-a)^{2}$ ，其中 $\displaystyle D=[a, b] \times[a, b]$ ．
（4）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，证明 $\displaystyle \iint_{D} \mathrm{e}^{f(x)-f(y)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \geqslant(b-a)^{2}$ ，其中 $\displaystyle D=[a, b] \times[a, b]$ ．
（5）证明 $\displaystyle \int_{0}^{\pi} x \mathrm{e}^{\sin x} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{e}^{-\cos x} \mathrm{~d} x \geqslant \frac{\pi}{4}$ ．
第30题证明题
30．证明下列命题（Schwarz 不等式的应用）
（1）已知 $\displaystyle f(x) \geqslant 0$ ，在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续， $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=1, k$ 为任意实数．求证：
$$
\left(\int_{a}^{b} f(x) \cos k x \mathrm{~d} x\right)^{2}+\left(\int_{a}^{b} f(x) \sin k x \mathrm{~d} x\right)^{2} \leqslant 1 \text {. }
$$
（2）设 $\displaystyle f(x), g(x), h(x)$ 在区间 $\displaystyle [0,1]$ 上连续， $\displaystyle \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x=1, g^{2}(x)+h^{2}(x)=1$ ．证明：
$$
\left(\int_{0}^{1} f^{2}(x) g(x) \mathrm{d} x\right)^{2}+\left(\int_{0}^{1} f^{2}(x) h(x) \mathrm{d} x\right)^{2} \leqslant 1 . \text { }
$$
（1）已知 $\displaystyle f(x) \geqslant 0$ ，在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续， $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=1, k$ 为任意实数．求证：
$$
\left(\int_{a}^{b} f(x) \cos k x \mathrm{~d} x\right)^{2}+\left(\int_{a}^{b} f(x) \sin k x \mathrm{~d} x\right)^{2} \leqslant 1 \text {. }
$$
（2）设 $\displaystyle f(x), g(x), h(x)$ 在区间 $\displaystyle [0,1]$ 上连续， $\displaystyle \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x=1, g^{2}(x)+h^{2}(x)=1$ ．证明：
$$
\left(\int_{0}^{1} f^{2}(x) g(x) \mathrm{d} x\right)^{2}+\left(\int_{0}^{1} f^{2}(x) h(x) \mathrm{d} x\right)^{2} \leqslant 1 . \text { }
$$
第37题未分类
37．若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上正值、连续，$\displaystyle m=\min _{[0,1]} f(x), M=\max _{[0,1]} f(x)$ ，则
$\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x \int_{0}^{1} \frac{1}{f(x)} \mathrm{d} x \leqslant \frac{(m+M)}{4 m M}$ ．
$\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x \int_{0}^{1} \frac{1}{f(x)} \mathrm{d} x \leqslant \frac{(m+M)}{4 m M}$ ．